DIF_calc_2013

Если определение (11.10) выполняется для всех точек некоторого множества

E, то функцию α(x) называют ограниченной по сравнению с функцией β(x) на этом множестве и пишут

Как и в предыдущем случае, для того чтобы установить связь между ограниченной функцией и функцией, ограниченной относительно другой функции, обратимся к определению ограниченной функции. Функция h(x) является огра-

ниченной на множестве (или ˙ ( )), если

E S a, δ

С уч¨етом этого определение (11.10) для функции α(x), ограниченной по сравнению с функцией β(x), можно записать в виде

Если в качестве функции β(x) выбрать некоторую постоянную: β(x) = C, и в частности C = 1, то из (11.17) следуют соотношения

являющиеся определением ограниченной функции α(x) на E. Это означает, что ограниченные функции можно рассматривать как функции, ограниченные по сравнению с постоянными, и в частности с функциями β(x) = 1:

Наряду с этим следует иметь в виду, что функции α(x) и β(x), фигурирующие в соотношении (11.11), могут так же быть бесконечно большими или бесконечно малыми, как и в формулах (11.13).

Таким образом, мы ввели в рассмотрение три типа оценок отношения двух функций α(x) и β(x):

Соотношения вида (11.20) называются асимптотическими формулами или

асимптотическими оценками.

Сами символы , o малое и O большое были введены немецкими математиками П. Дюбуа-Реймоном (1870), П. Бахманом (1894) и Э. Ландау (1909) и в настоящее время известны под названием «символы Ландау».

Следует отметить, что равенства в асимптотических формулах (11.20), вообще говоря, не являются равенствами в обычном смысле. Так, например, символ o(x) служит для обозначения множества, или, как говорят, класса, функций, бесконечно малых более высокого порядка, чем x, при x → 0. Поэтому правильнее было

0

бы вместо x2 = o(x) писать x2 o(x). Однако вторая запись неудобна для применения при выполнении асимптотических оценок функций. Это же справедливо и для оценок асимптотического равенства и отношения ограниченности. Асимптотические равенства (11.19) следует читать только слева направо, поскольку правая часть их обозначает класс функций, а левая — какую-либо функцию из этого класса.

Пример 11.2. Какая из асимптотических оценок o(β) или O(β) является более «сильной»?

Решение. Оценка o(β) является более «сильной», так как, согласно определению,

a a

из выполнения α = o(β) следует выполнение α = O(β).

Пример 11.3. Для функций x2, x, 1, 1/x, 1/x2 записать асимптотические оценки ограниченности при x → 0 и x → ∞.

Решение. I. При x → 0 функции x2 и x являются бесконечно малыми, функция 1 — ограниченной, а 1/x и 1/x2 — бесконечно большими. Исходя из очевидных неравенств при |x| < 1, можем записать

II. При x → ∞ функции x2 и x являются бесконечно большими, функция 1 — ограниченной, а 1/x и 1/x2 — бесконечно малыми. Исходя из очевидных неравенств при |x| > 1, можем записать

Теперь от определения асимптотических оценок (11.19) перейд¨ем к более детальному их рассмотрению.

11.2.Асимптотические равенства. Таблица эквивалентности

Начнем с рассмотрения асимптотического равенства, или отношения эквивалентности.

Отношение эквивалентности функций (как и множеств) обладает свойством симметричности

4. Так как

cos x cos 3x = 2 sin x sin 2x 0 x x x2. − 2 · 2 = 4

Кроме того, соотношения эквивалентности, привед¨енные в таблице (11.26), останутся справедливыми при x → a, если заменить в них x на функцию γ(x) такую, что γ(x) → 0 при x → a:

Теорема 11.2 (критерий эквивалентности функций). Для того чтобы функции α(x) и β(x) были эквивалентными при x → a, необходимо и доста-

α(x) = β(x) + β(x)h1(x),

где

lim h1(x) = 0.

x→a

Выбрав одну из них, в зависимости от условий x → 0, x → a или x → ∞, и возведя е¨ в различные степени, получим шкалу для оценки других, более сложных функций, включая ограниченные, бесконечно малые и бесконечно большие.

Считая β(x) = x эталонной функцией при x → 0, таблицу эквивалентности (11.26) с помощью теоремы 11.2 можно записать в виде

Все функции в этой таблице, за исключением последних двух, имеют первый порядок малости при x → 0 относительно функции x и, следовательно, относительно друг друга. Две последние функции имеют второй порядок малости относительно x, а значит, и всех остальных функций.

Пример 11.8. Определить порядок функций

относительно друг друга при x → 0.

Решение. Таблица эквивалентности (11.27) позволяет определить порядки этих функций при x → 0 относительно γ(x) = x. Действительно,

Таким образом, наименьший порядок малости p1 = 5/6 имеет функция α1(x), а наибольший p3 = 3 — функция α3(x).

Поскольку функции α4(x) и x одного порядка:

0

x α4(x),

то порядок функции x относительно α1(x) равен p = 6/5, а тогда

♦ Аналогичным образом в любой паре функций можно определить порядок малости одной из функций относительно другой.

Пример 11.9. Показать, что для функции sin(π/4 − x) при x → π/4 и x → 0 справедливы асимптотические оценки

Во втором случае, при x → 0, после тригонометрических преобразований получим

♦ Отметим, что не все бесконечно малые можно сравнивать по порядку малости.

Пример 11.10. Определить порядок функций ln x и ex относительно x при x →

+∞.