- •1.Источники и классификация погрешностей. Неустранимая и вычислительная погрешность.
- •2. Постановка задачи интерполирования. Существование и единственность обобщенного интерполяционного многочлена.
- •3. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
- •4. Схема Эйткина
- •5. Остаточный член интерполяционного многочлена Лагранжа.
- •6. Минимиз. Оценки остаточного члена интерпол. Мн-на.
- •7. Разделенные разности и интерполяционная формула Ньютона с разделенными разностями.
- •8. Конечные разности и интерполяционные формулы Ньютона с конечными разностями.
- •9. Составление таблиц.
- •10. Сходимость интерполяционного процесса
- •11.Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. Интерполяционный многочлен Эрмита с узлами кратности 2.
- •13 . Оптимизация шага при численном диф-нии
- •14. Интерполяционные квадратурные формулы
- •15. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса
- •16. Простейшие квадрат ф-лы н-Кот. И оценка их погрешности.
- •17. Составные квадратурные формулы средних прямоугольников, трапеций, парабол и оценка их погрешности
- •18. Квадратурные формулы Гаусса
- •20. Метод наименьших квадратов.
- •22.Обобщённые мног-ны наилучших среднеквадратических приближений.
- •24. Многочлены наилучших равномерных приближений. Примеры.
- •25. Наилучшие приближения в линейном нормированном пространстве.
- •26. Интерполяционные сплайны.
- •27. Существование и единственность кубического сплайна.
- •28.Краткие сведения о нормах векторов и матриц.
- •29. Обусловленность линейных алгебраических систем.
- •30. Метод Гаусса решения системы линейных ур-ний.
- •31. - Разложение квадратных матриц.
- •32. Разложение симметричных матриц. Метод квадр. Корней решения лин. Алг.Систем
- •34. Принцип сжимающих отображений в метрическом пространстве.
- •35. Метод простой итерации решения лин. Алг. Систем и усл. Его сходимости.
- •36. Метод Якоби решения линейных алгебраических систем
- •37. Метод Зейделя решения лин. Алг. Систем.
- •38. Метод покоординатного спуска решения линейных алгебраических систем.
- •39. Метод скорейшего спуска решения линейных алгебраических систем
- •40. Степенной метод решения частичной проблемы собственных значений.
- •41. Метод Данилевского раскрытия характеристического уравнения
- •42. Метод вращений решения полной проблемы собственных значений.
- •43. Метод бисекции и простой итерации решения уравнений с одним неизвестным.
- •44. Методы хорд и касательных как частные случаи метода простой итерации.
- •45. Методы локализации корней алгебраического уравнения.
- •46. Метод Лобачевского решения алгебраических уравнений.
- •47. Методы простой итерации и Зейделя решения системы нелинейных уравнений.
- •48. Метод Ньютона и аналоги метода Зейделя решения системы нелинейных уравнений.
- •49. Классификация численных методов решения задачи Коши. Методы Эйлера, трапеций и к-э.
- •50. Метод Рунге-Кутта решения задачи Коши. Построение методов р-к второго порядка точности.
- •51. Оценка погрешности и сходимость одношаговых методов решения задачи Коши.
- •52. Экстраполяц. Метод Адамса решения задачи Коши.
- •53. Интерполяционный метод Адамса решения задачи Коши.
- •54. Общий вид линейных многошаговых методов решения задачи Коши.
- •55. Условие корней многошаговых методов решения задачи Коши
- •56. Сходимость многошаговых методов решения Коши.
- •57. Сеточные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •58. Сходимость сеточного метода решения краевых задач для обыкновенных диф. Уравнений.
- •59. Методы прогонки и пристрелки решения разностных схем при решении краевых задач для обыкновенных д.У.
- •60. Эквивалентность граничных и вариационных задач
- •61. Метод Ритца решения вариационных задач.
- •62. Построение системы линейных уравнений для определения значений параметров в методе Ритца.
- •63. Вариационно-разностный вариант метода Рица.
- •64. Сеточные методы решения краевой задачи для уравнения Пуассона. Фоpмулиpовка исходной диффеpенциальной краевой задачи
- •Постpоение pазностной схемы
- •65. Основные понятия теории разностных схем.
