Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Политехнический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

DIF_calc_2013

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.05.2015

Размер:

3.1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3330 31 32 33 > Следующая >>>

290

Индивидуальные задания

11.14. Найти производные указанных порядков

1) y = x2 − sin 5x, y =?;

2) y = etg ln sin x, y =?;

3) y =

4x + 7

, y(n) =?;

2x + 3

y = ln 3t,

dx2

y = t2

− t,

dy2

4) x = e3t,

d2y

=?;

x = 2

− t3,

d2x

=?.

11.15. Найти экстремумы функций

; 3) y = xe−x.

1) y =

− x2

− 3x; 2) y =

1 + x2

11.16. Найти наибольшее и наименьшее значения функций в указанных интервалах:

1) y = x4 + 4x, [−2; 2];

2) y = x − sin x, [0; 2π]; 3) y =

, [−6; 8].

100 − x2

11.17. Исследовать функции и построить их графики

1) y = e2x 1 ; 2) y =

; 3) y = x2−2 ln x; 4) y = nlim

1 + xn +

, x 0.

−

→∞

x + 16

11.18. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции

f(x) = x ln

3x − 1

3x − 9

11.19. Окно имеет форму прямоугольника, заканчивающегося полукругом. Периметр фигуры равен 15 м. При каком радиусе полукруга окно будет пропускать наибольшее количество света.

11.20. Вычислить указанные пределы, используя правило Лопиталя:

1) lim	(ex	−	x2); 2) lim (x	−	1)a/[ln 2(x−1)]; 3) lim	−	π − 2 arctg x	.
x→∞		−	x→1	−	x→∞	−	e3/x − 1

11.21. Построить эскиз графика по известным результатам аналитического исследования:

1)область определения X =] − ∞; 3[ ]3; ∞[;

2)вертикальные асимптоты: x = 3;

3)горизонтальные асимптоты: y = 0;

4)наклонные асимптоты: нет;

5)стационарные точки x = −2, x = 2, x = 5;

6)точки, где y = ∞: x = 0;

7) интервалы монотонности: а) возрастания: ] − ∞; −2[, ]0; 2[, ]2; 3[, ]3; 5[; б) убывания:

] − 2; 0[, ]5; ∞[;

8)интервалы выпуклости и вогнутости: а) выпуклости: ] − 3; 0[, ]0; 2[, ]3; 6[; б) вогнутости: ] − ∞; −3[, ]2; 3[, ]6; ∞[;

9)значения функции в некоторых точках: y(−3) = 1; y(−2) = 2; y(0) = −4; y(2) = 1; y(5) = 2; y(6) = 1.

11.22.Записать формулу для производной n-го порядка функции y = 7−2x и вы-

числить е¨ значение в точке x0 = 1. Представить функцию формулой Тейлора до n-го порядка в точке x0 = 1. Выписать остаточный член формулы Тейлора при n = 2, 3 в форме Лагранжа и в форме Коши.

Задания для самоконтроля

291

Вариант № 12

12.1. Исходя из определения предела, доказать, что

1) lim

4n − 3

= 2; 2)

lim

9x2 − 1

−

→∞

2n + 1

→−

1/3 x + 1/3

При ε = 0,01 найти N(ε) для предела последовательности и δ(ε) для предела функции.

12.2. Найти пределы

√

(

−

(

−

n!n

5n + 2 −

+ 5 ;

(4k

lim

;

lim

k=1

;

√

→∞ n! + (n + 1)!

