Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Строительная механика

.pdf

Скачиваний:

571

Добавлен:

31.05.2015

Размер:

3.84 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 1919

Эпюры изгибающих моментов (в общем виде) от симметричных и обратно симметричных спаренных сил P =1, приложенных в местах расположения масс, приведены на рис. 7.4. Так как заданная система симметрична, то симметрично расположенные нагрузки P =1 создают симметричные эпюры изгибающих моментов (M1, M3 ), а косо симмет-

ричные единичные нагрузки – косо симметричные эпюры (M 2 , M4 ).

Поскольку, в рассматриваемом случае все перемещения δii и δik вы-

званы действием групповых сил, состоящих из двух сил, массы в определи-

теле (6.33) следует вводить с коэффициентом 12 .

В общем виде определитель (6.33) для системы с четырьмя степенями свободы имеет вид:

					(δ11m1 − λ)											δ12m2									δ13m3							δ14m4
					(δ11m1 − λ)											δ12m2									δ13m3							δ14m4
		D =				δ21m1						(δ22m2							− λ)				(δ		δ23m3							δ24m4								= 0	(7.16)
						δ	31	m								δ	32	m		2			(δ	33			m − λ)					δ		34			m	4
							31	1									32			2				33				3						34				4
						δ41m1										δ42m2									δ43m3					(δ44m4 − λ)
Учитывая симметрию системы, полученные симметричные и косо
симметричные			единичные									эпюры								от	групповых									сил (рис. 7.4б,в,г,д)
δ12 = δ21 = 0,			δ14 = δ41 = 0,								δ32 =δ23 = 0,														δ34 =δ43 = 0
и равенство (7.16) принимает вид:
			m																					m
			m																					m
	δ	11	1		− λ						0										δ	13					3				0
	δ		2		− λ						0										δ				2						0
			2									m													2								m
			0						δ			m	2		− λ								0							δ			m			4
										22			2																		24					4
											2
D =				m							2												m											2					= 0		(7.17)
D =																																							= 0		(7.17)

		δ			1						0									δ				3		− λ					0
		δ			2						0									δ						− λ					0
			31		2								m								33 2											m
													m			2																m	4
			0							δ						2							0						δ				4		− λ
			0							δ				2									0						δ						− λ
											42			2																44 2

Раскрывая равенство (7.17) по элементам первого столбца имеем:

181

																												m					2															0																				δ		m			4
																			δ						22								2			− λ												0																				δ	24				4
									m																22				2																			m																					24			2
D =									m																																							m
		δ					11				1		− λ																		0														δ	33					3			− λ															0									+
		δ											− λ																		0														δ			2						− λ															0									+
											2																						m															2																					m
																									δ								m															0																			δ		m
																									δ												2											0																			δ			4		− λ
																												42 2																																								44	2
															0																		δ		13			m3										0
																																						m3

			m												m																									2												m
+δ			m								δ				m		2		− λ																		0										δ					m				4								=
	31						1					22					2																															24								4
				2											2																																						2
				2											2																																						2
																	m		2																														m			4
													δ	42					2																		0								δ		44					4			− λ
													δ																								0								δ										− λ
																		2																														2
						m																	m																					m																	m
=	δ	11					1				− λ						δ		22								2			− λ										δ		33			3		− λ								δ			44							4	− λ			−
=	δ						1				− λ						δ										2			− λ										δ					2		− λ								δ										4	− λ			−
							2																		2																				2																	2
−	δ				m1					− λ				δ							m2								δ								m3				− λ δ								m4						+
−	δ									− λ				δ															δ												− λ δ														+
		11					2										42					2										33					2										24	2
		11					2										42					2										33					2										24	2
			m										m										m														m									m												m												m									m
+δ							1	δ							3	δ										4		δ											2 −δ								1				δ										2		− λ δ									3			δ							4	− λ		= 0,
+δ							1	δ			13 2					δ										4		δ											2 −δ								1				δ										2		− λ δ												δ							4	− λ		= 0,
	31			2							13 2							24							2							42					2								31		2						22 2																13			2					44			2
или
				m																								m					2																	m																					m			4
δ11							1			− λ										δ22													2				− λ								δ33								3				− λ											δ44						4	− λ							−
δ11										− λ										δ22											2						− λ								δ33												− λ											δ44							− λ							−
							2																								2																				2																					2
		2 m2m4																						m1																							m3																																						(7.18)
−δ		24															δ11														− λ											δ33									−					λ					+
−δ		24									4						δ11								2						− λ											δ33					2				−					λ					+
											4														2																						2
+δ132							m m							δ242							m					m					4			−δ132									m m																m			2														m			4
								1 3																	2						4														1 3						δ22											2			− λ							δ44							4		− λ			= 0.
																									4																										δ22														− λ							δ44						2			− λ			= 0.
								4																	4																				4															2																		2

Уравнение (7.18) является общим для любой симметричной системы с четырьмя степенями свободы и в том числе для системы, изображенной на рис. 7.4а. Оно охватывает возможные симметричную и кососимметричную формы деформации при соответствующих колебаниях системы.

