- •1. Случайные события. Действия над событиями
- •2. Классическая вероятность и ее св-ва.
- •4. Формулы комбинаторики, гипергеометрическое распределение.
- •5. Условная вероятность. Независимость событий.
- •6. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •7. Схема независимых испытаний Бернулли.
- •8. Предельные теоремы в схеме Бернулли.
- •9. Функция распределения вероятности и ее свойства.
- •10. Плотность распределения вероятности и ее свойства.
- •11. Математическое ожидание и его свойства.
- •12. Дисперсия и ее свойства.
- •13. Коэффициент корреляции Ковариация.
- •14. Моменты.
- •15. Основные дискретные распределения случайных величин.
- •1. Биноминальное распределение.
- •18. Двумерная функция распределения и ее свойства.
- •19. Двумерная плотность вероятности и ее свойства.
- •20. Независимость случайных величин
- •21. Условный закон распределения.
- •22. Неравенство Чебышева.
- •23.Теорема Чебышева. Теорема Бернулли.
- •24. Центральная предельная теорема.
- •25. Выборочный метод.
- •26. Эмпирическая функция распределения.
- •27. Полигон и гистограмма.
- •29. Точечное оценивание.
- •31. Доверительные интервалы.
- •32. Распределение х Стьюдента и Фишера.
- •33. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания при известном .
- •34. Доверительные интервалы для нормального распределения при неизвестном .
- •35. Проверка статистических гипотез.
- •36. Построение критической области.
- •37. Критерий согласия Пирсона.
- •38. Вычисление теоретических частот для нормального распределения.
- •39. Cравнние дисперсий двух нормальных выборок.
- •40. Критерий Стьюдента
- •41. Дисперсионный анализ.
- •42. Парная регрессия.
- •43. Парный коэффициент корреляции.
- •44. Проверка гипотез о достоверности коэффициента корреляции.
40. Критерий Стьюдента
Пусть x и y распределены нормально с параметрами
a1,
Проверим гипотезу H0: a1=a2
Тогда
Для проверки H0 строится с.в.
При проверке H0 возможны два случая:
1) T~T(n1+n2-2)
Проверка H0осуществляется след. образом
Вычисляется TH затем Tкр(α,n1+n2-2)
Если |TH|<Tкр то H0, т.е. x и y различаются достоверно.
2) О распределении с.в. T точно сказать нельзя. Можно лишь сказать, что при n1 и n2 стремятся к бесконечности, T стремится к распределению Стьюдента с числом степеней свободы, несколько отличающимся от n1+n2-2
Проверка H0 осуществляется аналогично.
41. Дисперсионный анализ.
Часто возникает задача в ср-и законов нормального распределения в m группах
H0:F1(x)=…=Fm(x). Например, поступило задание сравнить успеваемость студентов 4 специальностей. Сравнение основывается на вычислении дисперсий. Сравнивают дисперсии, обусловленные влиянием факторов, и дисперсий, обусловленных влиянием случайных величин. Поэтому называется дисперсионный анализ. Если 1 дисперсия достоверно больше 2 дисперсии, то делают вывод о различии функции распределения в группах.
Рассмотрим сначала однофакторный дискретный анализ, т.е. имеется m групп однородных объектов и изучается влияние на них одного фактора. Например, изучаемый признак – успеваемость, а фактор специальность.
Предположим, что каждая группа имеет нормальное распределение
Xi~N(0,1), i=
Тогда нулевую гипотезу формулируют так H0:a1=…am
Т.к. несмещенной остается ошибкой мат ожидания выборочной средней, то
При конкурирующей гипотезе H1 не все средние равны между собой.
Пусть объемы в группах одинаковы
Гр\N |
1 |
2 |
… |
n |
|
1 |
X11 |
X12 |
… |
X1n |
|
2 |
X21 |
X22 |
… |
X2n |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
m |
X31 |
X32 |
… |
X3n |
|
Средние сравнивают между собой. Пусть специальность не влияет на успеваемость.
; ;
-общая средняя.
Разложим общую сумму квадратов отклонений на факторную и остаточную
-остаточная сумма квадратов отклонений, она обусловлена влиянием случайных величин. Характеризует рассеяние внутри группы.
-факторная сумма квадратов отклонений. Характеризует рассеяние между группами.
Т.о. . Построим дисперсию по каждой из этих сумм
Для сравнения факторных и остаточных дисперсий построим их математического ожидания.
Для справедливости H0 F=0 и чем больше F значение отличное от нуля, тем больше факторная дисперсия. Проверка H0 осуществляется следующим образом:
Вычисляем наблюдаемое значение критерия
По таблице критических точек распределения Фишера по выбранному уровню значимости и числу степеней свободы (m-1) и (mn-m) находим Fкр.
если Fнабл < Fкр., то говорят, что нет основания отвергнуть H0. Следовательно средние в группах различаются недостоверно (случайно). – нет отклика на воздействие. если Fнабл > Fкр., то H0 . отвергается и принимается H1 , следовательно средние в группах различаются достоверно. – есть отклик на воздействие.
Замечание 1. Если Fнабл <1, то сразу H0 принимается.
Замечание 2. Пусть объемы в группах неодинаковы. Значит число степеней свободы остаточной дисперсии N-m.
Замечание 3. Если H0 отвергается, то не все средние в группах равны между собой. При этом часто интересует в каких именно группах есть различия. попарных сравнений средних. В стандартных компьютерных программах реализовано процедура попарного сравнения. Если выборочные данные Xi не соответствуют нормальному распределению, то применение дисперсионного анализа может привести к ошибочным выводам. В этом случае необходимо применить непараметрический дисперсионный анализ.