27. Понятие функции. Область определения. Различные способы задания.

Величина у наз. функцией переменной величины х, если каждому из тех значений, которые может принимать х, соответствует одно или несколько определенных значений у. При этом переменная величина х называется аргументом.

Совокупность всех значений, которые может принимать аргумент х функции f(х), называется областью определения этой функции. Замечание: значению х, не входящему в упомянутую совокупность, не соответствует никакое значение функции.

Ф-я считается заданной (известной), если для каждого значения аргумента (из числа множества) можно узнать соответствующее значение ф-и. 3 способа задания ф-и: 1)табличный, 2)графический, 3)аналитический. Табличный способ сразу дает числовое значение ф-и. Графический способ сост. в построении линии (графика), у которого абсциссы изображают значения аргумента, а ординаты – соответствующие значения ф-и. аналитический способ сост. в задании ф-и одной или несколькими формулами.

28.Числовая последовательность. Определение предела числовой последовательности.

Если для каждого элмента из некоторого множества взаимнооднозначно сопоставлено натуральное число (т.е. задан номер), то говорят, что задана последовательность{x_n}, x_n – общий элемент последовательности. Число А называется пределом числовой последовательности {x_n}, если для любого ε>0 существует номер N=N(ε)>0 такой, что для всех номеров n>N выполняется неравенство | x_n –A| < ε. . Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

29.Определение бесконечно большой и бесконечно малой последовательности. Связь между ними. Операции над бесконечно малыми последовательностями.

Бесконечно малой наз. последовательность, предел которой равен нулю. Бесконечно большой величиной наз. переменная величина, абсолютное значение которой неограниченно возрастает. Связь между ними: если у – бесконечно большая величина, то - бесконечно малая; если у – бесконечно малая величина, то - бесконечно большая.

Сравнение бесконечно малых величин: 1)если отношение двух бесконечно малых величин само бесконечно мало( т.е. lim=0, а значит

lim= ∞), то β наз. величиной высшего порядка малости относительно α; при этом α наз. величиной низшего порядка малости относительно β. 2)если отношение двух бесконечно малых величин стремится к конечному пределу, не равному нулю, то α и β наз. бесконечно малыми одного и того же порядка малости. Эквивалентные бесконечно малые величины всегда имеют один и тот же порядок. 3)бесконечно малая величина β имеет т-й порядок иалости относительно относительно бесконечно малой α, если β имеет тот же порядок малости, что α^т, т.е. если отношение имеет конечный предел, не равный нулю.

30.Предел функции в точке. Односторонние пределы.

Число А наз. пределом ф-и у = f(х) в точке Х₀ (при Х→ Х₀ ) если для любого положительного числа ε можно найти такое положительное число δ, что для всех Х из проколотой δ-окрестности точки Х₀ соответствует значение у попадают в ε-окрестность. f(х) =А. Число В наз. пределом ф-и у = f(х) в точке а справа, если для любого ε>0 найдется δ>0, такое что из условия 0<x-a< δ следует |B-f(x)|< ε. В= f(х). Число В наз. пределом ф-и у = f(х) в точке а слева, если для любого ε>0 найдется δ>0, такое что из условия 0<x-a< δ следует |B-f(x)|< ε. В= f(х). Ф-я наз. непрерывной в точке а справа (слева), если f(х)= f(а)

( f(х)= f(а)).