DIF_calc_2013

Показательная функция y = ax при a > 1 непре-

рывна и монотонно возрастает на R (рис. 50). Это вытекает из следствия 9.13.1:

lim ax = ax0

Этот Рисже .результат50. можно получить из асимптотической оценки при x → 0: y = ax0+Δx − ax0 = ax0 (a x − 1) = ax0 ln a x + o(Δx),

поскольку

lim [ax0 ln a x + o(Δx)] = 0.

x→x0

Очевидно, что при a < 1 показательная функция y = ax непрерывна и монотонно убывает на R.

V. Гиперболические функции

Их непрерывность, согласно теореме 9.9, непосредственно вытекает из непрерывности показательной функции, поскольку все они рационально выражаются через ex (рис. 51):

Из определения гиперболических функций следует, что ряд их свойств «аналогичен» свойствам тригонометрических, например

sh(x + y) = sh x ch y + ch x sh y, ch(x + y) = ch x ch y + sh x sh y, ch2 x − sh2 x = 1,

и т.д.

Рис. 51.

♦ Само название «гиперболические» объясняется тем, что уравнения x = a ch t, y = b sh t можно рассматривать как параметрические уравнения (см. [11]) гиперболы x2/a2 − y2/b2 = 1, тогда как уравнения x = a cos t, y = b sin t которые задают эллипс x2/a2 + y2/b2 = 1.

Решение. Поскольку все значения аргумента, при которых следует вычислить пределы, принадлежат областям определения этих функций, то соответствующие пределы равны значениям функций в этих точках.

Пример 12.16. Показать справедливость представления показательной функ-

ции

ex = lim 1 + x n.

n→∞ n

Решение. Исходное выражение под знаком предела при x = 0 можно представить в виде

Так как при n → ∞ x/n → 0, то выражение в квадратных скобках стремится к e, но тогда в силу непрерывности степенной функции (при фиксированном x) все выражение имеет своим пределом ex.

Пример 12.17. Вычислить предел

A = lim x4/(4+ln x). x→0

Решение. Имеем неопредел¨енность вида (00). Логарифмическая функция непрерывна, поэтому неопредел¨енность можно привести к виду (0 · ∞). Действительно,

откуда A = e4.

Пример 12.18. Вычислить пределы из примера 10.13.

Решение. Функция y = ln x непрерывна, поэтому предел

т.е. A3 = e−1.

ГЛАВА 4

Дифференциальное исчисление

13.Производная и дифференциал функции одной переменной

13.1.Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной, е¨ геометрическое и механическое толкования

Известно, что методы элементарной математики не применимы к решению ряда задач. Так, можно вычислить среднюю скорость неравномерного движения в заданный промежуток времени, но невозможно методами элементарной математики найти мгновенную скорость в произвольный момент времени.

Изучение производной, или скорости изменения функции (правила дифференцирования, свойства производной), и составляет предмет дифференциального исчисления.

Рассмотрим задачи из физики и геометрии, приводящие к понятию производной, а затем дадим определение производной и выясним е¨ механический и геометрический смысл.

Мгновенная скорость неравномерного прямолинейного движения

Пусть материальная точка движется по прямой из начального положения O (рис. 53) и за время t проходит путь S. Очевидно, что пройденный путь S есть функция времени:

Рис. 53.

При равномерном движении точки е¨ скорость за промежуток времени t постоянна и равна средней скорости

Если же точка движется неравномерно, то средняя скорость не совпадает со скоростью в данный момент времени t.

С уменьшением промежутка времени t отклонение vcp = S/ t от скорости в момент t уменьшается. Истинная скорость движения точки в момент t определяется как предел

Этот предел, если он существует, называется скоростью движения в данный момент времени или мгновенной скоростью.

Пример 13.1. Найти скорость равномерно ускоренного движения в произвольный момент времени t и в момент t = 3 с, если зависимость пути от времени выражается формулой S = gt2/2. Здесь g — ускорение свободного падения.

Решение. В момент времени t пройденный путь S = gt2/2, а в момент времени

В момент времени t = 3 с имеем v(3) = gt t=3 = 3g ≈ 3 · 9,8 = 29,4 м/с.

Пример 13.2. При нагревании тела его температура T изменяется в зависимости от времени нагрева t по закону T = ln(1 + t). С какой скоростью нагревается тело в момент t1 = 5 с.

Касательная к кривой в данной точке. Угловой коэффициент касательной

Касательной к кривой в точке M этой кривой называется предельное положение секущей, проходящей через точку M и отличную от не¨ точку M1 кривой, когда точка M1 стремится по кривой к точке M.

будет стремиться по кривой к точке M, секущая M1MC – к касательной N1MN, а угол ϕ – к углу α, который образует касательная к кривой в данной точке M с положительным направлением оси Ox. Угловой коэффициент касательной определяется соотношением

Можно написать уравнения касательной и нормали к кривой y = f(x) в точке

M1(x1, y1):

Производная функции одной переменной

Теперь дадим определение производной данной функции y = f(x), заданной на интервале ]a, b[.

Производной данной функции y = f(x) по аргументу x называется предел

если он существует и конечен.

Из определения следует правило нахождения производной функции: чтобы найти производную функции y = f(x), нужно

Производную данной функции y = f(x) обозначают символами f (x) или y (по Лагранжу), или df/dx, dy/dx (по Лейбницу).

Пример 13.3. Найти производную от функции y = x3 в произвольной точке x и в точке x = 2. Написать уравнения касательной и нормали в этой точке.

или y = (x3) = 3x2 — производная от функции y = x3.

есть скорость в момент t. Следовательно, S = dS/dt = v, т.е. производная от пути по времени есть скорость v точки, движущейся по прямой. Таков механический смысл производной. В общем случае производная есть скорость изменения функции в точке.

В задаче о касательной мы нашли, что

т.е. значение производной y при данном значении аргумента x равно тангенсу угла, образованного касательной к кривой y = f(x) в соответствующей точке M(x, y) и положительным направлением оси Ox. Таков геометрический смысл

Процесс вычисления производной от функции y = f(x) называется дифференцированием этой функции.

y = a имеют производные в каждой точке x R, прич¨ем

1)y = (C) = 0;

2)y = (xn) = nxn−1, в частности при n = 1 y = x = 1;

3)y = (sin x) = cos x;

4)y = (cos x) = − sin x;

5)y = (ax) = ax ln a, в частности y = (ex) = ex при a = e.

Решение. Выше было показано, что все указанные функции определены и непрерывны в каждой точке x R. Следуя определению производной, имеем:

1) y = C, где C — постоянная, тогда y = C − C = 0 и поэтому

2) y = xn, где n N, тогда, как было показано выше (см. формулу (12.22)),

тогда при x → 0

y = (− sin x)Δx + o(Δx)

и, следовательно,

5)y = ax: как показано в разд. «Непрерывность функции одного аргумента», при x → 0

y = ax+Δx − ax = ax(a x − 1) = (ax ln a)Δx + o(Δx),