48.Первообразная функции. Неопределённый интеграл. Основные свойства неопределённого интеграла

Функция F называвается первообразной для функции А на некотором промежутке X,если любое x€X, (x)=f(x)

Задача об отыскании первообразной от данной ф. f решается неоднозначно.

F(x)=f(x)

(F(x)+C)=F(x)+C=f(x)

Теорема. Если F(x) и F(x)-две любые первообразные для функции f на промежутке X, то они могут отличаться лишь на постоянную,т.е.F(x)-F(x)=C=const.

Доказательство.

Пусть F и F-первообразные функции f.

Рассмотрим производную разности:

((x)-(x))`=(x)-(x)=f(x)-f(x)≡0.

(x)-(x)=const.

Ч.Т.Д.

(x) – первообразная ф. f, то множество всех её первообразных имеет вид F(x)+C.

Определение. Множество всех первообразных ф.f(x) называется неопредел. интегралом ф. f(x) и обозн. ∫f(x)dx.

Ф-ция f(x) наз. подынтегральной функцией.

Выраж. f(x)dx наз. подынтегральн. выраж.

x- переменная интегрир.

Если F(x)-первообр.ф. f(x), то неопр. интегр.- ∫f(x)dx=F(x)+C.

Основные свойства неопр. интегралов:

1.Производная неопр. интеграла равна подынтегр. ф-ции; дифференциал неопр. интеграла равен подынтегр. выраж.: (f(x)dx)`=f(x), d=f(x)dx.

2.Неопр. интеграл от дифференциала некот. функции с точностью до пост. Слагаемого:=+С.

Док – во:

Пусть (x)=(x)dx=F(x).На основании 1св-ва получ.:(x)=F`(x), откуда F(x)=(x)+C,т.е. (x)=(x)+C.

3.Пост. множитель можно вынос. за знак неопр. интегр:=k(k=const,k0).

4.Если функция (x) и (x) имеют первообр. , то ф-ции (x) +(x) тоже имеют первообр.,причем (x)+(x)dx=(x)dx+(x)dx.

49.Замена переменной (подстановка) в неопределённом интеграле. Интегрирование по частям.

Если функция х= φ (t) имеет непрерывную производную, то в неопределённом интеграле ∫ ƒ(х) dx всегда можно перейти к новой переменной t по формуле

∫ƒ(х) dx=∫ ƒ(φ(t)) φ’(t) dt=∫ ƒ(φ(t)) d(φ(t)).Отметим, что при замене х=φ(t) должно осуществляться взаимнооднозначное соответствие между областями D и D определения функций φ(t) и ƒ(х) такое, чтобы функция φ(t) принимала все значения х из области D , то есть х є D. Метод интегрирования по частям основан на формуле ∫ U dV=UV-∫ V dU, где U(х), V(х)- непрерывно диф. Функции.

50.Интегрирование рациональных функций. Рациональной функцией назыв. Функция равная отношению двух многочленов:R(x)= Q_m(x)/P_n(x)=(b₀x^m+b₁x^m-1+…+b_m)/(a₀xⁿ+a₁x^n-1+

+…+a_n), где m, n єN; b_i , a_i є R.Если m<n , то R(x) называют правильной дробью. Если m≥n, то R(x) называют неправильной. Любую неправильную дробь можно представить ввиде суммы некоторого многочлена и правильной дроби. Далее будем рассматривать только правильные дроби. Простейшей дробью называется дробь одного из видов: 1)A/(x-a);

2)A/(x-a)^k ; 3)(M_x+N)/(x²+px+q); 4)(M_x+N)/(x²+px+q)^k , где M,N,A,a,p,q- постоянные числа; k- целое большое либо равное 2, p²-4q<0. Известно, что всякий многочлен с действительными коэффициентами на множестве действительных чисел. Может быть представлен виде P_n(x)=a₀(x-α₁)^k1…(x-α_β)^kβ(x²+p₁x+q₁)^t1…(x²+p_sx+q_s)^ts (2); k₁+…+k_β+t₁+…+t_s=n. P_i²-4q_i<0.Теорема( о разложении правильной дроби в сумму простейших дробей): всякую правильнуюдробь (1) со знаминателем, представленным виде (2) можно разложить в виде суммы простейших дробей типа 1-4.В данном разложении каждому корню α_r кратности k_r (x-α_r)^kr соответствует сумма k_r дробей вида A₁/(x-α_r) + A₂/(x-α_r)² + …+A_kr/(x-α_r)^kr. Каждой паре комплекстно сопряжённых корней кратности t_γ многочлена P_n(x) каждому множителю (x²+p_γx+q_γ)^tγ соответствует сумма дробей вида (M₁x+N₁)/(x²+p_γx+q_γ) + (M₂x+N₂)/(x²+p_γx+q_γ)² +…+(M_tγx+N_tγ)/(x²+p_γx+q_γ)^tγ