- •1.Источники и классификация погрешностей. Неустранимая и вычислительная погрешность.
- •2. Постановка задачи интерполирования. Существование и единственность обобщенного интерполяционного многочлена.
- •3. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
- •4. Схема Эйткина
- •5. Остаточный член интерполяционного многочлена Лагранжа.
- •6. Минимиз. Оценки остаточного члена интерпол. Мн-на.
- •7. Разделенные разности и интерполяционная формула Ньютона с разделенными разностями.
- •8. Конечные разности и интерполяционные формулы Ньютона с конечными разностями.
- •9. Составление таблиц.
- •10. Сходимость интерполяционного процесса
- •11.Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. Интерполяционный многочлен Эрмита с узлами кратности 2.
- •13 . Оптимизация шага при численном диф-нии
- •14. Интерполяционные квадратурные формулы
- •15. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса
- •16. Простейшие квадрат ф-лы н-Кот. И оценка их погрешности.
- •17. Составные квадратурные формулы средних прямоугольников, трапеций, парабол и оценка их погрешности
- •18. Квадратурные формулы Гаусса
- •20. Метод наименьших квадратов.
- •22.Обобщённые мног-ны наилучших среднеквадратических приближений.
- •24. Многочлены наилучших равномерных приближений. Примеры.
- •25. Наилучшие приближения в линейном нормированном пространстве.
- •26. Интерполяционные сплайны.
- •27. Существование и единственность кубического сплайна.
- •28.Краткие сведения о нормах векторов и матриц.
- •29. Обусловленность линейных алгебраических систем.
- •30. Метод Гаусса решения системы линейных ур-ний.
- •31. - Разложение квадратных матриц.
- •32. Разложение симметричных матриц. Метод квадр. Корней решения лин. Алг.Систем
- •34. Принцип сжимающих отображений в метрическом пространстве.
- •35. Метод простой итерации решения лин. Алг. Систем и усл. Его сходимости.
- •36. Метод Якоби решения линейных алгебраических систем
- •37. Метод Зейделя решения лин. Алг. Систем.
- •38. Метод покоординатного спуска решения линейных алгебраических систем.
- •39. Метод скорейшего спуска решения линейных алгебраических систем
- •40. Степенной метод решения частичной проблемы собственных значений.
- •41. Метод Данилевского раскрытия характеристического уравнения
- •42. Метод вращений решения полной проблемы собственных значений.
- •43. Метод бисекции и простой итерации решения уравнений с одним неизвестным.
- •44. Методы хорд и касательных как частные случаи метода простой итерации.
- •45. Методы локализации корней алгебраического уравнения.
- •46. Метод Лобачевского решения алгебраических уравнений.
- •47. Методы простой итерации и Зейделя решения системы нелинейных уравнений.
- •48. Метод Ньютона и аналоги метода Зейделя решения системы нелинейных уравнений.
- •49. Классификация численных методов решения задачи Коши. Методы Эйлера, трапеций и к-э.
- •50. Метод Рунге-Кутта решения задачи Коши. Построение методов р-к второго порядка точности.
- •51. Оценка погрешности и сходимость одношаговых методов решения задачи Коши.
- •52. Экстраполяц. Метод Адамса решения задачи Коши.
- •53. Интерполяционный метод Адамса решения задачи Коши.
- •54. Общий вид линейных многошаговых методов решения задачи Коши.
- •55. Условие корней многошаговых методов решения задачи Коши
- •56. Сходимость многошаговых методов решения Коши.
- •57. Сеточные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •58. Сходимость сеточного метода решения краевых задач для обыкновенных диф. Уравнений.
- •59. Методы прогонки и пристрелки решения разностных схем при решении краевых задач для обыкновенных д.У.
- •60. Эквивалентность граничных и вариационных задач
- •61. Метод Ритца решения вариационных задач.
- •62. Построение системы линейных уравнений для определения значений параметров в методе Ритца.
- •63. Вариационно-разностный вариант метода Рица.
- •64. Сеточные методы решения краевой задачи для уравнения Пуассона. Фоpмулиpовка исходной диффеpенциальной краевой задачи
- •Постpоение pазностной схемы
- •65. Основные понятия теории разностных схем.
- •66. Сходимость сеточного метода
- •Фоpмулиpовка исходной дифференциальной краевой задачи
- •67.Метод матричной прогонки решения разностной схемы. Фоpмулиpовка исходной диффеpенциальной краевой задачи
- •68. Разностные схемы для одномерного параболического уравнения. Фоpмулиpовка исходной диффеpенциальной задачи
- •69. Разностные схемы решения задачи Коши для уравнения гиперболического типа.
- •70. Сеточные методы решения смешанной задачи для уравнений гиперболического типа.
- •71. Метод квадратур решения интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода.
- •72. Решение интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром.
- •Решение интегр. Ур-ния с вырожденным ядром.
- •73. Решение интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода методом вырожденного ядра.
- •Способы приближения невырожденного ядра вырожденным.
69. Разностные схемы решения задачи Коши для уравнения гиперболического типа.
Фоpмулиpовка исходной диффеpенциальной задачи Коши.
Для одномерного гиперболического уpавнения:
(1)
Требуется найти функцию , которая в областиудовлетворяет диф-му уравнению (1), а на прямой- начальным условиям. (2)
Постpоение pазностной схемы
В области введем прямоугольную сетку:
.
