Строительная механика

131

Глава 6

Основы динамики сооружений

6.1. Основные положения

По характеру воздействия на сооружение различают нагрузки статические и динамические. Нагрузки считаются статическими, если их изменение протекает очень медленно (с бесконечно малым приращением во времени), без толчков, ударов. К динамическим относятся нагрузки, которые могут изменять свою величину, направление или положение в относительно короткие промежутки времени. Динамические нагрузки являются функциями времени и обозначаются P(t), q(t), m(t). Все параметры, зависящие от динамических нагрузок (например, усилия, перемещения, напряжения) так же будут функциями времени и записываются M (t), Q(t), ∆(t), σ(t), и т.д. Динамические на-

грузки сообщают ускорения массам сооружения, вызывают появление инерционных сил и колебания сооружения.

Динамика сооружений – это раздел строительной механики, в котором изучаются принципы и методы расчета сооружений на действие динамических нагрузок.

Динамические расчеты выполняются с целью решения двух основных задач: определение частот колебаний системы и проверка ее на резонанс; определение наибольших (амплитудных) значений внутренних сил и перемещений, вызываемых динамической нагрузкой. Приведем наиболее характерные в строительной практике виды динамических нагрузок.

Гармоническая (вибрационная) нагрузка – нагрузка, изменяющаяся периодически по определенному закону. Нагрузки такого характера создаются при вращательном и вращательно-поступательном движении неуравновешенных частей машин и механизмов (электромоторы, турбины, станки). Для сооружений вибрационные нагрузки представляют особую опасность, так как вызываемые ими усилия и перемещения зависят не только от величины (ам-

132

плитуды) нагрузки, но и в значительной мере от частоты ее воздействия. Ударная нагрузка (удар в определенном месте сооружения) характерна

тем, что прикладывается в очень короткий промежуток времени с резким изменением скорости соударяемых тел. Она может быть неподвижной и подвижной, хаотичной (удары льдин) и периодической (механический кузнечный молот).

Сейсмическая нагрузка, включающая одновременно удары, толчки, сдвиги земной коры, является большой опасностью для инженерных сооружений по сложности динамического воздействия.

Подвижная нагрузка – меняющая свое положение на сооружении (поезда, автомобили) – относится, как правило, к сложным динамическим воздействиям, вызывающим колебания сооружения.

Ниже рассмотрены простейшие случаи расчетов стержневых систем при действии динамической нагрузки, изменяющейся по гармоническому закону, как наиболее часто встречающейся в инженерной строительной практике.

Колебания систем, вызываемые динамическими нагрузками, подразделяются на свободные и вынужденные. Если упругую систему какой-либо динамической нагрузкой вывести из состояния равновесия, а затем удалить воздействие, то массы системы, получив ускорения, будут совершать колебания относительно устойчивого положения равновесия. Такие колебания системы называются свободными. Частным случаем свободных колебаний являются собственные колебания, когда свободные колебания совершаются по типу стоячей волны с одной определенной частотой и формой деформации системы.

В системе с одной степенью свободы свободные колебания всегда являются собственными колебаниями. Система с п степенями свободы обладает спектром п собственных колебаний.

Вынужденные колебания создаются постоянно действующей на систему динамической нагрузкой, вызывающей непрерывные движения масс от-

133

носительно положения равновесия.

Колебания могут быть классифицированы по виду вызываемых ими в системе основных деформаций, а именно: поперечные колебания (в направлении, перпендикулярном к продольной оси стержня, вызывающие его изгиб); продольные (вдоль продольной оси стержня), крутильные, изгибнокрутильные, вызывающие деформации изгиба и кручения и др.

Колебания могут быть линейными и нелинейными. При линейных колебаниях усилия и перемещения системы находятся в линейной зависимости от величины возмущающих нагрузок. Это условие будет выполняться, если материал системы находится в упругой стадии работы.

Ниже рассматриваются поперечные колебания, как наиболее характерные для строительных конструкций. Будем так же полагать, что исследуемые системы находятся в упругой стадии работы материала и совершают линейные колебания.

Основными методами решения задач динамики сооружений являются статический (кинетостатический) и энергетический методы.

Статический метод (точный) основан на использовании уравнений динамического равновесия, в которые дополнительно входят (согласно принципу Даламбера) силы инерции перемещающихся масс.

При расчете сложных систем применение статического метода может вызвать значительные трудности ввиду громоздкости вычислений и в этих случаях часто используются приближенные методы и способы.

В основу энергетического метода (приближенного) положен закон сохранения энергии, согласно которому, при отсутствии сил сопротивления, сумма потенциальной и кинетической энергий колеблющейся упругой системы в любой момент времени остается постоянной. При использовании этого метода основная задача состоит в отыскании такого деформированного состояния системы, которое наиболее близко по форме к действительному ее состоянию при колебаниях. Уравнения изогнутых осей стержней деформированной системы принимаются приближенно, и в этом состоит приближен-

134

ность энергетического метода.

