46.Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума

Рассмотрим функцию z=f(х, у) определенную в некоторой об­ласти.

Максимумом функции z=f(x,y) называется такое ее значение f(,), которое больше всех других значений, принимаемых в точ­ках М(х,у), достаточно близких к точке М₁(х_],у_}) и отличных от нее, т. е.

f(,)> f(х, у)

Минимумом функции z=f(х, у) называется такое ее значение f(х₂, у₂), которое меньше всех других значений, принимаемых в точ­ках М(х,у), достаточно близких к точке М₂(х₂,у₂) и отличных от нее, т. е.

f(х₂, у_2)< f(х, у)

Максимум и минимум функции называют экстремумом. Точки, в которых достигается экстремум, называются точками экстремума.

Необходимые условия экстремума дифференцируемой функции нескольких переменных выражается следующими теоремами:

Теорема 1.

В точке экстремума дифференцируемой функции все ее первые частные производные равны нулю,если-экстремум ф-ции.

Теорема 2.

Пусть функция z=/(х,у) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно в некоторой окрестности точки М₀(а, b).

Если ее первые частные производные в точке М₀ равны нулю, а вторые принимают значения

(a,b)=A, (a,b)=B,(a,b)=C,

То при

-АС<0 и А>0

точка М₀ является точкой минимума данной функции, а при

В²-АС<0, А<0

точкой максимума, при

В²-АС>0

в точке М₀ экстремума нет.