10. Проекция вектора на ось

Выражение «проекция вектора АВ на ось ОХ» употребляется в двух разных смыслах: геометриче­ском и алгебраическом (арифметическом).

1. Проекцией (геометрической) вектора АВ на ось ОХ называется вектор А'В' , начало которо­го А' есть проекция начала А на ось ОХ, а конец В' — проекция конца В на ту же ось.

Обозначение: Пр_ох АВ или, короче, Пр АВ . Если ось ОХ задана вектором с, то вектор А'В' на­зывается также проекцией вектора АВ на направле­ние вектора с и обозначается Пр_с АВ .

Геометрическая проекция вектора на ось ОХ на­зывается также компонентой вектора по оси ОХ.

2. Проекцией (алгебраической) вектора АВ на ось ОХ (или на направление вектора с) называется длина вектора А'В', взятая со знаком + или -, смотря по то­му, имеет ли вектор А'В' то же направление, что и ось ОХ (вектор с), или противоположное.

Обозначение: пр_ох АВ или пр_с АВ .

Замечание. Геометрическая проекция (компо­нента) вектора есть вектор, а алгебраическая проек­ция вектора есть число.

Основные теоремы о проекциях вектора

Теорема 1. Проекция суммы векторов на ка­кую-либо ось равна сумме проекций слагаемых векто­ров на ту же ось.

Теорема справедлива при обоих смыслах термина «проекция вектора» и при любом числе слагаемых; так, при трех слагаемых

Пр (а₁+ а₂ + а₃) = Пр а₁ + Пр а₂ + Пр а₃ (1) и

np(а₁ + а₂ + а₃) = пра₁ + пра₂ + пра₃. (2)

Теорема 2. Алгебраическая проекция вектора на какую-либо ось равна произведению длины вектора на косинус угла между осью и вектором:

пр. b = |b| cos (а^b). (3)

12.Операции над векторами:

1.Произведение вектора ā на число назыв вектор α*ā, модуль которого = |α|*|ā|, а направление совпадает с направлением вектора ā если α > 0 и противоположны ему если α<0

2.Анологичное правило для деления

3.Суммой векторов ā₁,ā₂,…,ā_n назыв вектор обознач ā₁+ā₂+…+ā_n= ā_1, начало которого находится в начале вектора ā_n, ломаной линии составлен из последов слогаемых векторов (правило замыкания ломоной)

4.Анологичное правило для вычитания

13. Скалярное произведение 2-ух векторов и его свойства

Скалярным поизведением ā и đ назыв число ā*đ равное |ā|*|đ|*cos(ā;đ), где (ā;đ) – наименьший угол между направл ā и đ.

Свойства:

1. ā*đ=đ*ā

2. (λ*ā)*đ=ā*(λ*đ)=λ*(ā*đ)

3. ā*(đ+ē)=ā*đ+ā*ē

4. ā*đ=|ā|*ПР_āđ=|đ|*ПР_đā

5. ā*ā=ā²=|ā|²

6. Если ā и đ ненулевые, то ā*đ=0 (ā┴đ)

7. Пусть в отронормиров базисе

ā=(x₁,y₁,z₁)

đ=( x₂,y₂,z₂)

ā*đ= x₁* x₂+ y₁* y₂+ z1*z2

|ā|=

16.Уравнение прямой в пространстве

1.Кононическое ур-ние прямой(по точке и направленному вектору): Рассмотрим М. Для того, чтобы М принадлежала прямой нужно ⃓⃓ М₀М=(x-x₀, y-y₀, z-z₀) t===. Знаменатель может превращаться в 0(символическая запись)

2.Параметрическое уравнение:

=>

3.Ур-ние по 2 точкам: М Є прямой, когда М₁М₂⃓⃓ М₁М. М₁М₂=(x₂-x₁, y₂-y₁, z₂-z₁), М₁М=(x-x₁, y-y₁, z-z₁)

==.

4. Общее ур-ние прямой: , n₁ не ⃓⃓ n₂, ⊥₁, ⊥₂

Угол прямыми: .

⃓⃓=

⊥a₁×a₂=0m₁×m₂+n_1×n₂+p₁×p₂.

17. Угол между прямой и плоскостью:

Пусть задана прямая == и плоскость Ax+By+Cz+D=0 ⃓⃓====, φ=

Условие параллельности прямойс направляющи­ми коэффициентами I, т, п и плоскости

Ах + Ву + + Сг + В = 0 есть

А1 + Вт + Сп = 0. (1)

Оно выражает перпендикулярность прямой и нор­мального вектора {А; В; С}.

Условие перпендикулярности прямой и плоскос­ти (обозначения те же) есть

2)

Оно выражает параллельность прямой и нормального вектора.

18.Система n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных

Определителем n-ого порядка наз. число △_n=⃓А⃓,

n=1 ⃓a₁₁⃓=a₁₁, =a₁₁× a₂₂-a₁₂×a₂₁ ,

=a₁₁*a₂₂*a₃₃+a₂₁*a₃₂*a₁₃+a₁₂*a₂₃* a₃₁- a₁₃*a₂₂*a₃₁-a₂₃*a₃₂*a₁₁-a₁₂*a₂₁*a₃₃.

Минором элемента а_ij называется определитель n-1-ого порядка путем отбрасывания i-строки и y-столбца.

Свойства: 1.Сумма произведений элементов люб. Ряда и их алгебр. Дополнений не зависит от номера ряда и ровна определителю.

2.Значение определителя не меняется после замены его строк соответ. столбцами и наоборот(транспонирование)(А^т) det-определитель det=det А^т

3. Если поменять местами 2 парал. Ряда опред., то он изменит знак на противоположный.

4. Опред. С 2 одинаковыми парал. рядами =0.

5. Если все элементы нек. Ряда опред. Имеют общий множетель, то этот множетель можно вынести за знак опред.

6. Если все элементы какого-либо ряда =0, то и опред. =0.

7. Опред., у кот. Элем. 2 парал. рядов соответ. пропорциональны, =0.

8. Сумма всех произведений элем. Какого-либо ряда опред. и алгебр. дополн. соответствует элем. Другоо ряда=0.

9. Если каждый элем. Любого ряда опред. Представ. Собой сумму 2 слог., то опред. = сумме2 опред., первым из которых соответств. Ряд состоит из первых слогаемых, а во втором из вторых.

10. опред. Не меняется если ко всем элем. Какого-либо ряда прибавить соотв. Элем. 2-ого парал. ряда, умноженное на одно и то же производное число.