- •1.Источники и классификация погрешностей. Неустранимая и вычислительная погрешность.
- •2. Постановка задачи интерполирования. Существование и единственность обобщенного интерполяционного многочлена.
- •3. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
- •4. Схема Эйткина
- •5. Остаточный член интерполяционного многочлена Лагранжа.
- •6. Минимиз. Оценки остаточного члена интерпол. Мн-на.
- •7. Разделенные разности и интерполяционная формула Ньютона с разделенными разностями.
- •8. Конечные разности и интерполяционные формулы Ньютона с конечными разностями.
- •9. Составление таблиц.
- •10. Сходимость интерполяционного процесса
- •11.Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. Интерполяционный многочлен Эрмита с узлами кратности 2.
- •13 . Оптимизация шага при численном диф-нии
- •14. Интерполяционные квадратурные формулы
- •15. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса
- •16. Простейшие квадрат ф-лы н-Кот. И оценка их погрешности.
- •17. Составные квадратурные формулы средних прямоугольников, трапеций, парабол и оценка их погрешности
- •18. Квадратурные формулы Гаусса
- •20. Метод наименьших квадратов.
- •22.Обобщённые мног-ны наилучших среднеквадратических приближений.
- •24. Многочлены наилучших равномерных приближений. Примеры.
- •25. Наилучшие приближения в линейном нормированном пространстве.
- •26. Интерполяционные сплайны.
- •27. Существование и единственность кубического сплайна.
- •28.Краткие сведения о нормах векторов и матриц.
- •29. Обусловленность линейных алгебраических систем.
- •30. Метод Гаусса решения системы линейных ур-ний.
- •31. - Разложение квадратных матриц.
- •32. Разложение симметричных матриц. Метод квадр. Корней решения лин. Алг.Систем
- •34. Принцип сжимающих отображений в метрическом пространстве.
- •35. Метод простой итерации решения лин. Алг. Систем и усл. Его сходимости.
- •36. Метод Якоби решения линейных алгебраических систем
- •37. Метод Зейделя решения лин. Алг. Систем.
- •38. Метод покоординатного спуска решения линейных алгебраических систем.
- •39. Метод скорейшего спуска решения линейных алгебраических систем
- •40. Степенной метод решения частичной проблемы собственных значений.
- •41. Метод Данилевского раскрытия характеристического уравнения
- •42. Метод вращений решения полной проблемы собственных значений.
- •43. Метод бисекции и простой итерации решения уравнений с одним неизвестным.
- •44. Методы хорд и касательных как частные случаи метода простой итерации.
- •45. Методы локализации корней алгебраического уравнения.
- •46. Метод Лобачевского решения алгебраических уравнений.
- •47. Методы простой итерации и Зейделя решения системы нелинейных уравнений.
- •48. Метод Ньютона и аналоги метода Зейделя решения системы нелинейных уравнений.
- •49. Классификация численных методов решения задачи Коши. Методы Эйлера, трапеций и к-э.
- •50. Метод Рунге-Кутта решения задачи Коши. Построение методов р-к второго порядка точности.
- •51. Оценка погрешности и сходимость одношаговых методов решения задачи Коши.
- •52. Экстраполяц. Метод Адамса решения задачи Коши.
- •53. Интерполяционный метод Адамса решения задачи Коши.
- •54. Общий вид линейных многошаговых методов решения задачи Коши.
- •55. Условие корней многошаговых методов решения задачи Коши
- •56. Сходимость многошаговых методов решения Коши.
- •57. Сеточные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •58. Сходимость сеточного метода решения краевых задач для обыкновенных диф. Уравнений.
- •59. Методы прогонки и пристрелки решения разностных схем при решении краевых задач для обыкновенных д.У.
- •60. Эквивалентность граничных и вариационных задач
- •61. Метод Ритца решения вариационных задач.
- •62. Построение системы линейных уравнений для определения значений параметров в методе Ритца.
- •63. Вариационно-разностный вариант метода Рица.
- •64. Сеточные методы решения краевой задачи для уравнения Пуассона. Фоpмулиpовка исходной диффеpенциальной краевой задачи
- •Постpоение pазностной схемы
- •65. Основные понятия теории разностных схем.