→∞

n + 7

−

→∞

+ 1 +

+ n + 1

1 + 2 sin x

+ 4x

+ 2x

lim

;

5) lim

− 3x −

;

lim

− 1

;

x→π/6

1 − tg 2x

x→1

x2 − 4x + 3

x→∞

x2 + 1

7) lim

√

x2 + 9

− 3

;

lim

x ;

lim

1 − 3 sin2 x

;

x→0

√x + 4 − 2

x→∞ x

+ 1 −

x→π/6

cos 3x(x+1)/2

;

10)

x→0

sin 2x

;

11)

x→0 32

(1 − cos x)2 ;

12)

x→∞ x − 2

lim

arctg x

lim

sin x

lim

x + 5

13) lim x(2

1);

14) lim

cos x;

15) lim x

;

x→0

1/x

−

x→0

x√

−

x→0

3/(4+ln x)

16)

n→∞

· ·9·

;

17)

n→∞ 1 + cos2

[π√n2

+ n] .

lim

(2n

−

lim

· · ·

12.3. Вычислить предел функции

6x − 1

f(x) = 2x sin

πx

вточке x0 = 1/6 или показать, что он не существует.

12.4.Записать асимптотическую оценку функций

1) f(x) = 3 1 + x2 − 1; 2) f(x) = cos x − cos3 x

при x → 0 и определить порядок первой бесконечно малой относительно второй.

12.5.Исходя из определения, доказать, что функция f(x) = 4x2 − 1 непрерывна в точкеточке.x0 = 6; найти δ(ε) при ε = 0,1. Показать, что функция непрерывна в произвольной

12.6.Исследовать на непрерывность функции

1) y =	1 − x,	если 0 < x 2;	2) y =	1/(1 x2) ;	3) y =	1	1 x .
	cos x,	если x 0;	1 + 2	−	\|		− \|
	x2,	если x > 2;	1 + 2	−	\|		− \|
				1

12.7. Найти производные следующих функций:

x5 + 8x3 + 128

;

√

x);

y =

√

y =

√

ln(

2 tg

8 − x3

y =

(1 + x) arctg

√

;

y = 3x + 5;

y = −

12 sh2 x + 1

;

y = (tg x)ln tg x;

3 sh 3x

sin x

10) ex+y

= sin

− 3;

11)

xy = −

;

sin y

y = 1/(1 + et);

y = 1/ cos2 t;

13) x = 1 − e−t,

14)

x = ln ctg t,

3) y = ln 13 + cossin 2346xx ;

6) y = (x2 + x)sin 5x;

9) y = (x3 − 3) ln tg √x;

12)ln(x − y3) = arcsin x;

√

15)x = √t,

y = 3 t − 1.

292	Индивидуальные задания

12.8.Найти значения производной в точке x = x0:

1)y = esin x(x − cos x), x0 = 0; 2) y = ln(2x − 3) + 4x2 − 12x, x0 = 32 .

12.9.Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке x0:

1) y =

(arcsin x

−

x), x

= 0;

2) y =

sin 3x ln 5 − 3 cos 3x

, x

= 1.

9 + ln 5

12.10.Выяснить, в какой точке кривой y = 4x2 − 10x + 13 касательная параллельна прямой y = 3x + 4.

12.11.Найти первый dy и второй d2y дифференциалы функций

1) y = 3

2) y = √x sin(sin x); 3) y = ex ctg 3x.

x − 2 ;

+ 2

12.12. Вычислить приближенно y = √

, x = 2,56.

x + 1

12.13. Показать, что функция y =

удовлетворяет уравнению x(x3 + 1)y +

x3 + 1

x3 − 2

(2x3

−

1)y =

12.14. Найти производные указанных порядков

1) y = ln arcsin √

x, y =?;

2) y = ln x

−

x3, y =?; 3) y = sin 2x + cos(x + 1), y(n) =?;

'x =

=?;

5) y = 5 sin t,

=?.

dy2

dx2

y = t

d2x

d2y

1 ,

x = 3 cos t,

−

12.15. Найти экстремумы функций

1) y = 2x + 3√x2;

2) y = (x − 2)(8 − x) ;

3) y = x ln x.

12.16. Найти наибольшее и наименьшее значения функций в указанных интервалах:

1) y = 81x

−

x4, [ 1; 4];

2) y =

4 − x2

, [

1; 3]; 3) y = 2 sin x

−

sin 2x,

π .

