6.Классическое описание движения механических систем. Канонические уравнения движения гамильтона

Классич. механика позволяет рассчитать харак-ки движения взаимод-щих тел (частиц) на основе 2 з-на Ньютона. Частицы движутся по определенным траекториям. С траекториями связаны такие характеристики, как координаты, скорости частицы и ускорение. При извест-х силах, действующих на i-тую частицу, зад-ых нач. условиях (координаты и скорости частицы в нач. момент времени) в механике Ньютона нет места неопределенности, вероятности, случайности, потому что интегрирование уравнения движения однозначно позволяет найти скорости и координаты частицы в любой момент времени. Современная физика обычно использует не ньютоновское описание состояния в механике, а представление Гамильтона. При этом вводятся новые, обобщенные координаты (их обозначают ) и обобщенные импульсы().Они являются независимыми переменными.,. Введение новых независимых переменных приводит к существенному упрощению уравнений движения. Центральная величина динамики в представлении Гамильтона - энергия системы, записанная в этих переменных. Для консервативных систем полная энергия системы Е равна сумме кинетической энергии, зависящей только от импульсов и потенциальной энергии, зависящей только от координат. Эту энергию называютфункцией Гамильтона или гамильтонианом H. Для системы из N взаимодействующих частиц она равна ЗдесьV - потенциальная энергия взаимодействия i-той и j-той частицы, которые связаны между собой силами .Определение для скорости частицы и второй закон Ньютона эквивалентны следующим выражениям,Их называютуравнениями Гамильтона или каноническими уравнениями движения. При таком описании число независимых переменных и число уравнений удваивается, но сами уравнения движения упрощаются - это уравнение первого, а не второго порядка, как во втором законе Ньютона. Кроме того, решение уравнения удобно изображать фазовой точкой с координатами ивN - мерном пространстве, которое называют фазовым пространством и которым принято пользоваться при описании колебательных систем. С течением времени частицы системы, взаимодействуя друг с другом, меняют свое состояние, а фазовая точка будет двигаться в фазовом пространстве в соответствии с уравнениями движения (Д3). В силу теоремы о единственности решения дифференциальных уравнений траектория движения фазовой точки не пересекается сама

7.Фазовое пространство. Точка фазового пространства. Объем фазового пространства. Фазовая траектория. Статистический ансамбль.

Будем считать, что мгновенные значения каждой координаты (импульса) каждой частицы отклад-ся на своей корд. оси. С-ма координат, образ-ая этими осями, будет хар-вать нек. воображаемое математич. прост-во. Его наз. фазовым или Г-простр-вом. Его размерность равна удвоенному числу степеней свободы. Мгновенное состояние с-мы в ФП (микросостояние) изображается фаз. точкой, кот. задает в данный момент времени состояние всех частиц системы, т.е. положение их в простр-ве и их импульсы. Изменение состояния с-мы с теч. времени изобр-ся в ФП кривой q_i(t), p_i(t), кот. наз. фаз. траекторией. Т.о., микросостояния образуют непрерыв. совок-сть точек в ФП. Таким образом, в то время как при детальном динамическом описании состояние системы представляется одной точкой движущейся с фа­зовой скоростью в фазовом пространстве 2s измерений, где s число степеней свободы системы, в статистическом подходе состо­яние системы задается совокупностью точек в фазовом пространстве, причем каждая из них характеризуется определенным весом. Такую со­вокупность точек с весом называют статистическим ансамблем.

Т.е. статистический ансамбль - это множество копий рассма­триваемой системы, представляющих все ее различные возможные ми­кроскопические состояния, в данный момент времени t.