- •1.Источники и классификация погрешностей. Неустранимая и вычислительная погрешность.
- •2. Постановка задачи интерполирования. Существование и единственность обобщенного интерполяционного многочлена.
- •3. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
- •4. Схема Эйткина
- •5. Остаточный член интерполяционного многочлена Лагранжа.
- •6. Минимиз. Оценки остаточного члена интерпол. Мн-на.
- •7. Разделенные разности и интерполяционная формула Ньютона с разделенными разностями.
- •8. Конечные разности и интерполяционные формулы Ньютона с конечными разностями.
- •9. Составление таблиц.
- •10. Сходимость интерполяционного процесса
- •11.Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. Интерполяционный многочлен Эрмита с узлами кратности 2.
- •13 . Оптимизация шага при численном диф-нии
- •14. Интерполяционные квадратурные формулы
- •15. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса
- •16. Простейшие квадрат ф-лы н-Кот. И оценка их погрешности.
- •17. Составные квадратурные формулы средних прямоугольников, трапеций, парабол и оценка их погрешности
- •18. Квадратурные формулы Гаусса
- •20. Метод наименьших квадратов.
- •22.Обобщённые мног-ны наилучших среднеквадратических приближений.
- •24. Многочлены наилучших равномерных приближений. Примеры.
- •25. Наилучшие приближения в линейном нормированном пространстве.
- •26. Интерполяционные сплайны.
- •27. Существование и единственность кубического сплайна.
- •28.Краткие сведения о нормах векторов и матриц.
- •29. Обусловленность линейных алгебраических систем.
- •30. Метод Гаусса решения системы линейных ур-ний.
- •31. - Разложение квадратных матриц.
- •32. Разложение симметричных матриц. Метод квадр. Корней решения лин. Алг.Систем
- •34. Принцип сжимающих отображений в метрическом пространстве.
- •35. Метод простой итерации решения лин. Алг. Систем и усл. Его сходимости.
- •36. Метод Якоби решения линейных алгебраических систем
- •37. Метод Зейделя решения лин. Алг. Систем.
- •38. Метод покоординатного спуска решения линейных алгебраических систем.
- •39. Метод скорейшего спуска решения линейных алгебраических систем
- •40. Степенной метод решения частичной проблемы собственных значений.
- •41. Метод Данилевского раскрытия характеристического уравнения
- •42. Метод вращений решения полной проблемы собственных значений.
- •43. Метод бисекции и простой итерации решения уравнений с одним неизвестным.
- •44. Методы хорд и касательных как частные случаи метода простой итерации.
- •45. Методы локализации корней алгебраического уравнения.
- •46. Метод Лобачевского решения алгебраических уравнений.
- •47. Методы простой итерации и Зейделя решения системы нелинейных уравнений.
- •48. Метод Ньютона и аналоги метода Зейделя решения системы нелинейных уравнений.
- •49. Классификация численных методов решения задачи Коши. Методы Эйлера, трапеций и к-э.
- •50. Метод Рунге-Кутта решения задачи Коши. Построение методов р-к второго порядка точности.
- •51. Оценка погрешности и сходимость одношаговых методов решения задачи Коши.
- •52. Экстраполяц. Метод Адамса решения задачи Коши.
- •53. Интерполяционный метод Адамса решения задачи Коши.
- •54. Общий вид линейных многошаговых методов решения задачи Коши.
- •55. Условие корней многошаговых методов решения задачи Коши
- •56. Сходимость многошаговых методов решения Коши.
- •57. Сеточные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •58. Сходимость сеточного метода решения краевых задач для обыкновенных диф. Уравнений.
- •59. Методы прогонки и пристрелки решения разностных схем при решении краевых задач для обыкновенных д.У.
- •60. Эквивалентность граничных и вариационных задач
- •61. Метод Ритца решения вариационных задач.
- •62. Построение системы линейных уравнений для определения значений параметров в методе Ритца.
- •63. Вариационно-разностный вариант метода Рица.
- •64. Сеточные методы решения краевой задачи для уравнения Пуассона. Фоpмулиpовка исходной диффеpенциальной краевой задачи
- •Постpоение pазностной схемы
- •65. Основные понятия теории разностных схем.
- •66. Сходимость сеточного метода
- •Фоpмулиpовка исходной дифференциальной краевой задачи
- •67.Метод матричной прогонки решения разностной схемы. Фоpмулиpовка исходной диффеpенциальной краевой задачи
- •68. Разностные схемы для одномерного параболического уравнения. Фоpмулиpовка исходной диффеpенциальной задачи
- •69. Разностные схемы решения задачи Коши для уравнения гиперболического типа.
