16. Простейшие квадрат ф-лы н-Кот. И оценка их погрешности.

Пример 1. Положим . В этом случае

; ;

и получаем квадратурн. ф-лу(1)

Квадратурную формулу (1) наз-ют квадратурной формулой ср. прямоугольников, т.к. здесь интеграл приближается площадью (квадратурой) прямоугольника с шириной, равной длине отрезка интегрирования, и высотой, равной значению подынтегральной функции в середине отрезка интегрирования.

Используя разложение подынтегральной функции в ряд Тэйлора в точке , имеем

.

Отсюда для погрешности квадратурной формулы получаем выражение

Применение теоремы о среднем дает (2):

Пример 2. Положим . В этом случае

; ;;

;

.

и получаем квадратурную формулу

. (3)

Квадратурную формулу (3) называют квадратурной формулой трапеций, потому что здесь интеграл приближается площадью трапеции с высотой, равной длине отрезка интегрирования, и основаниями, равными значениям подынтегральной функции на концах отрезка интегрирования.

Подынтегральную функцию выразим через ее интерполяционный многочлен по узлам и остаточный член интерполяционного многочлена. Тогда получимОтсюда для погрешности квадрат. ф-лы трапеций получ. выр.

Применяя теорему о среднем, имеем

. (4)

Пример 3. Положим . В этом случае

; ;;;

;;

.

и получаем квадратурную формулу

. (5)

Квадратурную формулу (5) называют квадратурной формулой парабол или квадратурной формулой Симпсона. Здесь интеграл от функции приближается интегралом от интерполяционного многочлена второй степени (параболы) с узлами . Погрешность квадратурной формулы (5) запишем в виде

, (6)

где будем считать константой, аh – переменной. Очевидно,.Выполним дифференцирование равенства (6) поh:

Проводя дифференцирование еще два раза и используя формулу конечных приращений, получим

,

. (7)

Проводя три раза интегрирование и используя при этом теорему о среднем, имеем

,,Полученное выражение для остаточного члена перепишем в виде

17. Составные квадратурные формулы средних прямоугольников, трапеций, парабол и оценка их погрешности

Как видно из выражения (2) предыдущего параграфа, погрешность квадратурной формулы средних прямоугольников есть величина третьего порядка относительно длины отрезка интегрирования. Таким образом, при большой длине отрезка интегрирования погрешность указанной квадратурной формулы также может быть большой.На отрезкевведем равномерную сеткус шагом. Интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частичным отрезкам. Применяя квадратурную формулу средних прямоугольников в случае четногок частичным отрезкам, имеем

.

Полученную квадратурную формулу (1)

называют составной квадратурной формулой средних прямоугольников.

Для погрешности составной квадратурной формулы средних прямоугольников получаем

.

Учитывая, что и, отсюда следует искомое равенство. (2)

Используя квадратурную формулу трапеций при интегрирования по частичным отрезкам , имеем

.

Полученную квадратурную ф-лу: (3)

называют составной квадратурной формулой трапеций.

Для погрешности составной квадратурной формулы трапеций получаем

.

Т.к. и, то искомая пог-ть представляется в виде. (4)

Применим теперь при четном n к интегрированию на частичных отрезках квадратурную формулу парабол. Тогда. Полученную квадратурную формулу(5) наз-ют составной квадратурной формулой парабол (Симпсона).

Найдем выражение для погрешности расчетной формулы (3).

Учитывая, что и, отсюда следует искомое равенство.(6)

Как видно из выражений, полученных для остаточных членов , погрешность составных квадратурных формул можно сделать достаточно малой за счет выбора меньшего шага сеткиh. При этом подынтегральная функция должна быть достаточно гладкой на отрезке .