47. Броуновское движение. Уравнение фоккера-планка

Броуновское движение тепловое беспорядочное дв-ние микроскопических, видимых, взвешенных в жидкости (или газе) частиц твёрдого вещества (пылинки, крупинки взвеси, частички пыльцы растения). Броуновское дв-ие происходит из-за того, что все жидкости и газы состоят из атомов или молекул, которые находятся в постоянном хаотическом тепловом движении, и потому непрерывно толкают частицу с разных сторон. Когда в среду погружено крупное тело, то толчки, происходящие в огромном количестве, усредняются и формируют постоянное давление. Если же тело мелкое, то становятся заметны флуктуации давления, которые создают заметную случайно изменяющуюся силу, приводящую к колебаниям частицы. Броуновские частицы обычно не тонут и не всплывают, а находятся в среде во взвешенном состоянии.

Уравнение Фоккера — Планка — одно из стохастических дифференциальных уравнений, описывает временну́ю эволюцию функции плотности вероятности координат и импульса частиц в процессах, где важна стохастическая природа явления. Впервые уравнение было использовано для статистического описания броуновского движения частиц в воде. Хотя броуновское движение описывается уравнениями Ланжевена, которые могут быть решены численно методом Монте-Карло или методами молекулярной динамики, задачу в такой постановке часто трудно решить. И, вместо сложных численных схем, можно ввести функцию плотности вероятности W(v,t), описывающую вероятность того, что частица имеет скорость в интервале (v,v+dv) , если в момент времени 0 она имела начальную скорость v0 , и записать W(v,t) для уравнения Фоккера — Планка

Для броуновского движения соответствующее уравнение Фоккера – Планка:

48. Фазовые переходы второго рода. Теория ландау

Фазой называется макроскопическая физически однородная теть вещества, отделенная от остальных частей системы грани­цами раздела, так что она может быть извлечена из системы меха­ническим путем.Фазовые переходы 2-го рода не сопровождаются выделением или поглощением тепла, а также изменением удельного объема вещества. При фазо­вых превращениях второго рода претерпевают разрыв все или неко­торые вторые производные удельного термодинамического потенци­ала. Это изменение кристаллической модификации, пе­реход в сверхпроводящее состояние, в сверхтекучее. Фазовые переходы второго рода происходят в тех случаях, когда меняется симметрия строения вещества (симметрия может полностью исчезнуть или понизиться). Описание фазового перехода второго рода как следствие изменения симметрии даётся теорией Ландау. Согласно теории Ландау, при фазовых переходах первого рода функция распределения по энергии должна быть бимодальной, то есть иметь два максимума. Наиболее высокий максимум отвечает наиболее выгодному, стабильному, состоянию системы, а второй максимум соответствует менее выгодному, метастабильному, состоянию. В самой точке перехода высоты максимумов становятся одинаковыми и система может одновременно сосуществовать в обоих состояниях. При фазовых переходах второго рода функция распределения всегда имеет только один максимум, который расширяется в точке перехода. Соответственно при переходах второго рода метастабильных состояний в принципе не существует. Но имеется очень мало систем, позволяющих провести строгое статистическое рассмотрение и проверить теорию Ландау. Однако удалось смоделировать фазовые переходы газ-жидкость. Оказалось, что в точке фазового перехода первого рода распределение плотности действительно бимодально. При этом чем больше число частиц в системе, тем выше и уже пики на бимодальной кривой. Наличие или отсутствие бимодальности у функции распределения служит важным критерием, позволяющим определить род перехода. Обычно речь идет о функциях распределения по энергии системы, или же по другому важному параметру, который называют параметром порядка системы – термодин. величина, характеризующая дальний порядок в среде, возникающий в результате спонтанного нарушения симметрии при фазовом переходе. Равновесный параметр порядка равен нулю в неупорядоченной фазе и отличен от нуля в упорядоченной.

49. Кинетическая теория Больцмана. Кинетическое уравнение Больцмана. Н-теорема. Кинетическое уравнение Больцмана, уравнение для функции распределения f (n, r, t) молекул газа по скоростям n и координатам r (в зависимости от времени t), описывающее неравновесные процессы в газах малой плотности. Функция f определяет среднее число частиц со скоростями в малом интервале от n до n +Dn и координатами в малом интервале от r до r + Dr (см. Кинетическая теория газов). Если функция распределения зависит только от координаты х и составляющей скорости n_x, Кинетическое уравнение Больцмана имеет   .   (m — масса частицы). Скорость изменения функции распределения со временем характеризуется частной производной , второй член в уравнений, пропорциональный частной производной функции распределения по координате, учитывает изменение f в результате перемещения частиц в пространстве; третий член определяет изменение функции распределения, обусловленное действием внешних сил F. Стоящий в правой части уравнения член, характеризующий скорость изменения функции распределения за счёт столкновений частиц, зависит от f и характера сил взаимодействия между частицами и равен   Здесьf, f₁ и f’, f’₁ — функции распределения молекул до столкновения и после столкновения соответственно, n, n₁ — скорости молекул до столкновения, ds=sdW — дифференциальное эффективное сечение рассеяния в телесный угол dW (в лабораторной системе координат), зависящее от закона взаимодействия молекул; для модели молекул в виде жёстких упругих сфер (радиуса R) s =4R²cosJ, где J — угол между относительной скоростью — n ₁—n сталкивающихся молекул и линией, соединяющей их центры. Кинетическое уравнение Больцмана было выведено Л. Больцманомв 1872.   Различные обобщения Кинетическое уравнение Больцмана описывают поведение электронного газа в металлах, фононов в кристаллическойрешётке и т.д. (однако чаще эти уравнения называют просто кинетическими уравнениями, или уравнениями переноса). См.Кинетика физическая.

50. Уравнения Боголюбова. Рассмотрим систему из N частиц с парным взаимодействием, находящуюся во внешнем поле. Пусть — обобщенные координаты и импульсыi-ой частицы, — потенциал взаимодействия с внешнем полем,— потенциал (парного) взаимодействия частиц. Функция распределения полной системыудовлетворяетуравнению Лиувилля

Рассматриваемая цепочка уравнений получается последовательным интегрированием уравнения Лиувилля по части переменных. В результате уравнение для s-частичной функции распределения имеет вид: