- •1. Случайные события. Действия над событиями
- •2. Классическая вероятность и ее св-ва.
- •4. Формулы комбинаторики, гипергеометрическое распределение.
- •5. Условная вероятность. Независимость событий.
- •6. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •7. Схема независимых испытаний Бернулли.
- •8. Предельные теоремы в схеме Бернулли.
- •9. Функция распределения вероятности и ее свойства.
- •10. Плотность распределения вероятности и ее свойства.
- •11. Математическое ожидание и его свойства.
- •12. Дисперсия и ее свойства.
- •13. Коэффициент корреляции Ковариация.
- •14. Моменты.
- •15. Основные дискретные распределения случайных величин.
- •1. Биноминальное распределение.
- •18. Двумерная функция распределения и ее свойства.
- •19. Двумерная плотность вероятности и ее свойства.
- •20. Независимость случайных величин
- •21. Условный закон распределения.
- •22. Неравенство Чебышева.
- •23.Теорема Чебышева. Теорема Бернулли.
- •24. Центральная предельная теорема.
- •25. Выборочный метод.
- •26. Эмпирическая функция распределения.
- •27. Полигон и гистограмма.
- •29. Точечное оценивание.
- •31. Доверительные интервалы.
- •32. Распределение х Стьюдента и Фишера.
- •33. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания при известном .
- •34. Доверительные интервалы для нормального распределения при неизвестном .
- •35. Проверка статистических гипотез.
- •36. Построение критической области.
- •37. Критерий согласия Пирсона.
- •38. Вычисление теоретических частот для нормального распределения.
- •39. Cравнние дисперсий двух нормальных выборок.
- •40. Критерий Стьюдента
- •41. Дисперсионный анализ.
- •42. Парная регрессия.
- •43. Парный коэффициент корреляции.
- •44. Проверка гипотез о достоверности коэффициента корреляции.
15. Основные дискретные распределения случайных величин.
1. Биноминальное распределение.
Схема Бернулли: производится n независимых испытаний в каждом из которых возможно только 2 исхода: P(A)=p, P( )=q, p+q=1
возможное распределение этой величины.
Вероятность этих значений вычисляется по формуле Бернулли. .
Найдем МО и DX
, где -число появлений события в i-ом (одном) испытании.Закон распределения МО:
|
0 |
1 |
P |
q |
p |
M =0*q+1*p=p ; M =np
Чтобы найти дисперсию M 2=02*q+12*p=p
D = M 2 - (M )2=p-p2=p(1-p)=pq
2. Распределение Пуассона.
Пусть производится n независимых испытаний в каждом из которых вероятность появления события A равна p. Для определения вероятности k пользуется ф. Бернулли. Если вероятность мала, а число испытаний велико то формулой Пуассона. =0,1,...,m
В распределении Пуассона МО и дисперсия равны
3. Геометрическое распределение.
Производится n независимых испытаний в каждом из которых только 2 исхода: P(A)=p, P( )=q, p+q=1
Испытание производится до появления события А
Вероятности этих значений
Pm=qm-1p
P3=q2p
Сходящийся ряд можно почленно дифференцировать: S`=1/(p2)
16. Равномерное и показательное распределение.
Относятся к непрерывным случайным величинам.
1. Равномерное распределение.
2. Показательное распределение.
Характерное свойство показательного распределения
17. Нормальное распределение.
Нормальным (распределением Гаусса) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью.
Пусть K= Тогда
Свойства:P(x) – чётная,
Нормальное распределение определятся 2 параметрами .
– мат ожидание, - квадратическое отклонение нормального распределения.
От произвольного нормального к стандартному распределению переходят с помощью формулы .
Функция стандартного нормального распределения имеет вид.
Часто приводится функция Лапласа (нечетная)
Ф(z)=Ф0(z)+0,5
18. Двумерная функция распределения и ее свойства.
Многомерная случайная величина Х=(Х1, Х2, ... Хn) – это совокупность случайных величин Хi , заданных на одном и том же пространстве элементарных событий
Закон распределения вероятностей многомерной случайной величины Х задается ее функцией распределения
которая является числовой функцией многих переменных и как вероятность принимает значения на отрезке [0,1].
Свойства двумерной функции распределения совпадают со свойствами многомерной функции распределения.
1. Для всех , так как это вероятность.
2. F(x,y) –неубывающая функция.
3.
4.
Двумерный дискретный закон распределения изображается в виде таблицы, где в первой строке строчки перечисляются возможные значения случайной величины , в первом столбце возможные значения
При этом должно выполняться условие нормировки
19. Двумерная плотность вероятности и ее свойства.
Случайный вектор называется непрерывным, если существует такая непрерывная неотрицательная функция p(x,y), что для любых x,y R выполняется соотношение
При этом p(x,y) – двухмерная плотность вероятности.
Свойства.
1.
2.
3.
4.