4 + x2

−

12.17. Исследовать функции и построить их графики

1) y = x2/3e−x; 2) y =

; 3) y =

2x − 1

;

(x − 1)2

ex − 1

4) y = lim (1 + x)(1 + x2) · · · (1 + x2n), |x| < 1.

n→∞

12.18. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции

2x − 8 f(x) = ln 8x − 2 .

12.19.Периметр кругового сектора равен 20 см. Определить радиус, при котором площадь сектора будет наибольшей.

12.20.Вычислить указанные пределы, используя правило Лопиталя:

x→α ln(x − α)			x→1 x − 1		− x2 − 1	x→π/4
1) lim	ctg(x − α)	;	2) lim	1	2	; 3) lim (tg x)tg 2x.

12.21. Построить эскиз графика по известным результатам аналитического исследования:

Задания для самоконтроля

293

1)область определения X =] − ∞; −1[ ] − 1; 1[ ]1; ∞[;

2)вертикальные асимптоты: x = −1, x = 1;

3)горизонтальные асимптоты: нет;

4)наклонные асимптоты: y = x (x → ±∞);

5)стационарные точки x = −2, x = 0, x = 2;

6)точки, где y = ∞: x = −3, x = 3;

7)интервалы монотонности: а) возрастания: ] − ∞; −3[, ] − 2; −1[, ]1; 2[, ]3; ∞[; б) убывания: ] − 3; 2[, ] − 1; 1[, ]2; 3[;

8)интервалы выпуклости и вогнутости: а) выпуклости: ]0; 1[, ]1; 3;, ]3; ∞[; б) вогнутости: ] − ∞; −3[, ] − 3; −1[, ] − 1; 0[;

9)значения функции в некоторых точках: y(−3) = −1; y(−2) = −3; y(0) = 0; y(2) = 3; y(3) = 1.

12.22.Записать формулу для производной n-го порядка функции y = sin(3x − π/6)

ивычислить е¨ значение в точке x0 = π/4. Представить функцию формулой Тейлора до n-го порядка в точке x0 = π/4. Выписать остаточный член формулы Тейлора при n = 2, 3 в форме Лагранжа и в форме Коши.

Вариант № 13

13.1. Исходя из определения предела, доказать, что

lim

4n2 + 1

;

lim

6x2 + x − 1

−

→∞

3n2 + 2 3

→−

1/2 x + 1/2

При ε = 0,01 найти N(ε) для предела последовательности и δ(ε) для предела функции.

13.2. Найти пределы

− n

3) n→∞

1) n→∞ n + √n2

+ 1 ; 2)

n→∞

;

√n7 + 1

n(n4 + 1)

n (2n + 1)!!

lim

√n2 + 1

lim

√1 + x2 − x2

;

2x3 − 3x2 + x + 6 ;

lim

lim 4x3 + x2 − x + 1 ;

x→1

x→−1

2 ctg(πx/4)

(√

−

√

x→∞

2x3 + 3x2

−

− 1

;

sin 3x

;

lim

√

lim

−

7x + 3)

lim

→

x + 8 −

→−∞

−

→

0 sin 6x

−

(x2

+1)/3x

→

2 sin x

→

cos(3 + x) − cos(3 − x)

→∞

10)

lim

1 + cos πx

;

11) lim

;

12)

lim

+ 4

;

tg2 πx

sin x

13) lim

− 1

;

14) lim (3

−

2 cos x)− cosec2 x;

15) lim xsin x;

→

(n + 4)!

(n + 2)!

→

√ 2

−

16)

lim

;

17)

lim 2sin[π

n +1].

(n + 3)!

n→∞

13.3. Вычислить предел функции

+ 1 sh x − 3

f(x) = x2

2x + 1

вточке x0 = 3 или показать, что он не существует.

13.4.Записать асимптотическую оценку функций

√x tg x)

1) f(x) = arcsin √x2; 2) f(x) = ln(1 +

при

→

и определить порядок первой бесконечно малой

относительно второй.

