- •1.Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении.
- •7.Угол между 2-мя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности.
- •14. Угол между 2-мя векторами.
- •8. Кривые второго порядка (эллипс, парабола, гипербола)
- •10. Проекция вектора на ось
- •12.Операции над векторами:
- •19. Решение методом Крамера
- •20. Линейная зависимость векторов. Базис и ранг системы векторов. Разложение вектора по данному базису.
- •21. Матрица и её экономический смысл. Операции над матрицами.
- •22. Ранг матрицы. Эквивалентные матрицы. Вычисление ранга матрицы методом Гаусса.
- •23. Обратная матрица и её вычисления.
- •25. Система линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных. Решение системы методом Гаусса. Понятие базисного решения.
- •27. Понятие функции. Область определения. Различные способы задания.
- •28.Числовая последовательность. Определение предела числовой последовательности.
- •29.Определение бесконечно большой и бесконечно малой последовательности. Связь между ними. Операции над бесконечно малыми последовательностями.
- •30.Предел функции в точке. Односторонние пределы.
- •34. Точки разрыва и их классификация.
- •35. Производная ф-ции. Гео. И эк. Смысл.
- •36. Произв. Сложной и обр. Ф-ции. Табл. Производных.
- •42. Экстремум ф-ции и его необходимое условие. Достаточные признаки экст.
- •46.Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума
- •47.Метод наименьших квадратов
- •48.Первообразная функции. Неопределённый интеграл. Основные свойства неопределённого интеграла
- •49.Замена переменной (подстановка) в неопределённом интеграле. Интегрирование по частям.
- •51.Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.
- •52. Интегрирование некоторых иррациональных функций.
- •53.Геометрическая задача, приводящая к понятию определённого интеграла. Определённый интеграл. Его свойства.
- •54. Применение определённого интеграла в экономике.
- •Теорема
- •Формула Ньютона – Лейбница связывает неопределенный и определенный интегралы.
- •56.Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Метод замены переменной
- •57.Площадь плоской фигуры. Объем тела вращения.
- •58 Интегралы с бесконечными пределами:
- •59.Интегралы от неограниченнх ф-ий
- •60.Дифференциальные уравнения (основные понятия)
- •64. Производственная функция Кобба-Дугласа:
- •66.Признаки срав-ия для полож. Рядов. Пр. Даламбера и Коши сход-ти рядов.
- •67.Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
- •68.Знакочередующиеся ряды.Признак Лейбница.
- •69.Понятие степенного ряда .Область сходимости степенного ряда
- •70. Ряды Тейлора и Маклорена.
59.Интегралы от неограниченнх ф-ий
Если ф-ия не ограничена в окрестности точки с отрезкаи непрерывна при<c и c<x ,то несобственный интеграл от этой ф-ии определяется формулой
(1)
Где .В случае получаем или получаем
(2)
(3)
Несобственный интеграл (2) или (3) называются сходящимися , если существует конечный предел соответствующего определенного интеграла;в противном случае интеграл называется расходящимся.
Несобственный интеграл (1)называется сходящимся ,если существуют и конечны оба предела в правой части.
Для интегралов от неограниченных ф-ий справедливы теоремы :
Теорема 1
Если при выполнены неравенстваисходится, то сходится и, причем;еслирасходится ,то расходится.
Теорема 1
Если при выполнены неравенстваисходится, то сходится и, причем;еслирасходится ,то расходится.
Они применяются для исследования вопроса о сходимости несобственных интегралов и оценки их значений. В качестве ф-ии, с которой связывают подынтегральную ф-ию ,часто выбирают Легко видеть, чтосходится приa<1,расходится при a.
60.Дифференциальные уравнения (основные понятия)
Дифференциальным уравнением называется уравнение относительно неизвестной ф-ии и ее производных различных порядков. Порядком дифференциального урав.назыв-ся порядок старшей производной ,входящей в это уравнение.
Если искомая ф-ия зависит от одной переменной, то соответствующее диф. урав- ие назыв. обыкновенным . Если искомая ф-ция зависит от нескольких переменных , то соответсв-ее диф. уравнение назыв. Уравнением с частными производными .Обыкновенными диф-ое уравн.n-ого порядка в общем виде можно записать так:
=0 (1)
Где x-независимая переменная ; y=y(x) искомая ф-ия переменной -ее производные;-заданная ф-ия своих аргументов .Отметим ,что ф-ия может не содержать некоторых своих аргументов, но непременно должна зависеть от(когда речь идет об уравненияхn-ого порядка).
Если уравнение (1) разрешимо относительно производной n-ого порядка, то его можно представить в виде .(2)
Ф-ия , определ. и непрерывно диф-аяn раз в интервале (a,b) назыв. решением диф-ого уравнения (1)в этом интервале ,если она обращает указанное уравнение в тождество, т.е.
Для всех
График решения диф-ого урав. n-ого порядка назыв. интегральной линией (или интегральной кривой).
Задача Коши для диф-ого урав. n-ого порядка состоит в следующем:найти решение y=y(x) уравнения (1),удовлетворяющее условиям
при (3)
Где -заданные числа назыв.начальными данными решения.
Равенства (3),которые назыв. начальными условиями ,можно записать в таком виде:
Условия существования в единственности решения задач Коши для уравнения (2) определ. след-ей теоремой ,приводимой здесь без доказательства.
Теорема 1
Если в уравнении функцияи ее частные производные понепрерывны в некоторой замкнутой областиG,определ неравенствами
и ,следовательно, ограничены в ней ,т.е
.
