- •1.Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении.
- •7.Угол между 2-мя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности.
- •14. Угол между 2-мя векторами.
- •8. Кривые второго порядка (эллипс, парабола, гипербола)
- •10. Проекция вектора на ось
- •12.Операции над векторами:
- •19. Решение методом Крамера
- •20. Линейная зависимость векторов. Базис и ранг системы векторов. Разложение вектора по данному базису.
- •21. Матрица и её экономический смысл. Операции над матрицами.
- •22. Ранг матрицы. Эквивалентные матрицы. Вычисление ранга матрицы методом Гаусса.
- •23. Обратная матрица и её вычисления.
- •25. Система линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных. Решение системы методом Гаусса. Понятие базисного решения.
- •27. Понятие функции. Область определения. Различные способы задания.
- •28.Числовая последовательность. Определение предела числовой последовательности.
- •29.Определение бесконечно большой и бесконечно малой последовательности. Связь между ними. Операции над бесконечно малыми последовательностями.
- •30.Предел функции в точке. Односторонние пределы.
- •34. Точки разрыва и их классификация.
- •35. Производная ф-ции. Гео. И эк. Смысл.
- •36. Произв. Сложной и обр. Ф-ции. Табл. Производных.
- •42. Экстремум ф-ции и его необходимое условие. Достаточные признаки экст.
- •46.Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума
- •47.Метод наименьших квадратов
- •48.Первообразная функции. Неопределённый интеграл. Основные свойства неопределённого интеграла
- •49.Замена переменной (подстановка) в неопределённом интеграле. Интегрирование по частям.
- •51.Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.
- •52. Интегрирование некоторых иррациональных функций.
- •53.Геометрическая задача, приводящая к понятию определённого интеграла. Определённый интеграл. Его свойства.
- •54. Применение определённого интеграла в экономике.
- •Теорема
- •Формула Ньютона – Лейбница связывает неопределенный и определенный интегралы.
- •56.Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Метод замены переменной
- •57.Площадь плоской фигуры. Объем тела вращения.
- •58 Интегралы с бесконечными пределами:
- •59.Интегралы от неограниченнх ф-ий
- •60.Дифференциальные уравнения (основные понятия)
- •64. Производственная функция Кобба-Дугласа:
- •66.Признаки срав-ия для полож. Рядов. Пр. Даламбера и Коши сход-ти рядов.
- •67.Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
- •68.Знакочередующиеся ряды.Признак Лейбница.
- •69.Понятие степенного ряда .Область сходимости степенного ряда
- •70. Ряды Тейлора и Маклорена.
47.Метод наименьших квадратов
При обработке опытных данных часто встречаются с задачей об определении параметров функциональной зависимости между переменными величинами x и y посредством формулы y=f(x).Эта задача решается с помощью метода наименьших квадратов, сущность которого состоит в следующем. При измерении двух величин x и y получены следующие данные:
x |
Х1 |
X2 |
… |
xn |
y |
Y1 |
Y2 |
… |
yn |
Известен также вид функциональной зависимости, т.е.
y=f(x,,,…,)=φ(x) (1),
где f-заданная функция; ,,…, — параметры, значения которых требуется определить. Значения у, полученные из формулы (1) при заданных значениях (i=1, 2,..., п), как правило, не совпадают с экспериментальными значениями ,приведенными в указанной таблице, т.е. разность -φ() отлична от нуля для всех или некоторых точек(i = 1, 2, ..., n). Для каждого i эту разность обозначим через ε, и назовемпогрешностью:
-φ()=ε(i = 1, 2,..., п) (2) .
Значения параметров (k = 0, 1,..., m) функции (1) требуется выбрать так, чтобы сумма квадратов погрешностей была наименьшей, т.е. так, чтобы функция
u=ε= ( -φ()) (3)
принимала наименьшее значение. Поскольку эта функция - сумма квадратов некоторых чисел, она принимает неотрицательные значении (каждое слагаемое суммы неотрицательно).
Функция (3) является функцией т+1 переменых ,,..., ат ,т.е.
и=и(,, ...., ат)=(-f(,,,…,))2 (4).
Если функция и=и(,..., ат) имеет непрерывные частные производные по всем переменным, то необходимое условие ее минимума выражается системой уравнений
=0, =0, …,=0 (5)
Из этой системы т +1 уравнений находятся искомые значения параметров a0,a1 ,...,am.
Во многих случаях функция (1) определяется формулой
y= (x), (6)
где (x),(x),..., f т ( x )- известные функции, например, f(x)=x,f(x)=sin kx, f(x)=cos kx и т.д.
Функция (4) в таких случаях принимает вид
u=y-()) (7),
а система (5) запишется так:
(-())(-())=0 (-())(-())=0(8)
…………………………………….
(-())(- ())=0
Решение этой системы может быть получено с помощью метода Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных).
Если (x)= (k = 0, 1, 2,..., m), то
f(x,,,…,)=+x++…+
+ (9)
и система (8) принимает вид:
n++…+
=;
++…+=; (10)
++…+*
*=.