непрерывна в

13.5. Исходя из определения, доказать, что функция f(x) = 4x

+ 4

точкеточке.x0 = 9; найти δ(ε) при ε = 0,1. Показать, что функция непрерывна в произвольной

294

Индивидуальные задания

13.6. Исследовать на непрерывность функции

1) f(x) =

x + 1,

если 0 x 4;

2) y = 1

31/(x+2);

3) y =

2 .

x −

если x < 0;

2 + √x,

если x > 4;

−

− 4

13.7. Найти производные следующих функций:

y =

√

(1 + x)

cos2 5x

1 − x2

;

y = log

;

y = tg3

;

3x3

√

1 − x

−

tg 3

arccos x −

√

x; 5) y = x

6) y = 2 5 ;

4) y = 3

;

2 + x

arctg x

1 + 8 ch2 x ln2 4x

;

8) y = x2x4x;

9) y = x ln cos

;

y =

√

2 ch2 x

10) ex + ey = 2xy + 1;

11) x2 sin y + cos x = cos 2y; 12) y5 + x2 = ln

;

13)

'x = t , 4

14)

y = √et + 1;

15)

y = cos(t −

1).

−

y = 1 + t ;

x = arctg et/2,

x = tg2

1),

13.8. Найти значения производной в точке x = x0:

√

− x, x

1) y = 4 sin 4x + ln 3 cos 4x, x

= 0;

2) y = ln

x2 + 1

= 0.

√x2 + 1 + x

13.9. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке x0:

1) y = arcsin(e−5x), x0 = 0;

2) y =

ex cos x, x0 = 0.

13.10.Выяснить, в какой точке кривой y = 7x2 −5x+4 касательная перпендикулярна

кпрямой 23y + x − 1 = 0.

13.11.Найти первый dy и второй d2y дифференциалы функций

	√		−	1	tg x;		cos3(1 − x)	; 3) y = etg[x/(1−x)].
1) y =		ctg x				2) y =
				3			1 − x2

√

13.12. Вычислить приближенно y = 1/ x, x = 4,16.

√

13.13. Показать, что функция y = 3 x − ln x − 1 удовлетворяет уравнению

3xy2y = 0.

13.14. Найти производные указанных порядков

1) y = (3 − x2) + ln2 x, y =?; 2) y = x − sin3(1 − 5x), y =?;
	x = √		,	d2y			x = t3 + 6,
		1 + t2
4)	y = arctg t,				=?;	5)	y = 1 − t2,
				dx2
13.15. Найти экстремумы функций
1) y = x2(x − 12)2;				2) y =		16		; 3) y =

						x(4 − x2)

3) y = 32x+3

d2x dy2 =?.

√

x ln x.

ln x + y3 −

, y(n) =?;

13.16. Найти наибольшее и наименьшее значения функций в указанных интервалах:

1) y = x3 − 3x + 1, [0; 2]; 2) y =	1		0;	π	;		x2
		x + cos x,				3) y =		, [−2; 3].
	2			2			x2 − 4

Задания для самоконтроля

295

13.17. Исследовать функции и построить их графики

x + 1

+ 3); 4) y = n→∞ cos

· · · cos

1) y = 4x − 3 ;

2) y = x − 1

; 3) y = ln(2x

2 cos

2n .

lim

13.18. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции

f(x) = x2 − 4x + 3 4−1/(x+2). x + 3

13.19.Решеткой длиной 100 м нужно огородить прилегающую к дому прямоугольную площадку наибольшей площади. Определить размеры этой площади.

13.20.Вычислить указанные пределы, используя правило Лопиталя:

1) x

→

x(x

−

→

√2

−sin2 x

→

√1 + cos x

lim

; 2)

lim

;

3) lim (e2x + x).

13.21. Построить эскиз графика по известным результатам аналитического исследо-

вания:

область определения X =] − ∞; −1[ ] − 1; ∞[;

вертикальные асимптоты: x = −1;

горизонтальные асимптоты: нет;

наклонные асимптоты: y = −1/x + 1;

стационарные точки x = −2, x = 2, x = 0;

точки, где y = ∞: x = 1;

интервалы монотонности: а) возрастания: ] − 2; 2[, ]1; 2[; б) убывания: ] − ∞; −2[,

] − 1; 1[, ]2, ∞[;

8)интервалы выпуклости и вогнутости: а) выпуклости: ] − ∞; −3[, ]0; 1[, ]1; 3[; б) вогнутости: ] − 3; −1[, ] − 1; 0[, ]3, ∞[;

9)значения функции в некоторых точках: y(−3) = 1; y(−2) = 0; y(−3/2) = 1; y(0) = 0; y(1) = −2; y(2) = 1; y(3) = 0.

