- •1.Источники и классификация погрешностей. Неустранимая и вычислительная погрешность.
- •2. Постановка задачи интерполирования. Существование и единственность обобщенного интерполяционного многочлена.
- •3. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
- •4. Схема Эйткина
- •5. Остаточный член интерполяционного многочлена Лагранжа.
- •6. Минимиз. Оценки остаточного члена интерпол. Мн-на.
- •7. Разделенные разности и интерполяционная формула Ньютона с разделенными разностями.
- •8. Конечные разности и интерполяционные формулы Ньютона с конечными разностями.
- •9. Составление таблиц.
- •10. Сходимость интерполяционного процесса
- •11.Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. Интерполяционный многочлен Эрмита с узлами кратности 2.
- •13 . Оптимизация шага при численном диф-нии
- •14. Интерполяционные квадратурные формулы
- •15. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса
- •16. Простейшие квадрат ф-лы н-Кот. И оценка их погрешности.
- •17. Составные квадратурные формулы средних прямоугольников, трапеций, парабол и оценка их погрешности
- •18. Квадратурные формулы Гаусса
- •20. Метод наименьших квадратов.
- •22.Обобщённые мног-ны наилучших среднеквадратических приближений.
- •24. Многочлены наилучших равномерных приближений. Примеры.
- •25. Наилучшие приближения в линейном нормированном пространстве.
- •26. Интерполяционные сплайны.
- •27. Существование и единственность кубического сплайна.
- •28.Краткие сведения о нормах векторов и матриц.
- •29. Обусловленность линейных алгебраических систем.
- •30. Метод Гаусса решения системы линейных ур-ний.
- •31. - Разложение квадратных матриц.
- •32. Разложение симметричных матриц. Метод квадр. Корней решения лин. Алг.Систем
- •34. Принцип сжимающих отображений в метрическом пространстве.
- •35. Метод простой итерации решения лин. Алг. Систем и усл. Его сходимости.
- •36. Метод Якоби решения линейных алгебраических систем
- •37. Метод Зейделя решения лин. Алг. Систем.
- •38. Метод покоординатного спуска решения линейных алгебраических систем.
- •39. Метод скорейшего спуска решения линейных алгебраических систем
- •40. Степенной метод решения частичной проблемы собственных значений.
- •41. Метод Данилевского раскрытия характеристического уравнения
- •42. Метод вращений решения полной проблемы собственных значений.
- •43. Метод бисекции и простой итерации решения уравнений с одним неизвестным.
- •44. Методы хорд и касательных как частные случаи метода простой итерации.
- •45. Методы локализации корней алгебраического уравнения.
- •46. Метод Лобачевского решения алгебраических уравнений.
- •47. Методы простой итерации и Зейделя решения системы нелинейных уравнений.
- •48. Метод Ньютона и аналоги метода Зейделя решения системы нелинейных уравнений.
- •49. Классификация численных методов решения задачи Коши. Методы Эйлера, трапеций и к-э.
- •50. Метод Рунге-Кутта решения задачи Коши. Построение методов р-к второго порядка точности.
- •51. Оценка погрешности и сходимость одношаговых методов решения задачи Коши.
- •52. Экстраполяц. Метод Адамса решения задачи Коши.
- •53. Интерполяционный метод Адамса решения задачи Коши.
- •54. Общий вид линейных многошаговых методов решения задачи Коши.
- •55. Условие корней многошаговых методов решения задачи Коши
- •56. Сходимость многошаговых методов решения Коши.
- •57. Сеточные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •58. Сходимость сеточного метода решения краевых задач для обыкновенных диф. Уравнений.
- •59. Методы прогонки и пристрелки решения разностных схем при решении краевых задач для обыкновенных д.У.
- •60. Эквивалентность граничных и вариационных задач
- •61. Метод Ритца решения вариационных задач.
- •62. Построение системы линейных уравнений для определения значений параметров в методе Ритца.
- •63. Вариационно-разностный вариант метода Рица.
- •64. Сеточные методы решения краевой задачи для уравнения Пуассона. Фоpмулиpовка исходной диффеpенциальной краевой задачи
- •Постpоение pазностной схемы
- •65. Основные понятия теории разностных схем.
- •66. Сходимость сеточного метода
- •Фоpмулиpовка исходной дифференциальной краевой задачи
- •67.Метод матричной прогонки решения разностной схемы. Фоpмулиpовка исходной диффеpенциальной краевой задачи
- •68. Разностные схемы для одномерного параболического уравнения. Фоpмулиpовка исходной диффеpенциальной задачи
- •69. Разностные схемы решения задачи Коши для уравнения гиперболического типа.
- •70. Сеточные методы решения смешанной задачи для уравнений гиперболического типа.
- •71. Метод квадратур решения интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода.
- •72. Решение интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром.
- •Решение интегр. Ур-ния с вырожденным ядром.
- •73. Решение интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода методом вырожденного ядра.
- •Способы приближения невырожденного ядра вырожденным.
