- •1.Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении.
- •7.Угол между 2-мя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности.
- •14. Угол между 2-мя векторами.
- •8. Кривые второго порядка (эллипс, парабола, гипербола)
- •10. Проекция вектора на ось
- •12.Операции над векторами:
- •19. Решение методом Крамера
- •20. Линейная зависимость векторов. Базис и ранг системы векторов. Разложение вектора по данному базису.
- •21. Матрица и её экономический смысл. Операции над матрицами.
- •22. Ранг матрицы. Эквивалентные матрицы. Вычисление ранга матрицы методом Гаусса.
- •23. Обратная матрица и её вычисления.
- •25. Система линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных. Решение системы методом Гаусса. Понятие базисного решения.
- •27. Понятие функции. Область определения. Различные способы задания.
- •28.Числовая последовательность. Определение предела числовой последовательности.
- •29.Определение бесконечно большой и бесконечно малой последовательности. Связь между ними. Операции над бесконечно малыми последовательностями.
- •30.Предел функции в точке. Односторонние пределы.
- •34. Точки разрыва и их классификация.
- •35. Производная ф-ции. Гео. И эк. Смысл.
- •36. Произв. Сложной и обр. Ф-ции. Табл. Производных.
- •42. Экстремум ф-ции и его необходимое условие. Достаточные признаки экст.
- •46.Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума
- •47.Метод наименьших квадратов
- •48.Первообразная функции. Неопределённый интеграл. Основные свойства неопределённого интеграла
- •49.Замена переменной (подстановка) в неопределённом интеграле. Интегрирование по частям.
- •51.Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.
- •52. Интегрирование некоторых иррациональных функций.
- •53.Геометрическая задача, приводящая к понятию определённого интеграла. Определённый интеграл. Его свойства.
- •54. Применение определённого интеграла в экономике.
- •Теорема
- •Формула Ньютона – Лейбница связывает неопределенный и определенный интегралы.
- •56.Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Метод замены переменной
- •57.Площадь плоской фигуры. Объем тела вращения.
- •58 Интегралы с бесконечными пределами:
- •59.Интегралы от неограниченнх ф-ий
- •60.Дифференциальные уравнения (основные понятия)
- •64. Производственная функция Кобба-Дугласа:
- •66.Признаки срав-ия для полож. Рядов. Пр. Даламбера и Коши сход-ти рядов.
- •67.Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
- •68.Знакочередующиеся ряды.Признак Лейбница.
- •69.Понятие степенного ряда .Область сходимости степенного ряда
- •70. Ряды Тейлора и Маклорена.
54. Применение определённого интеграла в экономике.
Пусть функция описывает изменение производительности некоторого завода с течением времени. Найдём объём продукцииU, произведённый за промежуток времени [0;T]. Если предположить, что производительность не меняется с течением времени. То объём продукции , производимой за некоторый промежуток времени определяется как . Еслине является постоянной величиной, то справедливо равенство, прчём, это равенство тем точнее, чем меньше.
Разлбъём отрезок [О;Т] на промежктки времени точками
В экономических исследованиях часто используется производственная функция Кобба Дугласа.
, где y-величина обществ. продукта -затраты труда, -объём производственных фондов.
Если в(1) затраты труда есть линейная зависимость от времени, а затраты капитала неизменны, то ф-ю Кобба Дугласа можно преобразовать к виду:
Тогда объём выпускаемой продукции за Т лет составит:.
Пусть известна ф-я , описывающая изменение затрат времени t на изготовление изделия в зависимости от степени освоения производства, где x-порядковый номер изделия в партии, тогда среднее время, затраченное на изгот. 1 изделия в период освоения изделий вычисл. по формуле: .
Часто ф-я изменения затрат времени на изгот. деталей имеет вид: , где А-затраты врем. на 1-е изделие, В-показатель производственного процесса.
Определить начальную сумму по её конечной величине через время t (лет) при годовом проценте процентной ставки Р наз. дисконтированием.
Пусть К-конечная сумма, получ. за t лет. К-дисконтируемая (начальная) сумма, кот. в финансовом анализе наз. совершенной суммой.
Если проценты простые, то дискон. сумма вырвж. как пкрвоначальная :-процентная ставка. . Если проценты сложные,то .
Пусть поступаемый ежегодный доход изменяется во времени и описывается ф-ей и на удельной проц. ставке i процент начисляется непрерывно. В этом случае дисконтируемый доход за время Т вычисл. по формуле :
55. Теорема о существовании первообразной для непрерывной функции. Формула Ньютона– Лейбница.
Существовании первообразной для непрерывной функции.
Введем сначала понятие определенного интеграла с переменным верхним пределом.
Рассмотрим функцию у = ƒ(х), интегрируемую на отрезке [a, b]. Если х [a, b], то функция ƒ(х) интегрируема также на любом отрезке [a, x]. Предположим, что х меняется на отрезке [a, b], тогда на этом отрезке определена функция
Докажем, что функция непрерывна на отрезке [a, b]. Аргумент х придадим приращение такое, что[a, b], тогда по свойству 1 определенного интеграла получим
Применяя теорему о среднем, находим
где m – наименьшее, М – наибольшее значение функции ƒ(х) на отрезке (х, х + + Δх]; эти значения существуют, так как функция интегрируема, следовательно, и ограничена.
Из двух последних равенств следует, ΔФ = μΔх, откуда ΔФ→0 при Δх→0, т.е. Ф(х) – неравная функция, о чем свидетельствует следующая теорема.