13.22.Записать формулу для производной n-го порядка функции y = ln(5x − 2) и

вычислить е¨ значение в точке x0 = 1. Представить функцию формулой Тейлора до n-го порядка в точке x0 = 1. Выписать остаточный член формулы Тейлора при n = 2, 3 в форме Лагранжа и в форме Коши.

Вариант № 14

14.1. Исходя из определения предела, доказать, что

lim

2n − 5

;

lim

3x2 + 5x − 2

−

→∞

3n + 1 3

→−

x + 2

При ε = 0,01 найти N(ε) для предела последовательности и δ(ε) для предела функции.

14.2. Найти пределы

√

lim

√x3

+ 1

sin 3x + 1

lim 3x4

+ 2x3 − x − 4

lim

(n+ 1)

− (n− 3)

lim

+ n

−

− 1

lim

1 + ... + (2n

− 1)

−

;

1) n

→∞

n + 1

; 2) n

→∞

; 3) n

→∞

n + 3

4) x

;

5) x

;

6) x

√

;

x + 1

− 5x + 4

π/6

→

→∞ x + x

+ 2

cos(x+1)/2

→

√1 + x3 − 1

→∞

−

→

7) lim

;

8) lim

;

lim

cos(x/2)

− sin(x/2)

;

x 0

3−

1 x + 1

x π/2

tg x−

10) lim

− cos 4x

;

11) lim

arctg(x/2)

;

12)

lim

x + 1

;

x→0

cos 8x

x→0 arcsin(x/2)

x→±∞ 2x

x→0

x→0 x

en − 1

13)

lim

−

;

14)

lim (cos x)1/ ln(1+sin2 x);

15)

lim

;

16)

n→∞

;

17)

n→∞

√

(2n + 1)!!

lim

lim 2cos[π

+1]

296		Индивидуальные задания
14.3. Вычислить предел функции
f(x) = x2 exp x − 3
	x

вточке x0 = 3 или показать, что он не существует.

14.4.Записать асимптотическую оценку функций

1) f(x) = ln cos x; 2) f(x) = sin( 1 + x2 − 1)

при x → 0 и определить порядок первой бесконечно малой относительно второй.

14.5.Исходя из определения, доказать, что функция f(x) = 5x2 + 3 непрерывна в точкеточке.x0 = 8; найти δ(ε) при ε = 0,1. Показать, что функция непрерывна в произвольной

14.6.Исследовать на непрерывность функции

1) f(x) =	x2,	если 0 < x 2;	2) y =		1/(x 1) ;		3) y =		2 .
	−x,	если x 0;			1				x
	x + 1,	если x > 2;
	x + 1,	если x > 2;		2 − 3		−		x	− 1

14.7. Найти производные следующих функций:

√

y =

x − 1(3x + 2)

;

y = log

log

tg x;

4x2

√

1 + x

29x+6

;

y =

2√

sin

y = x

y =

sh 3x

;

y = xctg 5x−6;

√ch 6x

10) x3 + ln y − x2ey = 0;

11) 2xy2 + sin

= 5;

x = arcsin(t2

1),

x = ctg(2et),

13)

y = arccos 2t;−

14)

y = ln tg et;

3) y = cos3 2x − sin 3; 3 sin x

√

6) y = 2arcsin 1−x;

9) y = x ln2(1 − e−x/2);

12)	cos(xy) − 2 =	x	;
12)	cos(xy) − 2 =	y3	;
	x = et cos t,
15)	y = et sin t.

