- •1.Источники и классификация погрешностей. Неустранимая и вычислительная погрешность.
- •2. Постановка задачи интерполирования. Существование и единственность обобщенного интерполяционного многочлена.
- •3. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
- •4. Схема Эйткина
- •5. Остаточный член интерполяционного многочлена Лагранжа.
- •6. Минимиз. Оценки остаточного члена интерпол. Мн-на.
- •7. Разделенные разности и интерполяционная формула Ньютона с разделенными разностями.
- •8. Конечные разности и интерполяционные формулы Ньютона с конечными разностями.
- •9. Составление таблиц.
- •10. Сходимость интерполяционного процесса
- •11.Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. Интерполяционный многочлен Эрмита с узлами кратности 2.
- •13 . Оптимизация шага при численном диф-нии
- •14. Интерполяционные квадратурные формулы
- •15. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса
- •16. Простейшие квадрат ф-лы н-Кот. И оценка их погрешности.
- •17. Составные квадратурные формулы средних прямоугольников, трапеций, парабол и оценка их погрешности
- •18. Квадратурные формулы Гаусса
- •20. Метод наименьших квадратов.
- •22.Обобщённые мног-ны наилучших среднеквадратических приближений.
- •24. Многочлены наилучших равномерных приближений. Примеры.
- •25. Наилучшие приближения в линейном нормированном пространстве.
- •26. Интерполяционные сплайны.
- •27. Существование и единственность кубического сплайна.
- •28.Краткие сведения о нормах векторов и матриц.
- •29. Обусловленность линейных алгебраических систем.
- •30. Метод Гаусса решения системы линейных ур-ний.
- •31. - Разложение квадратных матриц.
- •32. Разложение симметричных матриц. Метод квадр. Корней решения лин. Алг.Систем
- •34. Принцип сжимающих отображений в метрическом пространстве.
- •35. Метод простой итерации решения лин. Алг. Систем и усл. Его сходимости.
- •36. Метод Якоби решения линейных алгебраических систем
- •37. Метод Зейделя решения лин. Алг. Систем.
- •38. Метод покоординатного спуска решения линейных алгебраических систем.
- •39. Метод скорейшего спуска решения линейных алгебраических систем
- •40. Степенной метод решения частичной проблемы собственных значений.
- •41. Метод Данилевского раскрытия характеристического уравнения
- •42. Метод вращений решения полной проблемы собственных значений.
- •43. Метод бисекции и простой итерации решения уравнений с одним неизвестным.
- •44. Методы хорд и касательных как частные случаи метода простой итерации.
- •45. Методы локализации корней алгебраического уравнения.
- •46. Метод Лобачевского решения алгебраических уравнений.
- •47. Методы простой итерации и Зейделя решения системы нелинейных уравнений.
- •48. Метод Ньютона и аналоги метода Зейделя решения системы нелинейных уравнений.
- •49. Классификация численных методов решения задачи Коши. Методы Эйлера, трапеций и к-э.
- •50. Метод Рунге-Кутта решения задачи Коши. Построение методов р-к второго порядка точности.
- •51. Оценка погрешности и сходимость одношаговых методов решения задачи Коши.
- •52. Экстраполяц. Метод Адамса решения задачи Коши.
- •53. Интерполяционный метод Адамса решения задачи Коши.
- •54. Общий вид линейных многошаговых методов решения задачи Коши.
- •55. Условие корней многошаговых методов решения задачи Коши
- •56. Сходимость многошаговых методов решения Коши.
- •57. Сеточные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •58. Сходимость сеточного метода решения краевых задач для обыкновенных диф. Уравнений.
- •59. Методы прогонки и пристрелки решения разностных схем при решении краевых задач для обыкновенных д.У.
- •60. Эквивалентность граничных и вариационных задач
- •61. Метод Ритца решения вариационных задач.
- •62. Построение системы линейных уравнений для определения значений параметров в методе Ритца.
- •63. Вариационно-разностный вариант метода Рица.
