- •1.Источники и классификация погрешностей. Неустранимая и вычислительная погрешность.
- •2. Постановка задачи интерполирования. Существование и единственность обобщенного интерполяционного многочлена.
- •3. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
- •4. Схема Эйткина
- •5. Остаточный член интерполяционного многочлена Лагранжа.
- •6. Минимиз. Оценки остаточного члена интерпол. Мн-на.
- •7. Разделенные разности и интерполяционная формула Ньютона с разделенными разностями.
- •8. Конечные разности и интерполяционные формулы Ньютона с конечными разностями.
- •9. Составление таблиц.
- •10. Сходимость интерполяционного процесса
- •11.Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. Интерполяционный многочлен Эрмита с узлами кратности 2.
- •13 . Оптимизация шага при численном диф-нии
- •14. Интерполяционные квадратурные формулы
- •15. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса
- •16. Простейшие квадрат ф-лы н-Кот. И оценка их погрешности.
- •17. Составные квадратурные формулы средних прямоугольников, трапеций, парабол и оценка их погрешности
- •18. Квадратурные формулы Гаусса
- •20. Метод наименьших квадратов.
- •22.Обобщённые мног-ны наилучших среднеквадратических приближений.
- •24. Многочлены наилучших равномерных приближений. Примеры.
- •25. Наилучшие приближения в линейном нормированном пространстве.
- •26. Интерполяционные сплайны.
- •27. Существование и единственность кубического сплайна.
- •28.Краткие сведения о нормах векторов и матриц.
- •29. Обусловленность линейных алгебраических систем.
- •30. Метод Гаусса решения системы линейных ур-ний.
- •31. - Разложение квадратных матриц.
- •32. Разложение симметричных матриц. Метод квадр. Корней решения лин. Алг.Систем
- •34. Принцип сжимающих отображений в метрическом пространстве.
- •35. Метод простой итерации решения лин. Алг. Систем и усл. Его сходимости.
- •36. Метод Якоби решения линейных алгебраических систем
- •37. Метод Зейделя решения лин. Алг. Систем.
- •38. Метод покоординатного спуска решения линейных алгебраических систем.
- •39. Метод скорейшего спуска решения линейных алгебраических систем
- •40. Степенной метод решения частичной проблемы собственных значений.
- •41. Метод Данилевского раскрытия характеристического уравнения
- •42. Метод вращений решения полной проблемы собственных значений.
- •43. Метод бисекции и простой итерации решения уравнений с одним неизвестным.
- •44. Методы хорд и касательных как частные случаи метода простой итерации.
- •45. Методы локализации корней алгебраического уравнения.
- •46. Метод Лобачевского решения алгебраических уравнений.
- •47. Методы простой итерации и Зейделя решения системы нелинейных уравнений.
- •48. Метод Ньютона и аналоги метода Зейделя решения системы нелинейных уравнений.
- •49. Классификация численных методов решения задачи Коши. Методы Эйлера, трапеций и к-э.
- •50. Метод Рунге-Кутта решения задачи Коши. Построение методов р-к второго порядка точности.
- •51. Оценка погрешности и сходимость одношаговых методов решения задачи Коши.
- •52. Экстраполяц. Метод Адамса решения задачи Коши.
- •53. Интерполяционный метод Адамса решения задачи Коши.
- •54. Общий вид линейных многошаговых методов решения задачи Коши.
- •55. Условие корней многошаговых методов решения задачи Коши
- •56. Сходимость многошаговых методов решения Коши.
- •57. Сеточные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •58. Сходимость сеточного метода решения краевых задач для обыкновенных диф. Уравнений.
- •59. Методы прогонки и пристрелки решения разностных схем при решении краевых задач для обыкновенных д.У.
- •60. Эквивалентность граничных и вариационных задач
- •61. Метод Ритца решения вариационных задач.
- •62. Построение системы линейных уравнений для определения значений параметров в методе Ритца.
- •63. Вариационно-разностный вариант метода Рица.
- •64. Сеточные методы решения краевой задачи для уравнения Пуассона. Фоpмулиpовка исходной диффеpенциальной краевой задачи
- •Постpоение pазностной схемы
- •65. Основные понятия теории разностных схем.
- •66. Сходимость сеточного метода
- •Фоpмулиpовка исходной дифференциальной краевой задачи
- •67.Метод матричной прогонки решения разностной схемы. Фоpмулиpовка исходной диффеpенциальной краевой задачи
- •68. Разностные схемы для одномерного параболического уравнения. Фоpмулиpовка исходной диффеpенциальной задачи
- •69. Разностные схемы решения задачи Коши для уравнения гиперболического типа.