- •70. Сеточные методы решения смешанной задачи для уравнений гиперболического типа.
- •71. Метод квадратур решения интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода.
- •72. Решение интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром.
- •Решение интегр. Ур-ния с вырожденным ядром.
- •73. Решение интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода методом вырожденного ядра.
- •Способы приближения невырожденного ядра вырожденным.
20. Метод наименьших квадратов.
Пусть ф-ия f(x) задана табл. yi=f(xi); i=0,…n. Надо эту ф-ию приблизить ф-ей вида φ(x, a0,...,am). Знач-я неизвест-х парам-ов aj;j=0,...m надо выбрать т.ч. сумма кв-ов отклонений
(1) ф-ии f от ф-ии φ по всем табл-ым узлам xi была мин-ой. Е. ф-ия φ явл. достаточно гладкой, то искомые зн. параметров м.б. найдены из условий Ферма . (2)
Когда ф-ия φ линейно зависит от параметров: , с-ма (2) будет линейной. После простых преобразований с-ма:
.(3)
Определитель с-мы - определитель Грама с элементамиAkj, равными скалярным произвед-ям .
Теорема. Если последов-ть непрерывных ф-ций явл. сис-мой Чебышева на [a;b], то определитель с-мы (3) ≠ 0 при любых наборах попарно неравных узлов .
Доказательство. Противное: последов-сть ф-ий явл. сис-мой Чебышева на отр-е, но при некот-ом наборе попарно неравных узлов. Тогда столбцы определителя будут линейно зависимыми. =>. Умножая последние равенства на соответствующиеck и проводя суммирование по k, получим
, откуда . Т. о., нетривиальный обобщенный многочленобращается в 0 на отрезке не менее чем вn+1-й точке, что > m. Полученное противоречие доказывает теорему.
При m=n единственным решение – интерполяц-ый обобщенный многочлен φ(x); при этом min сумма квадратов отклонений: Ф=0.
Сис-ма ф-ий явл. сис-мой Чебышева на любом отр., поэтому наилучшее приближение табличной ф-ииyi=f(xi) алгебраическим многочленом степениm<=n по методу наименьших квадратов сущ-ет, явл. единственным и коэффиценты многочлена м.б. найдены из линейной алгебраической системы . Приm=2 система:
22.Обобщённые мног-ны наилучших среднеквадратических приближений.
Будем апроксим. ф-ию f(x) некот. ф-ей т.о. , чтобы ф-ияв среднем достаточно хорошо описывала поведение ф-ииf .Будем считать , что ф-ии f и непрерывны на. Одновременно будем рассм. Два случая:
1) f и непрерывны наи близость между ф-ямиf и понимается в интегральном смысле.
2) f и заданы только в точках,отрезкав которых производится согласование между этими ф-ями.
Двум случаям поставим в соответствие непрерывное и дискретное пр-во.
1) - пр-во непрерывных наф-ий с метрикой.
Скалярное произведение равно:
и нормой .
2) про-во сеточных ф-ийf(x), т.е. опред. В узлах сетки принадлежитс метрикой
Скалярное произведение равно:
и нормой
Введём в пр-вах иметрики по отношению приближённому равенствупредстовл. собой интегральную и дискретную (точечную) средне квадратические ошибки. Пусть ф-ия, гдеФ некоторое множество ф-ий. В соответствии с методом наименьших квадратов(МНК) имеем зад. опред. ф-ии такой, что(1).
Решив задачу (1) получим наилучшее среднеквадратическое приближение для ф-ии f.
Предположим, что есть некоторое подпространство натянутых на ф-ию, тогда несложно заметить, что решением (1) будет ф-ия, где коэффиц.удовлетворяет системе алг. ур.:(2)
Рассмотрим матрицу , которая наз. матрицей Грамма.
Лемма: Если ф-ия - лин. незав., то матрица G – положительно определённая.
Д-во:Имеем ,
, а - скалярное произведение в.
Поскольку , причём знак рав-ва имеет место только в случае, то кв. ф.. Т.о. система (2) однозначно разрешима. Из системы (2) находим коэфф.и многочлен, который называется многочленом наилучшего среднеквадратического приближения.
Наибольший интерес преедстовляет случай , когда ф-ия - ортогональны, в этом случае матрицаG имеет вид b решение (2) определяется формулой . В этом случаеG- наз. коэффиц. Фурье, а многочлен - обобщенным многочленом Фурье. Если ф-ия- ортонормированны, то обобщенный многочлен Фурье имеет вид:.