22. Ранг матрицы. Эквивалентные матрицы. Вычисление ранга матрицы методом Гаусса.

Рангом матрицы А (обозначение rangA) называ­ется наибольшее натуральное число k, для которого существует не рав­ный нулю определитель k-то порядка, порожденный матрицей А.

Выделим в матрице А k строк и k столбцов, где k ≤ т, п (размерность м. А). Элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образу­ют квадратную матрицу, которая порождает определитель k -гo поряд­ка.

Определитель порядка k, составленный из элементов стоящих на пересечении выделенных k строк и k столбцов наз. минором или определителем порожденным матрицей А.

Теорема. Ранг матрицы не изменяется, если:

1. поменять местами любые два парал. ряда

2. умножить каждый элемент ряда на один и тот же не нулевой множитель

3. прибавить к элементам ряда соответствующие элементы другого парал. ряда, умноженные на один и тот же множитель.

Такие преобразования наз. эквивалентными.

Две матрицы наз. эквивалентными, если одна матрица получена из другой с помощью эквивалентных преобразований (А~В).

Базисным минором наз. всякий отличный от нуля минор, порядок кот. равен рангу данной матрицы.

Метод единиц и нулей нахождения ранга матриц: с помощью элементарных преобразований любую матрицу можно привести к виду, когда каждый её ряд будет состоять из нулей либо из нулей и одной единицы, тогда число оставшихся единиц равно рангу исходной матрицы.

23. Обратная матрица и её вычисления.

Если определитель матрицы А, равен нулю, то матрица А называется вырожденной, в противном случае матрица А называется невырожденной.

Если А — квадратная невырожденная матрица, то обратной для нее матрицей назы­вается матрица, обозначаемая А^-1 и удовлетворяющая условиям:

А•А^-1= А^-1•А = Е, где Е— единичная матрица.

Для невырожденной матрицы А всегда сущ. Единственная обратная матрица А^-1 , кот. определяется формулой:

А^-1 = × A*,

А =

Где матрица А* назыв. присоединённой.

А* =

A_ij – алгебраическое дополнение элемента a_ij матрицы А.

A_ij = (-1) ^i+j × M_ij

25. Система линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных. Решение системы методом Гаусса. Понятие базисного решения.

Метод Гаусса: Процедура решает неоднородную систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:

a₁₁ x₁+a₁₂ x₂+ . . .+a_1n x_n=a_1n+1

a₂₁ x₁+a₂₂ x₂+ . . .+a_2n x_n=a_2n+1

. . . .

a_n1 x₁+a_n2 x₂+ . . .+a_nn x_n=a_nn+1

Вначале находим отличный от нуля коэффициент при x₁. Соответствующее уравнение переставляем с первым (если это необходимо). Получаем систему с a₁₁ отличным от нуля. Разделив коэффициенты этого уравнения на a₁₁, получим:

x₁+b₁₂ x₂+ . . .+b_1n x_n=b_1n+1

При помощи этого уравнения исключаем x₁ из исходной системы:

a⁽¹⁾₂₂ x₂+a⁽¹⁾₂₃ x₃+ . . .+a⁽¹⁾_2n x_n=a⁽¹⁾_2n+1

. . . .

a⁽¹⁾_n2 x₂+a⁽¹⁾_n3 x₃+ . . .+a⁽¹⁾_nn x_n=a⁽¹⁾_nn+1

где

a⁽¹⁾_{i j}=a_{i j}-a_{i 1}b_{1 j}, i,j= 2...n

Полученная система содержит n-1 уравнение. Применяем описанную выше процедуру к этой системе. Операции повторяем требуемое число раз, пока не приведем систему к треугольному виду:

x₁+с₁₂ x₂+ . . .+с_1n x_n=с_1n+1

x₂+ . . .+c_2n x_n=c_2n+1

. . . .

x_n=c_nn+1

Теперь легко определить x_n,x_n-1, . . ., x₁.

Если det(A)=0, то исходная система не имеет решений и процедура выдает S=0 иначе S=1 и решения находятся в массиве X.