На множестве внутренних узлов
имеем
(3)
Вторую производную по x в (3) будем аппроксимировать разностным соотношением на основании равенства:
(4)
где -1 < s < 1. Вторую производную по t в (3) будем аппроксимировать разностным соотношением на основании равенства:
(5)
где -1 < < 1. Получение формул вида (4) и (5) для аппроксимации производных рассматривалось в п.10.1 и 11.1. Отбрасывая в (4) и (5) остаточные члены и подставляя в (3), получаем разностные (сеточные) уравнения:
(6)
Разностное уравнение (6) имеет второй порядок погрешности аппроксимации по l и по h: .
Первое начальное условие из (2) аппроксимируется точно уравнением . (7a)
Во втором начальном условии первую производную по t будем аппроксимировать разностным соотношением в соответствии с равенством
.
В результате получаем разностное уравнение
(7b)
с первым порядком аппроксимации по l:
Таким образом, построена разностная схема (6), (7), которая имеет второй порядок аппроксимации по h и первый порядок аппроксимации по l.
Разрешимость разностной схемы.
Как следует из (6), решение выражается явным образом через значения на двух предыдущих слоях:
(8)
Решение на нулевом слое определяется по формуле (7a), а затем из формулы (7b) определяется решение на первом слое:(9)
Повышение порядка аппроксимации начальных условий.
Поскольку разностное уравнение (6) аппроксимирует основное уравнение (1) со вторым порядком, желательно, чтобы и разностное начальное условие также имело второй порядок аппроксимации. С этой целью воспользуемся разложением в ряд Тейлора:
,
где 0 < < 1. Отсюда получим
.
Так как в соответствии с дифференциальным уравнением (1)
,
то имеем
.
Следовательно, разностное уравнение
(10)
аппроксимирует второе начальное условие из (2) со вторым порядком по l:
Разностная схема (6), (7a), (10) аппроксимирует краевую задачу (1), (2) со вторым порядком как по h, так и по l. Решение на нулевом слое определяется по формуле (7a), а затем из формулы (10) определяется решение на первом слое:
. (11)
На остальных слоях решение вычисляется по формуле (8).
70. Сеточные методы решения смешанной задачи для уравнений гиперболического типа.
Для одномерного гиперболического уp-ния: (1) заданного в областинайти pешение, удовлетвоpяющее граничным условиям
(2) и начальным условиям
. (3)
Постpоение pазностной схемы
В области введем сетку с шагомпо осии шагомпо оси:
. (4)
Узлы сетки кpатко будем обозначать. Все множество узлов (4) обозначим чеpез. Дифф уp-ние (1) будем pассматpивать на множестве узлов:
(5)
Вторую производную по x в (5) будем аппроксимировать разностным соотношением на основании равенства:
(6)
где -1 < s < 1. Вторую производную по t в (4) будем аппроксимировать разностным соотношением на основании равенства:
(7)
где -1 < < 1. Отбрасывая в (6) и (7) остаточные члены и подставляя в (5), получаем разностные (сеточные) ур-ния:
. (8)
Разностное ур-ние (8) имеет второй порядок погрешности аппроксимации по l и по h:
.
Граничные условия (2) аппроксимируются точно ур-ми
. (9)
Первое начальное условие из (3) аппроксимируется точно ур-нием . (10a)
Во 2-ом нач. усл 1-ую производную по t будем аппроксимировать разностным соотношением на основании равенства
.
В результате получаем разностное ур-ние
(10b)
с первым порядком аппроксимации по l.
Таким образом, построена разностная схема (8), (9), (10), кот имеет 2-ой порядок аппроксимации по h и 1-ый порядок аппроксимации по l.
Разрешимость разностной схемы.
Как следует из (8), решение выражается явным образом через значения на границе и на двух предыдущих слоях:
11)
Решение на нулевом слое определяется по формуле (10a), а затем из формулы (10b) определяется решение на первом слое:. (12)
Повышение порядка аппроксимации начальных условий.
Поскольку разностное ур-ние (8) аппроксимирует основное ур-ние (1) со вторым порядком, желательно, чтобы и разностное начальное условие также имело второй порядок аппроксимации. С этой целью воспользуемся разложением в ряд Тейлора:
,
где 0 < < 1. Отсюда получим
.
Так как в соответствии с дифф. ур-нием (1) ,
то имеем .
Следовательно, разностное ур-ние
(13)
аппроксимирует второе начальное условие из (3) со вторым порядком по l:
Разностная схема (8), (9), (10a), (13) аппроксимирует краевую задачу (1), (2) со вторым порядком как по h, так и по l. Решение на нулевом слое определяется по формуле (10a), а затем из формулы (13) определяется решение на первом слое:. (14). На остальных слоях решение вычисляется по формуле (11).
Построение равносильной разностной схемы с однородными граничными условиями.
В ур-ниях (8) перенесем из левых частей в правые части члены, содержащие граничные значения. После такого преобразования уравнения (8), (9) примут следующий вид
. (15) . (16)
Здесь Начальные условия (10a) и (13) остаются при этом практически без изменения:
. (17)
Очевидно, для внутренних узлов разностная схема (15), (16), (17) равносильна разностной схеме (8), (9), (10a), (13): .
Таким образом, переход к равносильной разностной схеме с однородными граничными условиями упрощает исследование разностной схемы на устойчивость, так как из устойчивости равносильной схемы по правой части автоматически будет следовать устойчивость исходной схемы и по правой части и по граничным условиям. Указанное обстоятельство позволяет ограничиться исследованием разностной схемы с однородными граничными условиями на устойчивость по начальным условиям и по правой части.