Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Строительная механика

.pdf

Скачиваний:

571

Добавлен:

31.05.2015

Размер:

3.84 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1912 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Таблица 5.2.

Изгибающие

Значения

Поправочные

Схема стержня

моменты и

опорных моментов и

множители

поперечные силы

поперечных сил

QА

Q =Q =

2tg

3(tg

)

MА

= 3i

Здесь и ниже:

QВ

EI ;

PКР .

(tg

)

QА

Q =Q

(tg

MА

8tg

MА= 4i

MВ

MВ= 2i 3

QВ

(

sin

)

4sin

(tg

)

Q =Q = 3i2

MА

MА=

= 1

=Q =

12i

MА

MА= l

= 6i

3( tg

)

Q = i

l 2

1 2

QВ= l 2

111

5.9. Пример расчета рамы на устойчивость

Выполним расчет на устойчивость той же рамы, которая ранее (п. 4.6) рассчитана методом перемещений. Продольные силы в стойках рамы (рис. 4.23) будут играть роль узловых нагрузок (рис. 5.23). Для удобства расчета выразим все внешние нагрузки в узлах рамы через одну нагрузку P3 и рас-

четную схему на устойчивость примем, как показано на рис. 5.24.

Рис. 5.23

Рис. 5.24

Врасчете этой рамы методом перемещений (4.6) показано, что степень

еекинематической неопределимости n = 2. Расчет на устойчивость выполним методом перемещений, как более рациональным по сравнению с методом сил ( Л =3). Основную систему формируем введением дополнительных связей, препятствующих угловому и линейному смещениям узлов рамы (рис. 5.25). Там же цифрами 1, 2, …,6 обозначены порядковые номера стержней.

112

Рис. 5.25

Так как на раму действует узловая нагрузка (сосредоточенные силы), то система канонических уравнений будет:

+ r

= 0;

(5.49)

r21z1 + r22 z2 = 0.

По условию (5.48) имеем

D =

r11

r12

= 0 ,

(5.50)

или, раскрывая определитель (5.50), получаем

− r

= 0.

(5.51)

Коэффициенты rii

и rik

найдем, пользуясь таблицей 5.2.

Погонные жесткости стержней определим по условию in =

EIn

Приняв EI = 4 , имеем:

EI1

=1;

EI2

2 4

= 2;

i =

EI3

=1;

EI4

= 2;

EI5

8 4

= 4;

EI6

6 4

= 4.

Находим соотношения между параметрами ν1,ν2 ,ν3 :

113

= l

= 4

1,477P

= 4 1,215

= 4,861

;

EI1

= l

= 4

2,19P

= 4 1,046

= 4,186

;

EI2

2EI

= l

= 4

P .

ν2

4,186

= 0,8611, →ν2 = 0,8611ν1;

ν1

4,861

ν3

= 0,8229, →ν3 = 0,8229ν1.

ν1

4,861

Эпюра изгибающих моментов от поворота первой дополнительно введенной связи на угол z1 =1 приведена на рис. 5.26.

Рис. 5.26

В ненагруженных узловыми нагрузками стержнях 4 и 5 возникают изгибающие моменты только от их изгиба при повороте первой добавленной связи. Эпюры изгибающих моментов в этих стержнях строятся с использованием таблицы готовых решений метода перемещений (табл. 4.1). В стержне 1 изгибающие моменты возникают от поворота первой добавленной связи и от действия продольной силы P1 . Влияние продольной силы учитывается функ-

циями ϕ2 и ϕ3 параметра ν1 . Эпюра изгибающих моментов для этого стерж-

114

ня имеет криволинейное очертание. Строится она так же с использованием таблицы готовых решений (табл. 5.2).

Горизонтальное смещение второй дополнительно введенной связи на единицу ( z2 =1) вызовет изгиб стержней 1, 3 и 4. Эпюра изгибающих момен-

тов приведена на рис 5.27. В стержне 4 эпюра изгибающих моментов имеет прямолинейное очертание, т.к. он не загружен нагрузкой вдоль его оси. В стержнях 1, 3, нагруженных силами P1 и P3 , эпюры изгибающих моментов имеют криволинейные очертания. Влияния продольных сил P1 и P3 учиты-

ваются поправочными множителями ϕi (νi ) и ηi (νi ).

Вторая стойка повернется на некоторый угол, оставаясь прямолинейной. Под действием сжимающей силы P2 в ее опорах возникают горизон-

i ν

тальные реакции, равные

(см. табл. 5.2).

l22

Рис. 5.27

Реакции в дополнительно введенных связях 1 и 2 определим, пользуясь

эпюрами M1 и M2 . По эпюре M1 :

∑M1 = −3i4 −3i5 −4i1ϕ2 (ν1 )+r11 = 0, откуда

r11 = 3i4 +3i5 +4i1ϕ2 (ν1 )=3 2 +3 4 +4 1 ϕ2 (ν1 )=

=18 +4 ϕ2 (ν1 ).