60. Эквивалентность граничных и вариационных задач
Рассмотрим граничную задачу
, (1)
(2)
Считаем, что при данных предположениях существует единственное решение задач (1),(2) класса.
Задача (1),(2) поставим в соответствующую вариационную задачу (3)
На множестве (4)
Теорема. Пусть решение вариационной задачи (3),(4), тогдаудовлетворяет задаче (1),(2).
Док-во Если функция доставляетфункционалу, то она необходимо удовлет-воряет условию Эйлера. В данном случае это уравнение будет иметь вид:
Теорема Пусть решение задачи (1),(2), тогда на функциифункционалпринимает минимальное решение и кроме тогоявл. Решением задачи (3),(4).
Док-во. Положим , гдетакова что, тогда(5)
Рассмотрим первое слагаемое второго интеграла в первой части равенства (5), интегрируем по частям имеем:
С учетом этого равенства и того, что - решение задачи (1),(2) перепишем (5) в виде:
(6)
В силу условий наложенных на функции иинтеграл, поэтому из (6) следует, что на функциюфукционалпринимает минимальное значение. Далее, если, то, а значит, поскольку, то.
61. Метод Ритца решения вариационных задач.
Идею метода Ритца рассмотрим на примере простейшей вариационной задачи
, (1)
. (2)
Будем считать, что вариационная задача (1), (2) имеет решение :.
Последовательность функций называют минимизирующей, если. Основная идея метода Ритца заключается в сведении вариационной задачи к задаче на отыскание минимума функции. Пусть имеется семейство функций, таких, что при любых конечных значениях числовых параметровкаждая функцияпринадлежит. Тогда
и возникает задача нахождения значений параметров, при которых функцияпринимает минимальное значение. Если функция непрерывно дифференцируема по своим аргументам, то можно воспользоваться принципом Ферма и определить искомые значения параметровиз системы уравнений. (3). В методе Ритца в качестве-го приближения к решениювариационной задачи (1), (2) берется функция.
Семейство функций , называется-полным на, если для,, такие, что.
Теорема. Если функция непрерывна в областии семейство функцийявляется-полным на, то последовательность, построенная по Ритцу минимизирующая.
Доказательство. Зададимся произвольным положительным числом . В силу непрерывности, существует, такое,что
при .
Поскольку система функций является-полной на, то для, такие, что функцияудовлетворяет неравенствам
при . Таким образом,
.
Учитывая, что , отсюда имеем. Так какпроизвольно, то окончательно получаем. Теорема доказана.
Для функционала (4) имеет место
Теорема. Если последовательность является минимизирующей для вариационной задачи (4), (2), то она сходится к решению этой задачи.
Доказательство. Элемент минимизирующей последовательности приближает решениевариационной задачи с погрешностью
.
Применяя к последнему интегралу неравенство Буняковского, имеем
.
Учитывая, что на, получаем
Учитывая , получаем окончательную оценку
, из которой следует утверждение теоремы.
62. Построение системы линейных уравнений для определения значений параметров в методе Ритца.
Краевая задача , (1)
(2) эквивалентна вариационной задаче
(3)
. (4)
Сначала зададим семейство функций , которое было бы-полным на, а затем построим минимизирующую последовательность, где значения параметров опр-ся из системы вида. (5). Выберем последовательность функцийтак, чтобы выполнялись следующие условия:
1) ;
2) ;
функции линейно независимы;
система функций , образованных по правилуявляется- полной на.
Очевидно, коэффициенты приможно трактовать, как координаты функции. Поэтому функцииназывают координатными. Имеем
Система (5) в данном случае получается в виде (6)
Систему можно записать в стандартной форме
, где коэффициенты определяются формулами
Теорема. Если на, то система (6) имеет единственное решение.
Доказательство. Рассмотрим однородную систему, соответствующую (6):
Умножим каждое уравнение системы на соответствующее и просуммируем получившиеся уравнения. В результате получим
В силу положительности отсюда следуети. Таким образом,, поскольку координатные функции линейно независимы. Следовательно, рассматриваемая однородная система имеет только тривиальное решение, ее определитель отличен от нуля и соответствующая неоднородная система имеет единственное решение при любых правых частях уравнений. Теорема доказана.
В качестве координатных функций на практике часто берут функции: 1) или; 2). При этом в обоих случаях для обеспечения выполнения граничных условий берут функцию. Легко видеть, что система функцийпринадлежит множествудопустимых функций. Доказательство-полноты насистемы функций с координатными функциями первого вида проведем сначала для случая нулевых граничных условий. Возьмеми. Длясуществует многочленстепени, такой, что. Рассмотрим многочлен степени:. Он принадлежит множеству. Для производных на отрезке справедлива оценка
Проведем оценку приближения на отрезке функции многочленом
Обозначим . Отсюда. Таким образом, многочленпредставляется в виде. Рассмотрим теперь случай ненулевых граничных условий. Возьмеми. Для функциипостроим указанным выше способом многочлен, для которого выполняются неравенства
Таким образом, многочлен и его производная приближают соответственно функциюи ее производную с погрешностью, не превышающей.