В динамике сооружений основной характеристикой системы является число степеней ее свободы – количество независимых геометрических параметров, определяющих положение всех масс в любой момент времени при любых деформациях системы. Этот показатель предопределяет ход расчета и играет в расчетах динамики такую же роль, как, например, число возможных перемещений узлов системы при расчете стержневых систем методом перемещений. Чем большим количеством перемещений обладают массы системы, тем сложнее ее расчет. С целью упрощения расчета обычно пренебрегают угловыми перемещениями сосредоточенных масс, учитывают только их линейные смещения и тогда каждая, не имеющая связей масса, как точка в плоскости, обладает двумя степенями свободы. Кроме того, пренебрегают весьма малыми перемещениями масс, вызванными не основными видами деформаций элементов системы при данном виде колебаний. Примером может служить невесомый упругий стержень с массой т, расположенной в его вершине

(рис. 6.1).

На рис. 6.2а,б приведена система с двумя массами, обладающая двумя степенями свободы, а на рис. 6.3 – с тремя массами и четырьмя степенями свободы.

135

Рис. 6.3

При учете собственной массы стержней упругой системы число степеней ее свободы будет равно бесконечности. На рис. 6.4а приведена балка с постоянной по ее длине распределенной массой m . Даже в этом простейшем случае число параметров, характеризующих положение всех точек балки в деформированном состоянии равно бесконечности. Разбив эту балку на участки и заменив в пределах каждого участка распределенную массу сосредоточенной, получим систему с конечным числом степеней свободы (рис. 6.4б).

а) y

m(x)

x

y(x)

б) y

Рис. 6.4

6.2. Свободные колебания систем с одной степенью свободы без учета сил сопротивления

Для лучшего уяснения процесса колебаний сначала рассмотрим их без учета сил сопротивления на примере невесомой простой балки, масса кото-

136

рой расположена в середине пролета этой балки (рис. 6.5). В любой момент времени перемещение y массы зависит от силы упругости балки S (восста-

навливающая сила) и силы инерции движущейся массы Im .Сила упругости

быть принята равной S =C y , где C – жесткость балки, определяемая силой,

необходимой для перемещения точки расположения массы по направлению колебаний на единицу; y – отклонение массы от положения равновесия.

Сила инерции I m и выражается зависимостью Im = −m d 2 y = −my′′, где dt 2

y′′ – ускорение массы (знак «минус» указывает, что сила инерции направле-

на в сторону, противоположную ускорению).

В любой момент времени уравнение динамического равновесия (∑Y = 0) массы имеет вид:

получаем уравнение свободных колебаний системы с одной степенью свободы без учета сил сопротивления:

y′′ +ω2 y = 0.

Решение этого однородного дифференциального уравнения имеет вид:

137

где С1 и С2 – постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий:

Уравнение (6.6) является функцией времени, график которой показан на рис. 6.6. Колебания совершаются по синусоидальному закону. На рис. 6.6 штриховой линией показан график функции равенства (6.4), из которого сле-

диться на линии равновесия, а будет смещена на величину y0 .

138

Рис. 6.6

Время, за которое масса совершает один полный цикл колебаний, на-

зывают периодом колебаний. По рис. 6.6

Частоту ω, равную числу полных циклов колебаний в течение 2π секунд, принято называть круговой частотой.

Частота колебаний в одну секунду выражается в герцах и равна

V = T1 = 2ωπ .

В практических расчетах часто пользуются так называемой технической частотой, выражающей число полных циклов колебаний за одну минуту. По формуле (6.8) имеем:

мещение, равное единице.

По отношению к полному ycm , вызванному силой P , значение C вы-

разится равенством:

139

Как известно g = 981сексм2 . Приняв g ≈ (10π )2 и подставив выражение (6.10) в формулу технической частоты (6.9), получаем:

где ycm должно быть взято в сантиметрах.

Формулу (6.2) можно преобразовать к другому виду. Из определения

Из формул (6.7), (6.8) и (6.10) видно, что для каждой конкретной системы частота и период колебаний остаются постоянными величинами и зависят только от упругих свойств этой системы и величины массы. Они не зависят от начальных условий, вызывающих движение массы и носят название

основных динамических характеристик системы.

Рассмотрим, как изменяется потенциальная и кинетическая энергия системы в процессе ее колебаний (рис. 6.6). При отклонении массы от положения статического равновесия ее перемещению препятствует сила упругости, замедляя движение массы. В момент наибольшего отклонения массы ее скорость равна нулю и равна нулю ее кинетическая энергия. В это время по-

140