115

Коэффициент r21 (реакцию в связи 2) определим из условия равновесия отсеченной части рамы (рис. 5.28)

∑ X = 0; r21 − 3i4 + 6i1 ϕ4 (ν1 )= 0,

l4 l1

	Рис. 5.28.
откуда	r		= 3i4					−		6i1 ϕ			4	(ν	1	)= 3 2 −										6 1ϕ				4	(ν		1	)= 3 −1,5ϕ										4	(ν		1	).
	21				l4					l1			4		1					2						4				4			1											4			1
					l4					l1										2						4
По эпюре M2 :
								∑M			1	= 0;				− 3i4 +									6i1 ϕ				4	(ν		1	)	+ r		= 0,							откуда
											1								l4							l1			4			1			12
																			l4							l1
								r		= 3i4				−		6i1 ϕ				4		(ν		1	)= 3 2 −									6 1ϕ		4	(ν			1			)=3 −1,5ϕ						4	(ν	1	).
								12				l4				l1				4				1					2					4		4				1									4		1
												l4				l1													2					4
																										∑X = 0;
																										r			−		3i4 +				12i1			η		2			(ν		1	)+
																											22					l	2		l 2					2					1
																																4			1
																										+ i2 ν 2								− 3i3 η				(ν				3		)	= 0,
																												l22				2		l32			1					3
	Рис. 5.29																											l22						l32
	Рис. 5.29
r	= 3i4	+12i1						η	2	(ν	)− i2				ν2		+		3i3				η			(ν	3	)=			3 2 +				12 1η						2		(ν )−
22	l 2			l 2					2	1				l 2		2				l 2				1			3				22				42						2				1
откуда	4				1									2							3
−	2 (0,8611ν						)2 + 3 1η (0,8229ν																).
42						1				42				1								1
42										42
Или r =1,5 + 0,75η		2	(ν	1		)− 0,125(0,8611ν													1		)2		+ 0,1875η										(0,8229ν						1			).
22		2		1															1													1							1
Подставив значения коэффициентов rii и rik																															в уравнение (5.51), имеем:
(18 + 4ϕ2 (ν1 )) (1,5 + 0,75η2 (ν1 )− 0,125(0,8611ν1 )2 +																																														(5.52)
+ 0,1875η (0,8229ν							))− (3 −1,5ϕ									(ν		))2 = 0																												(5.52)
+ 0,1875η (0,8229ν					1		))− (3 −1,5ϕ								4	(ν	1	))2 = 0
	1				1										4		1

Для решения равенства (5.52) следует отыскать такое значение ν1 , при

116

котором это равенство удовлетворяется.

Для сокращения числа попыток найдем нижнюю и верхнюю (условные) границы возможных значений ν1 , рассматривая два случая нагружения стойки 1 (рис. 5.30).

Нижняя граница (рис. 5.30а):

Верхняя граница (рис. 5.30б):

= π 2 EI1

=ν

EI1

4π 2 EI1

=ν 2

EI1

кр

4l 2

1 l 2

кр

l 2

1 l 2

откуда ν1

=1,57.

откуда

ν1 = 2π = 6,28.

а)	б)
P		Pкр
P		Pкр
кр

Рис. 5.30

После ряда попыток находим ν1 = 3,2065. По таблице (5.3) находим:

η2	(3,2065)= −0,04229;	η1(0,8229 3,2065)=η1(2,639)= −1,9212;
ϕ2	(3,2065)= 0,59775;	ϕ4 (3,2065)= 0,81446.

Подставляя в уравнение (5.52), имеем:

(18 + 4 0,59775)(1,5 + 0,75(− 0,04229)− 0,125(0,8611 3,2065)2 + 0,1875 (−1,9212))−

− (3 −1,5 0,81446)2 = 0,00002 ≈ 0.

Таким образом, уравнение (5.52) удовлетворяется при ν1 = 3,2065 и зна-

чения критических сил в стойках рамы будут:


Pкр =ν 2		EI1	=	3,20652	EI = 0,6426EI;
Pкр =ν 2			=	42	EI = 0,6426EI;
1	1 l 2			42
	1

117


Pкр =ν 2		EI2	=	(0,8611 3,2065)2	2EI = 0,9530EI;
				42
2	2 l22
Pкр =ν 2		EI3	=	(0,8229 3,2065)2	EI = 0,4351EI.
				42
3	3 l32

Для проверки найдем соотношения между найденными критическими

силами:
	Pкр		0,6426EI		Pкр		0,9530EI
	1	=		=1,477;	2	=		= 2,19,
	Р3кр	=	0,4351EI	=1,477;	Р3кр	=	0,4351EI	= 2,19,
	Р3кр		0,4351EI		Р3кр		0,4351EI

что соответствует условию задачи.