Если в уравнении, аналогичном (7.17), будет обеспечено условие, что все побочные коэффициенты δik = 0, то, определитель в развернутом виде будет:

= 0.

(7.19)

− λ

− λ K

−λ

11 2

22 2

ii 2

Приравнивая поочередно нулю отдельные сомножители уравнения (7.19), получаем частоты собственных колебаний, которым соответствуют

182

свои формы деформации системы, называемые главными формами колебаний. Главные формы собственных колебаний взаимно ортогональны – возможная работа сил инерции первой формы на перемещениях второй формы (и наоборот) равна нулю. В этом нетрудно убедиться на примере симметричной балки, изображенной на рис. 7.5а, определяя возможную работу сил инерции в состоянии симметричной ее деформации (рис. 7.5б) на перемеще-

ниях кососимметричной деформации (рис. 7.5в).

а)
m1	m2	m2	m1
б)	m2	m2
	m2	m2
m1			m1
в)	m2		m1
	m2
m		m2
1

Рис. 7.5

Эта же закономерность распределения усилий и деформаций в симметричной системе наблюдается и в расчетах на прочность при действии статических нагрузок. Например, при действии на симметричную систему симметричной нагрузки обратно симметричные неизвестные равны нулю.

По аналогии, при действии на симметричную систему симметричных инерционных сил (симметричные колебания) обратно симметричные инерционные силы (групповые или одиночные) будут равны нулю и наоборот. Поэтому колебания системы, удовлетворяющей всем требованиям свойств симметрии, целесообразно исследовать, рассматривая независимо симметричную и косо симметричную формы ее деформации. Для каждой разновидности этих колебаний уравнение (7.18) может быть представлено в виде:

183

					m												m			4										m									m							2 m m
			δ	22	2			− λ					δ44							4	− λ						δ11			1		− λ			δ33				3		−		λ	−δ13			1 3		−
			δ	22	2			− λ					δ44					2			− λ						δ11			2		− λ			δ33				2		−		λ	−δ13					−
					2													2												2									2								4		(7.20)
							m	m								m													m									m m							m m				(7.20)
	−δ 2						m	m		4						m													m						2			m m				δ 2			m m
							2			4		δ					1		− λ δ										3		− λ +δ				2				1 3							2 4	= 0;
					4							δ				2			− λ δ										2		− λ +δ																= 0;
				24	4								11			2										33			2						13				4				24			4
				m											m													m								m								2		m m
	δ	11		1		−λ					δ	33				3	−λ							δ	22				2		−λ		δ	44			4		−λ				−δ	24		2 4		−
	δ					−λ					δ						−λ							δ							−λ		δ						−λ				−δ					−
				2										2															2								2									4
				2										2															2								2									4			(7.21)
			2 m m									m													m								2 m m										m m						(7.21)
−δ			2 m m									m				−									m				−				2 m m								2		m m
			13		1 3				δ		22			2				λ				δ	44				4			λ		+δ	13		1 3					δ	24		2 4 = 0.
									δ					2				λ				δ					4			λ		+δ								δ			2 4 = 0.
					4									2												2											4						4

В рассматриваемом случае уравнение (7.20) (отброшены как равные нулю все сомножители и слагаемые, включающие влияние обратно симметричных инерционных сил) выражает симметричные колебания рамы, определяемые сомножителем

	m			m		2	m m
δ11	1	− λ	δ33	3	− λ	−δ13	1 3	,
δ11	2	− λ	δ33	2	− λ	−δ13	4	,
	2			2			4

а уравнение (7.21) – аналогично обозначенные (в квадратных скобках) косо симметричные колебания.