- •66. Сходимость сеточного метода
- •Фоpмулиpовка исходной дифференциальной краевой задачи
- •67.Метод матричной прогонки решения разностной схемы. Фоpмулиpовка исходной диффеpенциальной краевой задачи
- •68. Разностные схемы для одномерного параболического уравнения. Фоpмулиpовка исходной диффеpенциальной задачи
- •69. Разностные схемы решения задачи Коши для уравнения гиперболического типа.
- •70. Сеточные методы решения смешанной задачи для уравнений гиперболического типа.
- •71. Метод квадратур решения интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода.
- •72. Решение интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром.
- •Решение интегр. Ур-ния с вырожденным ядром.
- •73. Решение интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода методом вырожденного ядра.
- •Способы приближения невырожденного ядра вырожденным.
30. Метод Гаусса решения системы линейных ур-ний.
Рассм. сис-му лин. алгебр. уравнений Ax=b (1), где . Будем предполагать, чтоdet(A)≠0, т.е. система (1) однозначно разрешима при любой правой части. Перепишем (1) в развернутом виде (2). Идея метода Гаусса в приведении матрицы А в (1) к треугольному виду. После этого нахождение вектора x не будет составлять труда. На (k-1)-ом шаге метода Гаусса система (2) приводится к виду:, (3)
. (4) На k-ом шаге метода Гаусса обрабатыв. только подсистема (4). Вначале приводим 1-ый коэффициент 1-ого уравнения в (4) к единице, т.е. , коэфф-ты которого вычис. через коэффициенты системы (4) по расчетной формуле
(5). Далее из всех уравнений подсистема (4) начиная со 2-го исключает неизвестную ,т.е. все ур-ния подсистемы (4) начинаясо 2-го приводим к виду
Коэффициенты системы рассчитываются по формуле (6)
На этом заканчивается k-ый шаг метода и начин. очередной k+1 шаг. Указанные шаги повторяются до тех пор, пока исходная система (2) не будет приведена к виду:
,(7) (8). На этом заканчивается прямой ход метода Гаусса и начинается обратный. Из последнего ур-ния(8)Далее, двигаясь по системе снизу-вверх находим
Замечание1. При реализации вычислений по ф-лам (5) (6) прдполагаем . В случае нарушения этого услов необходимо соответств образом переставить ур-ния в (4).Замечание2. В ходе вычислен по (5) определитель м-цы А делится на величину . Определит системы (7)(8) очевидно равенпоэтому.
31. - Разложение квадратных матриц.
Пусть данная квадратная матрица. Будем строить разложение этой матрицы в виде: (1), где - нижняя (левая) треугольная матрица, - верхняя (правая) треугольна матрица.
Теорема: Пусть все главные миноры матрицы отличны от, тогда (1) существует.
При этом, если диагональ одной из матриц или фиксированы, то такое разложение единственное.
Вместо доказательства укажем способ построения разложения (1) . Зафиксируем элементы главной диагонали матрицы положив их равными. Матричному равенству (1) поставим в соответствие равенство:
(2)
Выполнив умножение в левой части (2) получим систему уравнений относительно неизвестных ,.
(3)
Специфика данной системы позволяет решать её следующим образом: из 1 строки в (3) находим ,. Из оставшейся части 1-ого столбца находим,,. Далее, из оставшейся части 2-ой строки находим,. Из оставшейся части 2-ого столбца находим,, и т.д. Последним определяем элемент
Указанный процесс решения системы (3) можно описать посредством двух формул: ,(4)
, (5)
При практическом счёте необходимо вовремя переключаться с формулы (4) на формулу (5) в соответствии с указанной выше последовательностью. При выполнении условий теоремы формула (5):. Действительно,и т.д.
Замечание: Разложение (1) всегда осуществимо, если матрица. А является матрицей с диагональным преобразованием, т.е. для такой матрицы выполняется ,
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (6). Применим к матрице-разложение. В итоге, будем иметь(7)
Систему (7) представим в виде двух систем (8)
Поскольку матрицы итреугольные, то решения каждой из подсистем (8) идентично обратному ходу метода Гаусса.