- •1.Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении.
- •7.Угол между 2-мя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности.
- •14. Угол между 2-мя векторами.
- •8. Кривые второго порядка (эллипс, парабола, гипербола)
- •10. Проекция вектора на ось
- •12.Операции над векторами:
- •19. Решение методом Крамера
- •20. Линейная зависимость векторов. Базис и ранг системы векторов. Разложение вектора по данному базису.
- •21. Матрица и её экономический смысл. Операции над матрицами.
- •22. Ранг матрицы. Эквивалентные матрицы. Вычисление ранга матрицы методом Гаусса.
- •23. Обратная матрица и её вычисления.
- •25. Система линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных. Решение системы методом Гаусса. Понятие базисного решения.
- •27. Понятие функции. Область определения. Различные способы задания.
- •28.Числовая последовательность. Определение предела числовой последовательности.
- •29.Определение бесконечно большой и бесконечно малой последовательности. Связь между ними. Операции над бесконечно малыми последовательностями.
- •30.Предел функции в точке. Односторонние пределы.
- •34. Точки разрыва и их классификация.
- •35. Производная ф-ции. Гео. И эк. Смысл.
- •36. Произв. Сложной и обр. Ф-ции. Табл. Производных.
- •42. Экстремум ф-ции и его необходимое условие. Достаточные признаки экст.
- •46.Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума
- •47.Метод наименьших квадратов
- •48.Первообразная функции. Неопределённый интеграл. Основные свойства неопределённого интеграла
- •49.Замена переменной (подстановка) в неопределённом интеграле. Интегрирование по частям.
- •51.Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.
- •52. Интегрирование некоторых иррациональных функций.
- •53.Геометрическая задача, приводящая к понятию определённого интеграла. Определённый интеграл. Его свойства.
- •54. Применение определённого интеграла в экономике.
- •Теорема
- •Формула Ньютона – Лейбница связывает неопределенный и определенный интегралы.
- •56.Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Метод замены переменной
- •57.Площадь плоской фигуры. Объем тела вращения.
- •58 Интегралы с бесконечными пределами:
- •59.Интегралы от неограниченнх ф-ий
- •60.Дифференциальные уравнения (основные понятия)
- •64. Производственная функция Кобба-Дугласа:
- •66.Признаки срав-ия для полож. Рядов. Пр. Даламбера и Коши сход-ти рядов.
- •67.Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
- •68.Знакочередующиеся ряды.Признак Лейбница.
- •69.Понятие степенного ряда .Область сходимости степенного ряда
- •70. Ряды Тейлора и Маклорена.
42. Экстремум ф-ции и его необходимое условие. Достаточные признаки экст.
Т. х0 наз. т.миним. ф-и f(х),если можно найти такую проколот.окрестн. этой т.,что для люб.т.х из этой окрестн.выполн.услов. f(x)>f(х0).
Т. х0 наз. т.макс.,если можно найти такую прокол. окрестн. этой т.,что для люб.т. х из этой окрестн.f(x)<f(х0).Т.мин и макс- т.экстрем.
Необход.услов.экстрем.:Если в т.экстрем. ф-я f(x) имеет производ., то эта произв=0.Эта т. наз.стационарной .т. области определения ф-и в кот.произв=0 либо не сущ. наз. критическими.
Достаточн.услов.:1.Пусть ф-я непрерыв. в нек.интервале,сод. критичес. т. х=и дифференцируема во всех т. этого интервала,кроме т..Еслиf’(x)<0 при х<х0 и f’(x)>0 при х> х0,то х0‑минимум.
Если f’(x)>0 при х< х0 и f’(x)<0 при х> х0,то максимум.
Т.к. f’(x)<0 при х< х0 и f(x)непрерывна в т. х0,то f(x)убывает при x< х0 и выполн.услов. f(x)>f(х0).
Т.к. f’(x)>0 при x> х0 и f(x)непрерыв. в т. х0, то f(x) возраст. при x> х0 и f(x)>f(х0).
2. Пусть ф-я у=f(x) дважды дифференц. и f’(х0)=0,тогда в т. х= х0 ф-я имеет локальный максим. Если f’’(x)<0 и лок. мин. если f’’(х0)>0.
Если f’’(х0)=0,то х= х0 может и не быть экстремумом.