- •64. Сеточные методы решения краевой задачи для уравнения Пуассона. Фоpмулиpовка исходной диффеpенциальной краевой задачи
- •Постpоение pазностной схемы
- •65. Основные понятия теории разностных схем.
- •66. Сходимость сеточного метода
- •Фоpмулиpовка исходной дифференциальной краевой задачи
- •67.Метод матричной прогонки решения разностной схемы. Фоpмулиpовка исходной диффеpенциальной краевой задачи
- •68. Разностные схемы для одномерного параболического уравнения. Фоpмулиpовка исходной диффеpенциальной задачи
- •69. Разностные схемы решения задачи Коши для уравнения гиперболического типа.
- •70. Сеточные методы решения смешанной задачи для уравнений гиперболического типа.
- •71. Метод квадратур решения интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода.
- •72. Решение интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром.
- •Решение интегр. Ур-ния с вырожденным ядром.
- •73. Решение интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода методом вырожденного ядра.
- •Способы приближения невырожденного ядра вырожденным.
42. Метод вращений решения полной проблемы собственных значений.
Метод вращений предназначен для решения полной проблемы собственных значений для эрмитовых матриц. В алгебре доказывается, что для эрмитовой матрицы существует унитарная матрица, такая, что преобразование подобия с ней приводит матрицук диагональной матрице: (1)
Для унитарной матрицы по определению сопряженная матрица равна обратной: . Таким образом, равенство (1) можно переписать в виде(2)
Собственными значениями диагональной матрицы являются ее диагональные элементы, а собственными векторами - соответствующие единичные (координатные) векторы, где- символ Кронекера. Выполнение равенствв данном случае очевидно.
Строки унитарной матрицы являются собственными векторами матрицы. Это следует из(2): . Действительно, отсюда имеемилиили, где.
Вещественные симметрические матрицы являются частным случаем эрмитовых матриц. Рассмотрим метод вращений для вещественных симметрических матриц.
Найдем наибольший по модулю внедиагональный элемент вещественной симметрической матрицы . Пусть таковым оказался элемент.Без ограничения общности можно считать.
Введем в рассмотрение матрицу вращения
Умножим матрицу справа на матрицу. Получим матрицу, которая отличается от матрицытолько столбцамиi и j:
(3), (4)
Из (3) и (4) при этом следует, что сумма квадратов элементов этих столбцов остается без изменения:
(5)
Умножим матрицу слева на матрицу. Получим матрицу, которая отличается от матрицытолько строкамиi и j:
(6), (7)
Из (6) и (7) при этом следует, что сумма квадратов элементов этих строк остается без изменения:
(8)
Таким образом, преобразование подобия
(9) не меняет суммы квадратов элементов матрицы:
Преобразование подобия (9) также сохраняет симметричность матрицы: .
Теперь начинается самое главное. Преобразование подобия (9) меняет только два диагональных элемента. При этом, из симметрии , формул (8) и (5) следует: Это значит, что припреобразование (9) увеличит сумму квадратов диагональных элементов и соответственно уменьшит сумму квадратов внедиагональных элементов матрицы на величину. Из (6) и (4) получаем уравнение для определения соответствующего угла
Отсюда находим искомый угол поворота ,(10)
Мы рассмотрели идею метода вращений и получили расчетные формулы метода. В методе вращений строится последовательность матриц (11)
по правилу (12)
Построение последовательности (11) заканчивается получением матрицы , недиагональные элементы которой можно считать равными нулю в пределах заданной точности. При этом ее диагональные элементы принимаются за собственные значения.
В качестве собственных векторов можно взять соответствующие строки матрицы . Может оказаться, что собственные векторы проще находить непосредственно решением систем.
Теорема. Матричная последовательность (11) в методе вращений сходится к диагональной матрице со скоростью геометрической погрешности.
Доказательство. Обозначим . Имеем. Следовательно, сумма квадратов недиагональных элементов в матричной последовательности (11) сходится к нулю не хуже, чем геометрическая последовательность со знаменателем. Теорема доказана.