14.8. Найти значения производной в точке x = x0:
	√
1) y = x + 8(1 + ex), x0	= 0; 2) y = ln √	2	+ sin x, x0 = 0.

	2		− sin x

14.9. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке x0

4		1			√

1) y = (3x − 2)	arcsin		, x0	= 1;	2) y = tg( 1 + x + 1), x0 = 0.
		3x − 2

14.10.Выяснить, в какой точке кривой y = x2/4 − 7x + 5 касательная параллельна прямой y = 2x + 5.

14.11.Найти первый dy и второй d2y дифференциалы функций

√

x ctg

√

1) y = 2x + ln sin x − 2 cos x; 2) y = arccos

1 − 3x +

;

3) y = e

√

, x = 1,78.

14.12. Вычислить приближенно y =

4x − 3

14.13. Показать, что функция y =

− 1 удовлетворяет уравнению xyy = −2/x2.

Задания для самоконтроля

297

14.14. Найти производные указанных порядков

1) y = x + cos x2, y =?;

2) y = cos 5x − sin 5x, y

=?;

3) y =

1 + x

, y(n) =?;

−

4) y = 3/t2,

dy2 =?;

5) y = 4 cos2 t,

dx2 =?.

x = 2/t,

d2x

x = 5 sin2 t,

d2y

14.15. Найти экстремумы функций

1) y = x3 + x2 + 3; 2) y =

x2 − 6x + 13

; 3) y = x2e−x.

x − 6

14.16. Найти наибольшее и наименьшее значения функций в указанных интервалах:

−

+ 7

−

y = x3(8

x), [0; 7]; 2)

y =

− 3

, [

3; 2];

y = sin 3x

3 sin x,

π .

14.17. Исследовать функции и построить их графики

x − 1

4x2

−

n→∞

x2n

1) y = ln

x + 1

; 2) y =

x3 − 1

;

3) y = e3x

x2 ;

4) y = lim

1 +

14.18. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции

f(x) = x2 + 4x + 2 23/(x−2). x − 2

14.19.В треугольник с основанием a и высотой h вписан прямоугольник наибольшей площади. Определить площадь прямоугольника.

14.20.Вычислить указанные пределы, используя правило Лопиталя:

1) x→0 x2		− sin2 x	x→0		−	x2			x→∞
lim	1	1	; 2) lim	1		cos x√	cos x	;	3) lim (1 + ex)tg(2/x).
lim			; 2) lim					;	3) lim (1 + ex)tg(2/x).

14.21. Построить эскиз графика по известным результатам аналитического исследования:

1)область определения X =] − ∞, ∞[;

2)вертикальные асимптоты: нет;

3)горизонтальные асимптоты: y = −1 (x → ∞), y = 0 (x → −∞);

4)наклонные асимптоты: нет;

5)стационарные точки x = −4, x = −2, x = 0, x = 2, x = 4;

6)точки, где y = ∞: x = −1, x = 1;

7)интервалы монотонности: а) возрастания: ] − ∞; −4[, ] − 2; −1[, ]0; 1[, ]2; 3[; б) убывания: ] − 2; −4[, ] − 1; 0[, ]1; 2[, ]4; ∞[;

8) интервалы выпуклости и вогнутости: а) выпуклости: ] − 5; −3[, ]3; 5[; б) вогнутости:

] − ∞; −5[, ] − 3; −1[, ] − 1; 1[, ]1; 3[;

9)значения функции в некоторых точках: y(−5) = 1/2; y(−4) = 1; y(−3) = 0; y(−2) =

−1; y(−1) = 2; y(0) = 1; y(1) = 2; y(2) = −2; y(3) = −1; y(4) = 0; y(5) = −1/2. √

14.22.Записать формулу для производной n-го порядка функции y = (1 + x)/ x

и вычислить е¨ значение в точке x0 = 1. Представить функцию формулой Тейлора до n-го порядка в точке x0 = 1. Выписать остаточный член формулы Тейлора при n = 2, 3 в форме Лагранжа и в форме Коши.