43. Вып-ть и вогн-ть кривой. Точки перегиба. Пусть ф-я f(x) имеет f’(x) в каждой точке промеж-ка (а;b), если на интерв. (а;b) график ф-и f(x) распол-н выше любой своей касат-й, провед-й в т.
этого промежутка, то ф-я наз-ся вогнутой (выпук-й вниз)на этом промеж-ке.
Если на промеж-ке (а;b) ф-я f(x) ниже своей касат-й, то ф-я – выпук-ая (вверх).
Т. х0 наз-ся т. перегиба ф-и f(x), если в этой точке ф-я имеет произв-ную и сущ-т 2 промеж-ка (а;х0) и (х0;b), на одном из кот. ф-я вып-ла, на др.-вогнута.
Теорема (достат. усл-е вып-ти): если во всех точках интервала (а;b) f’’(x) отриц-на (полож.), то кривая у=f(x) в этом интер-ле выпукла (вогн-та).
Теорема (дост. усл. перегиба): если в т.х0 f’’(x0)=0 или f’(x0) не сущ-т и при переходе через эту точку f’’(x) меняет знак, то т.х0 – т. перегиба.
44. Асимптоты графика ф-и. Прямая l наз-ся асимптотой кривой у=f(x), если расст-е от т.М кривой до прямой l при удалении т.М в ∞ стрем-ся к нулю, если сущ-т числа х=хi (i=1;n), при кот. , т.е. ф–я имеет бесконеч. разрвы, то прямые х=хi наз-ся вертик. асимптотами кривой у=f(x).
εε
Если сущ-т ,, то прямые y=kx+b наз-ся наклонными (при –k=0 – горизонт.) асимптотами кривой у=f(x).
4
М(x,y,z)
D
Величина у наз-ся ф-ей переменной х1,х2,…,хп , если каждой сов-ти (х1,х2,…,хп) из некот. обл-ти n-мерного простр-ва соотв-т опред. значение у: у=f(x1,x2,…,xn). Т.к. в n-мерном простр-ве сов-ть значений независ. перем-х x1,x2,…,xn опред-т точку n-мерного простр-ва М(x1,x2,…,xn), то такую ф-ю неск. перем-х можно рассм-ть как ф-ю точек М простр-ва соотв-ей размерности: у=f(М). Число А наз-ся пределом ф-и Z=f(x,y) в т. М0(x0,y0), если для любого ε›0 сущ-т ∆›0 такое, что при всех х,у, удовлет. ур-ю Іх-х0І‹δ, Іу-у0І‹δ, справедлино нерав-во Іf(x,y)-АІ‹ε. .
Ф-я непрер-на в т. М0(x0,y0),если справедливо равен-во .
Если переменной х дать некот. приращение ∆х, а у остовить без изм-й, то Z=f(x,y) получит приращение ∆хZ – частное приращение Z по переменной х, равное f(x+∆x,y)-f(x,y). Аналогично частное приращ-е Z по перем-й у опред-ся ∆уZ =f(x,у+∆y)-f(x,y).Если сущ-т пределы , то эти пределы наз-ся частными произв-ми ф-и Z=f(x,y) по переменным х и у соотв-но. Т. к. частное произв-ое по любой перем-ой явл-ся произв-ой по этой перем-й при усл-и, что остальные перем-е постоянны, то все правила и фор-лы дифф. ф-и одной перем-ой применимы для нахожд-я частной произв-ой ф-и числа переменной. Диф-ал ф-и Z=f(x,y), найден-й при усл., что одна из независ. перем-х изм-ся, а другая остается постоянной, наз-ся частным диф-ом:
dxZ=f’x(x,y)dx dx=∆x; dyZ=f’y(x,y)dy dy=∆y.Полное приращение ф-и Z=f(x,y): ∆Z=f(x+∆x,y+∆y)-f(x,y). Главная часть полного приращ. ф-и Z=f(x,y) линейнозавис-щая от приращ-ия независ. перем-х ∆х,∆у, наз-ся полным диф-лом ф-и и обознач-ся dZ. Если ф-я имеет непрер. частные произв-ые, то полный диф-л сущ-т и равен: , где dx=∆x, dy=∆y– произвольн. приращения незаис-х переменных.