118

Таблица 5.3 Значение функций метода перемещений для сжато-изогнутых стержней

					η1 (v)
v	ϕ1 (v)	ϕ2 (v)	ϕ3 (v)	ϕ4 (v)	η1 (v)	η2 (v)
0,00	1,00000	1,00000	1,00000	1,00000	1,00000	1,00000
0,01	0,99999	1,00000	1,00000	1,00000	0,99996	0,99999
0,02	0,99997	0,99999	1,00001	0,99999	0,99984	0,99996
0,03	0,99994	0,99997	1,00001	0,99998	0,99964	0,99991
0,04	0,99989	0,99995	1,00003	0,99997	0,99936	0,99984
0,05	0,99983	0,99992	1,00004	0,99996	0,99900	0,99975
0,06	0,99976	0,99988	1,00006	0,99994	0,99856	0,99964
0,07	0,99967	0,99984	1,00008	0,99992	0,99804	0,99951
0,08	0,99957	0,99979	1,00011	0,99989	0,99744	0,99936
0,09	0,99946	0,99973	1,00014	0,99986	0,99676	0,99919
0,10	0,99933	0,99967	1,00017	0,99983	0,99600	0,99900
0,11	0,99919	0,99960	1,00020	0,99980	0,99516	0,99879
0,12	0,99904	0,99952	1,00024	0,99976	0,99424	0,99856
0,13	0,99887	0,99944	1,00028	0,99972	0,99324	0,99831
0,14	0,99869	0,99935	1,00033	0,99967	0,99216	0,99804
0,15	0,99850	0,99925	1,00038	0,00062	0,99100	0,99775
0,16	0,99829	0,99915	1,00043	0,99957	0,98976	0,99744
0,17	0,99807	0,99904	1,00048	0,99952	0,98844	0,99711
0,18	0,99784	0,99892	1,00054	0,99946	0,98704	0,99676
0,19	0,99759	0,99880	1,00060	0,99940	0,98556	0,99639
0,20	0,99733	0,99867	1,00067	0,99933	0,98400	0,99600
0,21	0,99706	0,99853	1,00074	0,99926	0,98236	0,99559
0,22	0,99677	0,99839	1,00081	0,99919	0,98064	0,99516
0,23	0,99647	0,99824	1,00088	0,99912	0,97883	0,99471
0,24	0,99615	0,99808	1,00096	0,99904	0,97695	0,99424
0,25	0,99583	0,99791	1,00104	0,99896	0,97499	0,99375
0,26	0,99548	0,99774	1,00113	0,99887	0,97295	0,99324
0,27	0,99513	0,99757	1,00122	0,99878	0,97083	0,99271
0,28	0,99476	0,99738	1,00131	0,99869	0,96863	0,99216
0,29	0,99438	0,99719	1,00141	0,99860	0,96635	0,99159
0,30	0,99398	0,99700	1,00150	0,99850	0,96398	0,99100
0,31	0,99358	0,99679	1,00161	0,99840	0,96154	0,99039
0,32	0,99315	0,99658	1,00171	0,99829	0,95902	0,98976
0,33	0,99272	0,99636	1,00182	0,99818	0,95642	0,98911
0,34	0,99227	0,99614	1,00193	0,99807	0,95373	0,98844
0,35	0,99180	0,99591	1,00205	0,99796	0,95097	0,98775
0,36	0,99133	0,99567	1,00217	0,99784	0,94813	0,98704
0,37	0,99084	0,99543	1,00229	0,99772	0,94520	0,98631
0,38	0,99034	0,99518	1,00242	0,99759	0,94220	0,98556
0,39	0,98982	0,99492	1,00255	0,99746	0,93912	0,98479
0,40	0,98928	0,99466	1,00268	0,99733	0,93595	0,98400
0,41	0,98874	0,99438	1,00282	0,99719	0,93271	0,98319
0,42	0,98818	0,99411	1,00296	0,99706	0,92938	0,98236
0,43	0,98761	0,99382	1,00310	0,99691	0,92597	0,98151
0,44	0,98702	0,99353	1,00325	0,99677	0,92249	0,98064
0,45	0,98642	0,99323	1,00340	0,99662	0,91892	0,97975