С целью упрощения расчета симметричные и косо симметричные колебания симметричной системы можно рассматривать раздельно, пользуясь независимыми уравнениями для каждого вида колебаний. Убедимся в справедливости этого на рассматриваемом примере расчета рамы (рис. 7.4). Воспользуемся одним из свойств определителей и в исходном определителе (7.17) поменяем местами вторую и третью строки, а затем поменяем местами второй и третий столбец. Преобразованный определитель принимает вид:

			m							m
	δ	11	1		− λ		δ	13			3				0								0
	δ		2		− λ		δ				2				0								0
			2								2
				m					m
		δ	31		1	δ	33		3			− λ			0								0
D =		δ			2	δ		2				− λ			0								0						= 0 (7.22)
D =					2			2								m									m				= 0 (7.22)
																m	2								m			4
			0					0					δ	22			2		− λ			δ	24					4
			0					0					δ		2				− λ			δ				2
															2											2
																	m			2				m	4
			0					0						δ	42					2	δ	44			4		− λ
			0					0						δ				2			δ		2				− λ
																		2					2

В равенстве (7.22) первая и вторая строки определителя выражают

184

симметричные, а третья и четвертая строки – кососимметричные колебания. Определитель (7.22) можно представить в виде:

D = DI

× DII

= 0,

(7.23)

где

δ11

−

δ13

δ22

−λ

DI =

= 0 и DII =

= 0 .

δ31

−

δ42

δ44

−λ

Раскрывая определители DI и DII , имеем:

m m

δ11

− λ

− λ −

δ132

= 0;

D =

−

−δ

m m

= 0.

Подставляя выражения DI

и DII в равенство (7.23) и преобразовывая,

получаем:

m m

δ11

−λ δ33

−λ

−δ132

δ22

−λ

δ44

−λ −δ242

= 0.

2 2

или

δ11

−

δ33

−

−λ δ44

−λ

−

−λ

−

λ δ 2

m2m4

−δ

m1m3

(7.24)

+δ132

m m

δ242

−λ

1 3

= 0.

Уравнение (7.24) полностью совпадает с уравнением (7.18), полученным из исходного определителя (7.17). Это подтверждает справедливость равенства (7.23) и возможность рассматривать независимо симметричные и косо симметричные колебания симметричных систем.

Представляет определенный интерес форма записи характеристических уравнений колебаний в динамических расчетах симметричных систем. Например, в рассмотренной выше симметричной раме с четырьмя степенями

185

свободы, симметрично расположенные массы будут численно равны. Заданную систему можно представить, как показано на рис. 7.6.

m1			m1
0.5 h	m2		m2
	m2		m2
0.5 h
0.5	0.5	0.5	0.5

Рис. 7.6

Сохранив обозначения направлений перемещений масс, единичные эпюры останутся без изменений и представлены на рис. 7.4б,в,г,д. Преобразованный определитель (7.22) симметричных и косо симметричных колебаний принимает вид:

			m							m			2
	δ	11	1		− λ		δ	13					2			0							0
	δ		2		− λ		δ				2					0							0
			2								2
				m					m	2
		δ	31		1	δ	33			2		− λ				0							0
D =		δ			2	δ		2				− λ				0							0						= 0 (7.25)
D =					2			2									m								m				= 0 (7.25)
																	m								m			2
			0					0						δ	22		1			− λ		δ	24					2
			0					0						δ		2				− λ		δ				2
																2										2
																		m						m	2
			0					0							δ	42			1		δ	44			2		− λ
			0					0							δ				2		δ		2				− λ
																			2				2

Как и ранее останется в силе условие ния колебаний в отличие от канонической мает вид:

	δ11	m		δ33	m
DI =	δ11	1	−λ	δ33	2
		2			2

(7.23), т.е. D = DI × DII , а уравне-

формы в равенстве (7.25) прини-

	−δ132	m m	= 0;	(7.26)
−λ	−δ132	1 2	= 0;	(7.26)
		4

	δ	m		δ	m		−δ	2	m m	= 0,	(7.27)
D =	δ	1	−λ	δ	2	−λ	−δ		1 2	= 0,	(7.27)
II		22 2			44 2			24	4

где равенства (7.26) и (7.27) выражают соответственно симметричные и косо симметричные свободные колебания симметричной системы с четырьмя степенями свободы.

186

187

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 1919

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.11.201925.44 Mб4Стр. 3-6 (Стр24-25).doc
#
08.11.20192.04 Mб0стр.7-15.doc
#
08.05.201979.87 Кб2Страховое дело.doc
#
31.05.20151.2 Mб54Строит теплотехника ТКП 45-2_04-43-2006.doc
#
31.05.201510.86 Mб135Строительная механика учебник.pdf
#
31.05.20153.84 Mб571Строительная механика.pdf
#
25.09.20195.54 Mб46строительные конструкции (1-50).doc
#
31.05.20151.15 Mб220Строительные материалы Метода.pdf
#
01.12.201836.17 Mб392Строительные_чертежи_заочники.doc
#
31.05.201530.66 Кб26строймат(64-77).docx
#
31.05.201516.9 Mб47СУБД_лабы 1-10.doc