DIF_calc_2013

x2m+2

r2m+1(x) = (−1)m+1 cos θx(2m + 2)!;

4. f(x) = (1 + x)μ (степень μ = 0, 1, 2, . . . , поскольку в этом случае разложение имеет вид бинома Ньютона).

где

тогда для 0 x 1 справедлива оценка

1

|rn(x)| 1 + n,

так как множитель x/(1 + θx) не превосходит единицы. При x < 0 оценить поведение этого множителя сложнее и можно воспользоваться формой Коши

rn(x) = (−1)nxn+1 (1 − θ)n. (1 + θx)n+1

Тогда

|x|n+1 1 − θ n

|rn(x)| 1 − |x| 1 + θx ,

прич¨ем для −1 < x < 0

|x|n |rn(x)| 1 − |x|,

так как множитель |1 − θ|/|1 + θx| не будет превосходить единицы, поскольку в этом случае 1 + θx > 1 − θ.

Таким образом, для |x| < 1 справедлива оценка

♦ Помимо рассмотренной выше можно рассмотреть задачу об определении области D, в которой полином Тейлора заменяет исходную функцию при заданном числе слагаемых n с погрешностью rn.

Например, при n = 1 для того, чтобы sin x ≈ x с погрешностью меньше 0,001, согласно (17.19), должно выполняться условие |x3/6| < 0, 001 или |x| < 0, 1817. При использовании двучленной формулы (n = 2) для того, чтобы sin x ≈ x − x3/6 с той же точностью, необходимо выполнение условия |x5|/(120) < 0,001 или |x| < 0,6544 (что соответствует примерно 37◦) и т.д.

Итак, формула Тейлора допускает аппроксимацию функции f(x) в окрестности точки x0 с погрешностью, определяемой остаточным членом rn(x, x0), который можно представить в различных формах. В тех случаях, когда требуется аппроксимация функции f(x) непосредственно в точке x0 (так называемая «локальная аппроксимация», когда x − x0 → 0), то используется ещ¨ одна форма остаточного

члена — форма Пеано. Если n+1-я производная f(n+1)(x) ограничена при x → x0, то остаточный член rn(x, x0) при x → x0 есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с (x − x0)n и его можно записать в виде

k=0

Решение. Имеем неопредел¨енность вида (0/0). Согласно правилу Лопиталя,

Пример 18.3. Исследовать на дифференцируемость в точке x = 0 функцию

Возникает неопредел¨енность вида (0/0). Трехкратное применение правила Лопиталя да¨ет

Следовательно, f(x) дифференцируема в точке x = 0, прич¨ем f (0) = −1/12.

Раскрытие неопредел¨енностей вида ∞/∞

Для раскрытия неопредел¨енностей такого вида правило Лопиталя применимо, если

1)функции f(x) и ϕ(x) определены в проколотой окрестности точки a;

2)lim f(x) = ∞, lim ϕ(x) = ∞;

3)в проколотой окрестности точки a существуют конечные производные f (x) и ϕ (x), прич¨ем ϕ (x) = 0;

4)существует (конечный или бесконечный) предел

lim f (x) .

x→a ϕ (x)

Тогда существует и предел отношения самих функций при x → a, равный пределу отношения их производных

если последний предел существует.

Решение. Имеем неопредел¨енность вида (∞/∞). Применив правило Лопиталя n раз, получим

Таким образом, показательная функция ex возрастает быстрее x в любой положительной целой степени при x → ∞, а логарифмическая функция ln x возрастает медленнее x в любой положительной степени. Этот же вывод следует из результатов примера 10.4, в котором пределы A1 и A2 найдены более громоздким способом, основанным на определении предела.

Пример 18.5. Найти

A1 = lim ctg(x − 3). x→3 ln(x − 3)

Решение. Последовательно применение правила Лопиталя да¨ет

Привед¨ем пример, когда правило Лопиталя не применимо для раскрытия неопредел¨енностей вида 0/0 или ∞/∞.

Пример 18.6. Найти

lim x + sin x.

x→∞ x

Решение. Вычисление предела сводится к раскрытию неопредел¨енности вида ∞ − ∞. Действительно,

Пример 18.8. Найти lim xn ln x.

x→0

Решение. Вычисление предела сводится к раскрытию неопредел¨енности вида 0 · ∞. Действительно,

Раскрытие неопредел¨енностей вида 00, ∞0 и 1∞

Как и в предыдущем случае, неопредел¨енности таких видов сводятся к неопредел¨енностям вида (0/0) или (∞/∞). Этот результат уда¨ется получить как следствие непрерывности функции ex.

Пример 18.9. Вычислить

Для вычисления предела D напомним, что из примера 18.8 следует

Для второго предела A2 имеем неопредел¨енность вида ∞0: