- •1.Источники и классификация погрешностей. Неустранимая и вычислительная погрешность.
- •2. Постановка задачи интерполирования. Существование и единственность обобщенного интерполяционного многочлена.
- •3. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
- •4. Схема Эйткина
- •5. Остаточный член интерполяционного многочлена Лагранжа.
- •6. Минимиз. Оценки остаточного члена интерпол. Мн-на.
- •7. Разделенные разности и интерполяционная формула Ньютона с разделенными разностями.
- •8. Конечные разности и интерполяционные формулы Ньютона с конечными разностями.
- •9. Составление таблиц.
- •10. Сходимость интерполяционного процесса
- •11.Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. Интерполяционный многочлен Эрмита с узлами кратности 2.
- •13 . Оптимизация шага при численном диф-нии
- •14. Интерполяционные квадратурные формулы
- •15. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса
- •16. Простейшие квадрат ф-лы н-Кот. И оценка их погрешности.
- •17. Составные квадратурные формулы средних прямоугольников, трапеций, парабол и оценка их погрешности
- •18. Квадратурные формулы Гаусса
- •20. Метод наименьших квадратов.
- •22.Обобщённые мног-ны наилучших среднеквадратических приближений.
- •24. Многочлены наилучших равномерных приближений. Примеры.
- •25. Наилучшие приближения в линейном нормированном пространстве.
- •26. Интерполяционные сплайны.
- •27. Существование и единственность кубического сплайна.
- •28.Краткие сведения о нормах векторов и матриц.
- •29. Обусловленность линейных алгебраических систем.
- •30. Метод Гаусса решения системы линейных ур-ний.
- •31. - Разложение квадратных матриц.
- •32. Разложение симметричных матриц. Метод квадр. Корней решения лин. Алг.Систем
- •34. Принцип сжимающих отображений в метрическом пространстве.
- •35. Метод простой итерации решения лин. Алг. Систем и усл. Его сходимости.
- •36. Метод Якоби решения линейных алгебраических систем
- •37. Метод Зейделя решения лин. Алг. Систем.
- •38. Метод покоординатного спуска решения линейных алгебраических систем.
- •39. Метод скорейшего спуска решения линейных алгебраических систем
- •40. Степенной метод решения частичной проблемы собственных значений.
- •41. Метод Данилевского раскрытия характеристического уравнения
- •42. Метод вращений решения полной проблемы собственных значений.
- •43. Метод бисекции и простой итерации решения уравнений с одним неизвестным.
- •44. Методы хорд и касательных как частные случаи метода простой итерации.
- •45. Методы локализации корней алгебраического уравнения.
- •46. Метод Лобачевского решения алгебраических уравнений.
- •47. Методы простой итерации и Зейделя решения системы нелинейных уравнений.
- •48. Метод Ньютона и аналоги метода Зейделя решения системы нелинейных уравнений.
- •49. Классификация численных методов решения задачи Коши. Методы Эйлера, трапеций и к-э.
- •50. Метод Рунге-Кутта решения задачи Коши. Построение методов р-к второго порядка точности.
- •51. Оценка погрешности и сходимость одношаговых методов решения задачи Коши.
- •52. Экстраполяц. Метод Адамса решения задачи Коши.
- •53. Интерполяционный метод Адамса решения задачи Коши.
- •54. Общий вид линейных многошаговых методов решения задачи Коши.
- •55. Условие корней многошаговых методов решения задачи Коши
- •56. Сходимость многошаговых методов решения Коши.
- •57. Сеточные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •58. Сходимость сеточного метода решения краевых задач для обыкновенных диф. Уравнений.
- •59. Методы прогонки и пристрелки решения разностных схем при решении краевых задач для обыкновенных д.У.
- •60. Эквивалентность граничных и вариационных задач
- •61. Метод Ритца решения вариационных задач.
- •62. Построение системы линейных уравнений для определения значений параметров в методе Ритца.
- •63. Вариационно-разностный вариант метода Рица.
- •64. Сеточные методы решения краевой задачи для уравнения Пуассона. Фоpмулиpовка исходной диффеpенциальной краевой задачи
- •Постpоение pазностной схемы
- •65. Основные понятия теории разностных схем.
- •66. Сходимость сеточного метода
- •Фоpмулиpовка исходной дифференциальной краевой задачи
- •67.Метод матричной прогонки решения разностной схемы. Фоpмулиpовка исходной диффеpенциальной краевой задачи
- •68. Разностные схемы для одномерного параболического уравнения. Фоpмулиpовка исходной диффеpенциальной задачи
- •69. Разностные схемы решения задачи Коши для уравнения гиперболического типа.
- •70. Сеточные методы решения смешанной задачи для уравнений гиперболического типа.
- •71. Метод квадратур решения интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода.
- •72. Решение интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром.
- •Решение интегр. Ур-ния с вырожденным ядром.
- •73. Решение интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода методом вырожденного ядра.
- •Способы приближения невырожденного ядра вырожденным.
8. Конечные разности и интерполяционные формулы Ньютона с конечными разностями.
Пусть ф-ия на отрезкезадана табл.с равноотстоящими узлами. Конечные раз-типорядка k опр. рекуррентно через конечные раз-ти порядкаk-1 рав-ом (1). Здесь конечные раз-ти нулевого порядка берутся равными значениямфункции в узлах.Лемма. Разд. раз-ти в случае равноотстоящих узлов выр-ся ч-з конечные раз-ти по формуле (2).Доказательство. Для случая k=1 проверяем формулу непосредственно
.
Пусть ф-ла (2) справедлива для раз-ей порядка k-1. Т.имеем .Лемма доказана. В случае выбора в качестве узлов инт. табл. узловф-ла Ньютона с разд-ми разн-ми принимает вид(3)Заменим в ней разд. раз-ти конечными в соответствии с (2). Получим
(4). В формуле (4) сделаем замену переменной по правилу(4′). Формулу (4′) наз инт. ф-й Ньютона для инт-ия в начале таблицы или для инт. вперед. Здесь имеется в виду, что приp = 0 первый узел инт-ии совп. с начальным узлом т-цы и ост. инт. узлы расп-ся от него вниз (вперед) по таблице. В качестве узлов инт-ии возьмем теперь табличные узлы . Т. инт. формула Ньютона с разд. раз-ми при-ет вид. (5)Так как разд. разности явл-ся сим-миf-ми своих аргументов, то по формуле (2) имеем . (6)
Заменим в формуле (5) разд. р-ти конечными в соответствии с формулой (6). Получим .(7)
В формуле (7) сделаем замену переменной по пр-лу :(7′)
Ф-лу (7′) наз-ют инт. формулой Ньютона для инт-ия в конце табл. или для инт-ия назад. Здесь имеется в виду, что при первый узел инт-ии совпадает с последним узлом таблицы и остальные инт-ые узлы расп-ся от него вверх (назад) по таблице.Зам. В кач. нач. узла инт-ии обычно выб-ся табл. узел, ближайший к зад. значению аргументаx. Далее выч. . Если, в качестве инт-ых берутся табл. узлы вниз оти выч. пров-ся по инт. Ф-е Ньютона (4′) для инт. в начале таблицы. В случае когда, в кач-е инт. берутся табл. узлы вверх оти вычисления проводятся по инт. формуле Ньютона (7′) для инт-ия в конце табл.
9. Составление таблиц.
Для зад-ой ф-ии требуется постр. на отрезкет-цу. При этом постоянный шаг таблицыh должен быть выбран так, чтобы таблица допускала инт-ию многочленом степени k с заданной точностью . При решении поставленной задачи воспользуемся полученной оценкой остаточного члена инт. многочлена Лагранжа степениk по узлам :,(1) где,. Т. о., шаг т-цыh следует выбрать так, чтобы уд-лось не-во .(2)Проведем замену переменного по пр-лу. Т. не-во (2) принимает вид. Сл-но, искомое значение шага т-цыh должно уд. Не-ву (3)Здесь предп-ся, что зн-е ар-таx отрезку инт-ии. Итак, задача нах-ия искомого значения шага таблицыh сводится к задаче нахождения max ф-ии на отрезке.В случае линейной инт-ииk=1имеем. Решение уравнениядает. Т.о., т-ца допускает линейную инт-ию с заданной точностью, если ее шаг уд-ет неравенству.(4) Для ф-ииимееми приможно взятьh=0.002. В случае квадратичной интерполяции k = 2 имеем . Решение Ур-иядает.Получаем
. Т.о., т-ца допускает квадратичную инт-ю с заданной точностью, если ее шаг уд-ет не-ву (5) Если при квадр-ой инт-ии выбирать узлы инт-ии так, чтобы таб-ый узелбыл ближайшим кx,то .б вып. не-во илии при выборе шага нужно находить только. Поскольку, то ф-ияна отрезкемонотонно убывает. Сл-но,. В рез-те приходим к оценке шага т-цы.(6)Для ф-ииимееми прим.взятьh= 0.02.Т-ца ф-ии y=sinx, доп-щая кв-ую инт-ию, требует для своего хр-ия в 10 раз < объема памяти, чем т-ца этой же ф-ии, доп-ая только лин-ую инт-ию.