33. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания при известном .

Пусть изучаемый признак Х имеет нормальное распределение и значение параметра известно. Построим по выборке

(x₁, x₂,…,x_n) доверительный интервал для оценки а.

Несмещенной и состоятельной оценкой мат.ожидания является выборочная средняя.

Пусть выбрали, найдем

x_i~ N(a, )

Можно показать, что линейная комбинация нормальной случайной величины также имеет нормальное распределение.

, т.е.

Чтобы воспользоваться стандартными формулами сделаем для преобразование стандартизации.

Оценим вероятность

Воспользуемся формулой вероятности заданного отклонения для нормальной случайной величины.

Тогда доверительные интервалы будет иметь вид

Замечание.

Минимальный объем выборки, которая обеспечивающий заданную точность, равен

округлённое до ближайшего целого с избытком.

34. Доверительные интервалы для нормального распределения при неизвестном .

Пусть изучаемый признак x_i~ N(0, 1) и пусть имеется независимая выборка (x₁,…,x_n).

В качестве точечной оценки параметра a берем

.

Несмещенной оценкой является исправленная выборочная дисперсия

Рассмотрим случайную величину

(распр. Стьюдента с числом степеней свободы n-1)

Построим доверительный интервал:

так как плотность распределения Стьюдента четная функция.

Тогда для определения получим уравнение

По таблице распределения Стьюдента по выбранной надежности и числу степеней свободы (n-1) находим .

Доверительный интервал будет иметь вид

Замечание.

При больших объемах выборки n>150 при построении доверительного интервала с неизвестным можно пользоваться нормальным распределением.

Для нормального распределения при , для распр. Стьюдента

35. Проверка статистических гипотез.

Статистической гипотезой называется гипотеза о неизвестном распределении или о параметрах неизвестного распределения.

Нулевой или основной называется выдвинутая гипотеза H₀.

Конкурирующей или альтернативной называется гипотеза H₁, которая противоречит нулевой.

Статистическим критерием называется случайная величина, которая служит для проверки гипотезы H₀.

При проверке статистических гипотез возможно возникновение ошибок. Ошибка i-го рода возникает, когда мы отвергаем правильную нулевую гипотезу. Вероятность совершить ошибку 1-го рода называется уровнем значимости и обозначается

Ошибка второго рода возникает, когда мы отвергаем правильную гипотезу H_1. Вероятность совершить ошибку второго рода обозначается .

Величину ошибки первого и второго рода исследователь выбирает самостоятельно.

Отметим, что невозможно одновременно уменьшать ошибки первого и второго рода, так как речь идет об одних и тех же гипотезах.

Значение статистического критерия при котором H₀ принимают называется областью принятия гипотезы.

Значения критерия при которых гипотезу отвергают называется критической областью.

Точка, которая отделяет эти области называется критической.

Правосторонней называется критическая область, определяемая неравенством

Левосторонней называется критическая область, определяемая неравенством

Двусторонней называется критическая область, определяемая неравенством

Проверка статистических гипотез осуществляется следующим образом.

1. по выборке вычисляется наблюдаемое значение критерия (К_набл)

2. если К_набл попало в критическую область нулевую гипотезу отвергают, а если в область принятия гипотезы H₀ принимают.