- •66. Сходимость сеточного метода
- •Фоpмулиpовка исходной дифференциальной краевой задачи
- •67.Метод матричной прогонки решения разностной схемы. Фоpмулиpовка исходной диффеpенциальной краевой задачи
- •68. Разностные схемы для одномерного параболического уравнения. Фоpмулиpовка исходной диффеpенциальной задачи
- •69. Разностные схемы решения задачи Коши для уравнения гиперболического типа.
- •70. Сеточные методы решения смешанной задачи для уравнений гиперболического типа.
- •71. Метод квадратур решения интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода.
- •72. Решение интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром.
- •Решение интегр. Ур-ния с вырожденным ядром.
- •73. Решение интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода методом вырожденного ядра.
- •Способы приближения невырожденного ядра вырожденным.
6. Минимиз. Оценки остаточного члена интерпол. Мн-на.
Мы знаем оценку . (1). Как видно из (1) оценка остаточного члена интепол. мн-на Лагранжа зависит от ф-ций, кот. однозначно опр-ся узлами интерп.. Поставим задачу оптим-го выбора узлов интерпол., такого выбора узлов, при котором величинапринимаетmin значение
Для решения поставленной задачи воспользуемся многочленами Чебышева, которые на отрезке представляются в тригоном. форме.(3)
Из (3) получается . Остальные многочлены Чебышева можно построить, используя рекуррентную формулу. (4)
Справедливость формулы (4) доказывается цепочкой равенств ,
,
,
.
По рекуррентной формуле (4) получается . Из формулы (4) следует, что многочлены Чебышева имеют структуру. (5).
Найдем корни многочлена Чебышева . Решаем тригонометрическое уравнение. Отсюдаили. Т.о., многочлен Чебышеваимеет на отрезкеразличных вещественных корней. (6)
Корни различны, так как функция монотонна на отрезке.
Очевидно, на отрезке значения многочлена Чебышеване превосходят единицы. Решая тригонометрическое уравнение, имеемили. Т.о., на отрезкемногочлен Чебышевапринимает значения, равные по модулю единице, вточке. (7)
Точки различны, так как функция монотонна на отрезке, и имеет место знакочередование.
Приведем коэффициент при старшей степени у многочлена Чебышева к единице и рассмотрим приведенный многочлен Чебышева . Макс-ное отклонение приведенного многочлена Чебышевана отрезкеравнои достигается в точках (7):. (8)
Теорема. Для любого приведенного мн-на степениn вып-ся неравенство .
Д-во. Допустим противное: сущ-ет приведенный мн-ен степениn, для которого вып-ся нер-во . (9)
Образуем разность и рассмотрим значения многочленастепенив точках монотонной последовательности (7):
. Здесь учтены равенства (8) и неравенство (9). Таким образом, многочлен степенименяет знак на отрезкеn раз, а следовательно, имеет на нем n корней. Отсюда следует и. Пришли к рав-ву, что противоречит (9).
Если при интерпол-ии на отрезке интерпол. мн-ном
Лагранжа в качестве набора узлов интерполяции взять множество корнеймногочлена Чебышева, то будет выполнено рав-во:и оценка (1) примет вид(10) Как следует из доказанной теоремы, эта оценка не может быть улучшена, то есть, оценка (10) является минимальной (оптимальной) оценкой остаточного члена интерпол-ного многочлена на отрезке .
Произвольный отрезок можно привести к отрезкузаменой переменного.
7. Разделенные разности и интерполяционная формула Ньютона с разделенными разностями.
Ф-ия назадана табл.,. Разд.раз-типорядка k опр. рекуррентно ч-з разд.раз-ти порядкар-вом
(1)
Здесь разд.раз-ти 0-го порядка совпадают со значениями функции в узлах.
Лемма. Для разд.раз-й справедливо равенство
(2)
Док-во. По методу мат. индукции. При получаем
Далее предположим, что (2) верна для всех разд. разн-й порядка включительно. Докажем, что (2) имеет место для разностейпорядка
Лемма док-на. Из нее =>, что разд. разн-ти явл. симметричными функциями своих арг-тов.
Интерполяц. многочлен Ньютона с разд. разн-ми.
Через будем обозначать интерпол. многочлен Лагранжа для ф-и,, построен. по узлам,Рассмотрим очевидное тож-во(1). Разностьесть мн-н степенис корнями,т.к. в силу инт. условий приимеем. Поэтому(2) Положим в (2)и найдем константу :. Итак, получили. Теперь (1) можно записать в виде
(3) Ф-лу (3) наз. инт. ф-лой Ньютона с разд. разностями.