119

					η1 (v)
v	ϕ1 (v)	ϕ2 (v)	ϕ3 (v)	ϕ4 (v)	η1 (v)	η2 (v)
0,46	0,98581	0,99293	1,00355	0,99647	0,91527	0,97883
0,47	0,98518	0,99262	1,00371	0,99631	0,91155	0,97790
0,48	0,98454	0,99230	1,00387	0,99615	0,90774	0,97695
0,49	0,98388	0,99197	1,00403	0,99599	0,90385	0,97598
0,50	0,98321	0,99164	1,00420	0,99583	0,89988	0,97499
0,51	0,98253	0,99130	1,00437	0,99566	0,89583	0,97398
0,52	0,98183	0,99095	1,00454	0,99548	0,89170	0,97295
0,53	0,98112	0,99060	1,00472	0,99531	0,88749	0,97190
0,54	0,98040	0,99024	1,00490	0,99513	0,88320	0,97083
0,55	0,97966	0,98988	1,00509	0,99495	0,87882	0,96974
0,56	0,97890	0,98950	1,00528	0,99476	0,87437	096863
0,57	0,97814	0,98912	1,00547	0,99457	0,86984	0,96750
0,58	0,97735	0,98874	1,00567	0,99438	0,86522	0,96635
0,59	0,97656	0,98834	1,00586	0,99418	0,86053	0,96518
0,60	0,97575	0,98794	1,00607	0,99398	0,85575	0,96398
0,61	0,97493	0,98754	1,00627	0,99378	0,85089	0,96277
0,62	0,97409	0,98712	1,00648	0,99358	0,84595	0,96154
0,63	0,97323	0,98670	1,00670	0,99337	0,84093	0,96029
0,64	0,97237	0,98627	1,00691	0,99315	0,83583	0,95902
0,65	0,97149	0,98584	1,00713	0,99294	0,83065	0,95773
0,66	0,97059	0,98540	1,00736	0,99272	0,82539	0,95642
0,67	0,96968	0,98495	1,00759	0,99249	0,82005	0,95509
0,68	0,96876	0,98449	1,00782	0,99227	0,81462	0,95373
0,69	0,96782	0,98403	1,00805	0,99204	0,80912	0,95236
0,70	0,96687	0,98356	1,00829	0,99180	0,80353	0,95097
0,71	0,96590	0,98308	1,00853	0,99157	0,79786	0,94956
0,72	0,96492	0,98260	1,00878	0,99133	0,79212	0,94813
0,73	0,96392	0,98211	1,00903	0,99108	0,78629	0,94668
0,74	0,96291	0,98161	1,00928	0,99084	0,78037	0,94520
0,75	0,96188	0,98111	1,00954	0,99059	0,77438	0,94371
0,76	0,96084	0,98060	1,00980	0,99033	0,76831	0,94220
0,77	0,95979	0,98008	1,01007	0,99008	0,76215	0,94067
0,78	0,95872	0,97956	1,01033	0,98982	0,75592	0,93912
0,79	0,95763	0,97902	1,01061	0,98955	0,74960	0,93754
0,80	0,95653	0,97849	1,01088	0,98928	0,74320	0,93595
0,81	0,95542	0,97794	1,01116	0,98901	0,73672	0,93434
0,82	0,95429	0,97739	1,01144	0,98874	0,73015	0,93271
0,83	0,95314	0,97683	1,01173	0,98846	0,72351	0,93105
0,84	0,95198	0,97626	1,01202	0,98818	0,71678	0,92938
0,85	0,95081	0,97569	1,01232	0,98790	0,70997	0,92769
0,86	0,94962	0,97510	1,01261	0,98761	0,70308	0,92597
0,87	0,94841	0,97452	1,01292	0,98732	0,69611	0,92424
0,88	0,94719	0,97392	1,01322	0,98702	0,68906	0,92249
0,89	0,94595	0,97332	1,01353	0,98672	0,68192	0,92071
0,90	0,94470	0,97271	1,01385	0,98642	0,67470	0,91892
0,91	0,94344	0,97209	1,01416	0,98612	0,66740	0,91711
0,92	0,94216	0,97147	1,01449	0,98581	0,66002	0,91527
0,93	0,94086	0,97084	1,01481	0,98550	0,65256	0,91342
0,94	0,93955	0,97020	1,01514	0,98518	0,64501	0,91155

120

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1912 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.11.201925.44 Mб4Стр. 3-6 (Стр24-25).doc
#
08.11.20192.04 Mб0стр.7-15.doc
#
08.05.201979.87 Кб2Страховое дело.doc
#
31.05.20151.2 Mб54Строит теплотехника ТКП 45-2_04-43-2006.doc
#
31.05.201510.86 Mб135Строительная механика учебник.pdf
#
31.05.20153.84 Mб571Строительная механика.pdf
#
25.09.20195.54 Mб46строительные конструкции (1-50).doc
#
31.05.20151.15 Mб220Строительные материалы Метода.pdf
#
01.12.201836.17 Mб392Строительные_чертежи_заочники.doc
#
31.05.201530.66 Кб26строймат(64-77).docx
#
31.05.201516.9 Mб47СУБД_лабы 1-10.doc