64. Производственная функция Кобба-Дугласа:

_{a1 a2 an}

y = f(x) = cx₁ x₂ … x_n x_i – количество i-го фактора

( c , a_i ≥ 0) y – объем выпуска продукции

• Производственная функция Кобба-Дугласа является однородной степени r = a₁ + … +a_n

С учетом отношения: f _xi ( x ) = a_i / x_i f( x ), т.е. ε _{f, xi} ( x ) = a_i, факторные показатели (параметры) a_i называются иногда (частными) производственными эластичностями.

Предельная норма замещения факторов:

Если рассмотреть линию уровня – изокванту производственной функции y = f(x1, …, xn) по высоте y₀ и задаться вопросом, на сколько единиц надо (приблизительно) изменять количество i-го фактора x_i, чтобы при постоянных объеме выпуска и значениях остальных переменных заменить одну единицу k-го фактора, то (при некоторых предположениях) будет определена неявная функция x _k = φ (x_i), призводная которой называется предельной нормой замещения:

φ^/ (x_i) = -f_xi(x)/f_xk(x)

предельная норма замещения (фактор k заменен фактором i)

Чувствительность цены опциона “ колл”

Формула Блэка-Шоулза: P_колл = PФ(d1) – Se^-iTФ(d2), где d1 = 1/σ√T (ln(P/S) + T(i + σ²/2)) и d2 = d1 - σ√T определяет цену: P_колл опциона “колл”(на покупку акции)в зависимости от входных параметров: P (актуальная цена акции), S (базисная цена; цена исполнения, указанная в опционе), i (безрисковая процентная ставка при мгновенном начислении процентов), T (остаточный срок действия опциона), σ² (дисперсия рентабельности акции), Ф (функция распределения стандартного нормального распределения, а φ – ее плотность: φ(x) = (1/√2π)e^-x*x/2

Изменение цены опциона “колл” при изменении i- го входного параметра на ∆x_i(при неизменных фиксированных значениях остальных параметров) можно оценить с помощью частного дифференциала (∂P_колл/∂P)∆x_i, где, например,

∆ = ∂P_колл/∂P = Ф(d1)>0 - дельта; чувствительность цены опциона относительно изменения цены акции P.

65.Числовые ряды: если задана числовая последовательность (u_n), то выражение

u₁ + u₂ + u₃ +… + u_n +…, называется числовым рядом.

ⁿ

Если существ. lim S_n = S, где S_n = ∑ u_k = u₁ + u₂ +… + u_n −

_{n - ∞ k=1}

его n –ая частичная сумма, то ряд назыв. сходящимся (число S – сумма ряда),

в противном случае – расходящимся.

Если ряд сходится, то

lim u_n = 0

_{n - ∞} (необходимый признак сходимости)

66.Признаки срав-ия для полож. Рядов. Пр. Даламбера и Коши сход-ти рядов.

Укажем достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.

Признак сравнения: если 0 < u_n ≤ v_n для любых n, принадлежащих N (или начиная с некоторого номера n₀), то из сходимости ряда ^{∞ ∞}

∑ v_n следует сходимость ряда ∑ u_n,

_{n=1 n=1}

а из расходимости ряда ^{∞ ∞}

∑ u_n − расходимость ряда ∑ v_n.

_{n = 1 n = 1}

Предельный признак сравнения: если lim (u_n/v_n) = A (A − const, A > 0), то оба ряда

_{n - ∞}

сходятся или расходятся одновременно.

^∞

Признак Даламбера: если для ряда ∑ u_n существует lim ( u_n+1/u_n ) = p, то при p<1 ряд

_{n = 1 n - ∞}

сходится, а при p>1 расходится.

Признак Коши: если lim (u_n)^1/n = p, то при p<1 ряд сходится, а при p>1 расходится.

_{n - ∞}

Два последних признака не дают ответа, когда p=1

^∞

Интегральный признак:если члены ряда ∑ u_n таковы, что u_n = f (n) для любых n,

_{n = 1}

принадлежащих N , где f(x) − непрерывная положительная монотонно убывающая в полуинтервале [ 1; +∞] функция, то этот ряд сходится ( расходится ) тогда и только тогда,

^+∞

когда сходится ( расходится ) несобственный интеграл ∫ f(x) dx.