- •70. Сеточные методы решения смешанной задачи для уравнений гиперболического типа.
- •71. Метод квадратур решения интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода.
- •72. Решение интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром.
- •Решение интегр. Ур-ния с вырожденным ядром.
- •73. Решение интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода методом вырожденного ядра.
- •Способы приближения невырожденного ядра вырожденным.
58. Сходимость сеточного метода решения краевых задач для обыкновенных диф. Уравнений.
Для граничной задачи , (1) y(a)=A, y(b)=B (2) на равномерной сетке xi=a+ih, i=0,1,...,N;h=(b-a)/N построена разностная схема ,(3) y0=A, yN=B (4). Точное решение y(x) в узлах сетки: ,(5) ,y(xN)=B (6). Для погрешности, с которой алгебраические уравнения (3) приближают диф-ое уравнение (1) в узлах сетки, была получена оценка(7). Граничные условия приближаются точно. Фактическое решение системы (3), (4), вследствие выч-ой погрешности, отличается от точного решенияyi этой системы, => ,(8) (9) Оценим погрешности . Вычитая из (5), (6) соотв. ур-ния (8), (9), получим разностную задачу,(10) (11).
Лемма. Пусть выполняются условия:1) 2)g(x)≤0,a≤x≤b 3) 4), для произвольных последовательностей,.Тогда, i=0,1,...N. Док-во. Рассмотрим 2 числовые последовательности zi±εi, i=0,1,...,N. Из условия 3) леммы имеем ,i=1,2...N-1. В силу принципа max для оператора последоват-тиzi±εi,i=0,1,...N принимают свое наименьшее отрицательное значение на границе. Из условия (4) на границе имеем z0±ε0≥0 и zN±εN≥0. Т.о. zi±εi≥0, i=0,1,...N лемма доказана.
Построим посл-ть zi. Рассм. граничную задачу: ,(12)
E(a)=0,E(b)=0 (13) При a<x<b решение E(x) этой задачи положительно: E(x)>0. Докажем это от противного. Пусть существует такое , чтои. Тогда внутри отрезка найдется точка, в которой достигается неположит-ыйmin: . В результате противоречие. Для последов-тивыполняются условия 4) леммы сравнения при любой положительной константеC. Найдем значение константы C, при котором будут выполнены условия 3). Из (10) и (7) имеем , или(14), где ,,,. Изполучим при достаточно маломh ,,(15), где,. Из (14) и (15) следует, что для вып. усл. 3) леммы сравн. полож. константыC должно удовлетворять неравенству . => получ..Использ. лемму сравнения, приходим к искомой оценке(16) Из оценки (16) вытекает, что решениесистемы (8), (9) приh→0 равномерно сходится к решению y(x) исходной задачи (1), (2), если δ/h2→0 при h→0.
59. Методы прогонки и пристрелки решения разностных схем при решении краевых задач для обыкновенных д.У.
Для гран. задачи на равномерной сеткебыла построена разностная схема. Коэффициенты в уpавнениях (3):(5). Метод разностной пристрелки. (3) можно решить относительно Так как, то)>0 и операция деления в (6) реализуется. Последовательность, образуемая по правилу (6) однозначно определяется значениями первых двух своих членов:Постpоим последоват-тивзяв в (6)Очевидно, последоват-ть,i=0,1…N (7) при любом значении паpаметpа σ удовлетворяет сис-ме (3) и левому граничному условию . Чтобы выполнялось пpавое гpаничное условие, нужно взять(8)
Метод разностной прогонки. Уравнение можем записать:Пусть мы выpазиличерезфоpмулойПодставим это дляв (3):-. Отсюда находимТ.о. коэффициенты в (9)После этого из (9) пpи i=N имеем. По фоpмуле (9) пpи i=N,N-1…2 последовательно вычисляем. Гpаничные значенияданы. Данный метод решения граничной задачи - метод пpогонки. Вычисления по (10) - прямой ход прогонки, а по (9) – обратный.Теорема. В расчетных формулах (10) знаменатели не обращаются в нуль. Доказательство. Задано =0. Пусть<1, тогда ||=. Далее=||<1. Утверждение теоремы доказано. Т.к.<1, вычисления по формуле (9) будут устойчивы к вычислению погрешности. Исследуем устойчивость к вычислению погрешности формулы (10) к φi. Цепочка преобразований:
;
тут
. Учитывая при 0≤i≤N оценкаТ.о. на прямом ходе прогонки по (10) приограниченые, =>устойчивы к вычислительной погрешности.