(k=0,1,2, … n-1;
Где C>0, ),
То существ. единственное решение y=y(x) данного уравн., удовлетворяющее условиям .Это решение определено и непрерывно вместе с производными до порядкаn включительно в промежуткегде
h= min
Общим решением диф-ого урав. n-ого порядка (1)назыв. ф-ия
(4)
Обладающая след. свойствами:1)при любых значениях произвольных постоянныхона обращает урав. (1)в тождество ;2)знач. постоянныхможно подобрать так,чтобы она удовлетворяла условиям (3)
Частным решением диф-ого уравнения n-ого порядка называется решение ,получ-ся из общего решения (4)при фиксированных значениях произвольных постоянных, т. е.ф-ия
Где -некоторые числа.
Решение диф-огоуравн.n-ого порядка, в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши, называется особым.
Общим интегралом диф-ого уравнения n-ого порядка называется соотношение вида
(5)
Неявно определ-ее общее решение этого уравнения. Частным интегралом диф. урав-я n-ого порядка назыв. соотношение , полученное из общего интеграла путем фиксирования значенийпроизвольных постоянных.
№61. Дифференциальные ур-я 1-го порядка с разделяющимися переменными:
Дифференциальным уравнением 1-го порядка с разделяющимися переменными называется уравнение вида: P(x)dx+Q(y)dy=0 (1). Его общим интегралом будет: (2). Уравнение вида: M1(x)·N1(y)dx+M2(x)·M2(y)dy=0 (3), а также уравнение вида: y'=f1(x)·f2(y) (4) уравнения, которые с пом. алгебраических преобразований приводятся к ур-ям (3) или (4) наз. ур-ми с разделяющимися переменными. Рассмотрим ур-е (3). Допустим, что N1(y)·M2(x)≠0. Разделим обе части ур-я (3) на N1(y)·M2(x). Получим: ,
Рассмотрим ур-е (4): Домножим обе части ур-я на dx и разделим на f2(y) в предположении, что f2(y)≠0.
– общий интеграл.
Замечание: При выводе общих интегралов ур-ий (3) и (4) сделаем нек. допущения, к-е могут привести к потере решений. Случай, когда M1(y)·M2(x)=0 или f2(y)=0 необходимо рассматривать отдельно, чтобы не потерять возможных решений дифференциальных ур-ий.
№62. Линейные дифф-е ур-я 1-го порядка:
Ур-е: y'+P(x)y=Q(x) (1) линейное относительно неизвестной ф-ии y и её производной y' (а также любое ур-е, с пом. алгебраических преобразований, приводящееся к виду (1) наз. неоднородным линейным дифф-ым ур-ем 1-го порядка. В случае, когда Q(x)=0 ур-е наз. однородным линейным дифф-м ур-м 1-го порядка. Ф-ии Q(x),P(x) должны быть непрерывны в нек. области, для того, чтобы выпол. услов. теоремы Коши.
Методы решения:
1.Метод вариации произвольной постоянной (метод Лангранжа):
y'+P(x)y=0
lny|=-
y=
=
y0=C·
C=C(x)-частное реш. неоднородного ур-я (1)
yн=C(x)·
d(x)·
C '(x)-C(x)·P(x)+C(x)·P(x)=Q(x)·
yн=
Общее реш-е неоднор. ур-я (1) имеет вид:
y=y0+yн=С·
2.Метод Бернулли:
Любую функцию можно представить в виде произв-я 2-х ненулевых ф-ий y(x)=U(x)·V(x)
U'V+UV'+P·UV=Q
U'V+U(V'+PV)=0=Q
V'+PV=0
V'+PV=0
ln|V|=-
V=C· C=1
V=
U'=0
U'=Q
U=
U=(
U' V+U V'+U Vtgx=
U' V+U(V'+Vtgx)=
V'+Vtgx=0
V'+Vtgx=0
+Vdx=0
ln|V|=ln|cosx|+ln|C|
ln|V|=ln|C·cosx| C=1
V=cosx
U'cosx=
U'=
U=tgx+C
y=(tgx+C)·cosx=sinx+C·cosx
Замечание: Полезно иметь в виду, что иногда дифф-е ур-е явл. линейным относ. х ,как функция от у,т.е. может быть приведено к виду: .
№63. Линейные дифференциальные ур-я 2-го порядка с постоянными коэффициентами:
y''+py'+gy=0 (1) p, g Є R.
λ2+pλ+g=0 (2)
1) λ1, λ2, Є R, λ1≠λ2
Решение: y1=, y2=, y0=C1+C2
2) λ1, λ2 Є R, λ1=λ2=λ
y1=, y2=x, y0=C1+C2
3)λ1, λ2 Є C, λ1/2=α±βi
y1=2=sinβx
y0=C121cosβx+C2sinβx)
Рассмотрим ур-е: y''+py'+gy=f(x) (3)
Во многих случаях правая часть ур-я (3) имеет вид: f(x)= (4), где Pr(x) и Qs(x)-многочлены в степени r и s соответственно, а и в- некоторые постоянные числа.
Известно, что в этом случае частное решение yн(х) ур-я (3) имеет аналогичную структуру правой части, т.е. частное решение в этом случае необходимо искать
ун(х)=хкm(x)cosbx+Q(x)sinbx) (5), где Pm(x) и Qm(x)- многочлены степени m
m={r,s}, k=числу корней характеристического ур-я совпадающему числу z=a+bi
f(x)=
yн=хкm(x)cosbx+Qm(x)sinbx)
m=max
k: a+bi
64