48. Метод Ньютона и аналоги метода Зейделя решения системы нелинейных уравнений.

Рассмотрим систему нелинейных уравнений, заданную в виде , (4), где–n-вектор-функция, заданная в n-мерном векторном пространстве или на некотором его множестве. Пусть система (4) имеет решение и Якобиан, где- матрица Якоби вектор-функции, отличен от нуля в области. Тогда нелинейная система

(5) равносильна в области П системе (4). Примененный к решению системы (5) метод простой итерации (6) называют методом Ньютона для решения системы (4).

Найдем значения частных производных в точке:

.

В силу непрерывности рассматриваемых функций и их производных существует достаточно малое , что в П будут выполнены условия. Таким образом, метод Ньютона (6) будет сходиться при любом начальном приближении из П.

Покажем, что метод Ньютона (6) имеет квадратический характер сходимости. При этом воспользуемся разложением в ряд Тэйлора:

(7) Воспользуемся формулой (6) и разложением (7):

Отсюда получаем искомую приближенную оценку

Для решения системы в виде (4) применяются различные аналоги метода Зейделя. Рассмотрим один из них. Пусть уже найдено приближение . Вычислим невязки:

. Найдем наибольшую по модулю невязку. Пусть таковой оказалась невязка . Далее решаем уравнениеотносительно неизвестной. Найденное решение принимают за. Затем вычислим невязки.Выберем наибольшую по модулю невязку, решим уравнениеотносительнои получим приближение. Далее выполняются аналогичные действия, пока не будут найдены все компоненты для приближения. Потом увеличивается значениеk на единицу и процесс повторяется. Вычисления прекращаются, когда невязки по модуля станут достаточно малыми.

49. Классификация численных методов решения задачи Коши. Методы Эйлера, трапеций и к-э.

Рассмотрим на отрезке задачу Коши для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка(1) с начальным условием.(2)

Пусть задача Коши (1), (2) имеет единственное решение . На отрезкезададим последовательность точек

(3)

Говорят, что на отрезке введена сетка. Сетка – это конечное множество точек, в данном случае, на отрезке. Точки называют узлами сетки. Узлыназывают граничными, остальные узлы сетки – внутренними. Если расстояниемежду соседними узлами сетки не одинаково, то говорят, что задана неравномерная сетка. Если же, то говорят, что на отрезке задана равномерная сетка с шагом. В численных методах решения задачи Коши приближенное решение ищется в виде таблицы чисел, приближающих значенияточного решения в узлах сетки. Расчетные формулы численных методов решения задачи Коши в большинстве случаев можно представить в виде. (4) Здесь функцияопр-ся выбором сетки и способом построения метода. Если,, то расчетная формула (4) принимает вид. (5). Такие методы называют явными одношаговыми. Если,, то расчетная формула (4) принимает вид. (6). Соотв-ий метод называют неявным одношаговым. В случае когда в расчетной формуле (4)или, методы называют многошаговыми. Примногошаговые методы, как и одношаговые, называются явными, а при- неявными.

Методы Эйлера, трапеций и Коши-Эйлера.

Рассмотрим задачу Коши для нелинейного о. д. у. первого порядка: , (7). (8)

На отрезке введем сетку(9)

Геометр. вывод расчетной формулы метода Эйлера.

Пусть найдено уже приближение к решениюзадачи (7), (8) в узлесетки (9). Обозначим черезинтегральную кривую дифференциального уравнения (7), проходящую через точку. Проведем к этой интегральной кривой касательную в точкедо пересечения с вертикальюв точкеи ординату точкивозьмем в качестве приближенияк решениюзадачи (7), (8) в узле.

Из прямоугольного треугольника найдем выражение для вычисления

.

Получили для решения задачи Коши (7), (8) расчетную формулу метода Эйлера: (10)

Аналитич. вывод расчетной формулы метода Эйлера.

Проведем разложение в ряд Тейлора (11)

Из этого разложения с учетом, что и, получаем снова расчетное правило метода Эйлера. (10)

Метод Эйлера является одношаговым и явным. Из формул (10) и (11) для погрешности метода Эйлера на шаге следует оценка

, (11)

где - максимальное значение вторых производных для интегральных кривых, лежащих в рассматриваемой окрестности решения.

Погрешность одношагового метода есть величина на единицу меньшего порядка относительнопо сравнению с погрешностью на шаге (11). Таким образом, метод Эйлера относится к численным методам первого порядка точности.

Использование квадратурных формул для построения численных методов решения задачи Коши.

Расчетную формулу (10) метода Эйлера можно получить также, применяя квадратурную формулу левых прямоугольников к интегралу в формуле Ньютона-Лейбница . (12)

Если применить к вычислению интеграла в (10) квадратурную формулу трапеций, то получим расчетное правило(13) неявного метода Адамса второго порядка точности или метода трапеций.

Расчетная формула (11) представляет собой уравнение с одним неизвестным . Если начальное приближение вычислить по методу Эйлера и сделать одну итерацию при решении уравнения (13), то получим расчетную формулу(8)

метода Коши-Эйлера. Это явный метод второго порядка точности.