Вариант № 15

298

Индивидуальные задания

15.1. Исходя из определения предела, доказать, что

lim

4n − 1

= 2; 2)

lim

2x2 + 5x − 3

−

→∞

2n + 1

→−

x + 3

При ε = 0,01 найти N(ε) для предела последовательности и δ(ε) для предела функции.

15.2. Найти пределы

n! + (n − 1)!

lim n3[

1 + ... + (2n − 1)

lim

(n6

+ 4)

(n8

1)]

lim

n→∞

(n −21)!

;

2) n→∞

−

;

n→∞ √1 +22 + 3 + .. + n

;

lim

− 3x

+ 2

;

5) x

lim

sin x + cos 2x

;

lim

x + 1 + x

;

x→1

−

4x + 3

→

π/3

√1 + x2

x→∞

x + 1

√

→

−

√

→

−

→

1 − cos 2 (x+1)/2

lim

x − x

lim

x 1

;

8) x 2

x 2 − x2

4 ;

x 0

√

→

1 e−x

→

−

→∞

10)

lim

−

cos x

;

11)

lim

1 − sin(x/2)

;

12)

lim

2x − 1

;

x 0

−

x π

π x

2x + 3

→

−

→∞ sin2

π√n2+n

13)

lim

;

14)

lim (2

cos 3x)1/ ln(1+x );

15)

lim

sin

+ cos

;

sin x

16)

;

17)

lim

lim 3

n→∞ n (2n + 1)!!

n→∞

15.3. Вычислить предел

функции

f(x) = (2x + 4) exp

x − 4

вточке x0 = 4 или показать, что он не существует.

15.4.Записать асимптотическую оценку функций

1) f(x) = ln(1 + √x); 2) f(x) = 3 x2 + 1 − 1

при x → 0 и определить порядок первой бесконечно малой относительно второй.

15.5.Исходя из определения, доказать, что функция f(x) = 2x2 + 6 непрерывна в точкеточке.x0 = 7; найти δ(ε) при ε = 0,1. Показать, что функция непрерывна в произвольной

15.6.Исследовать на непрерывность функции

1) y =	x2,	если 0 < x < 2;	2) y =	1/x ; 3) y =	.
	x − 1,	если x 0;		1	x2
	2x,	если x 2;
	2x,	если x 2;		1 + e	x − 2

15.7. Найти производные следующих функций:

1)			1 + x2				;
	y =	√
					2
		2 1 + 2x
					2
4)	y = 3 arccos							+
						x
7)	y =	√	ch x	+ ln 5;

sh 5x

10)y arctg y + xy = 6;

13)x = t sin t + 1, y = 1 − t cos t;

2x + 3

cos2 3x

y = ln cos

;

y = sin 2 −

;

2x + 1

6 sin 6x

3 + x

√

; 5)

y = (x5 + 1)tg 3x;

y = earctg √

;

x+1

y = x3x2x;

;

y = 8 arcsin

−

√

11)

cos(xy) =

− ln 4x;

12)

x +

ln y = 4

− 3

;

x = arcsin(sin t),

x = ln(1 + cos t),

14)

y = arccos(cos t);

15)

y = sin t/(1 + cos t).

Задания для самоконтроля

299

15.8. Найти значения производной в точке x = x0:

1) y = 4 + ln2 5(2 sin 2x + cos 2x), x

x − 1

−

√

, x

= 0; 2) y =

= 0.

x + 3

15.9. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке x0:

1) y =

arctg

x − 1

, x

= 1,5;

2) y = x

−

e−x + arcsin ex, x

= 0.

√2

15.10. В какой точке кривой y2 = 4x3

касательная перпендикулярна к прямой x +

3y − 1 = 0?

15.11. Найти первый dy и второй d y дифференциалы функций

1) y = ln tg x

− sin x;

2) y = ln2 x − 1; 3) y = 5x cos √x.

15.12.Вычислить приближенно y = x5, x = 2,997.

15.13.Показать, что функция y = x + sin 2x удовлетворяет уравнению y + 4y = 4x.

15.14.Найти производные указанных порядков

1) y =	x	, y =?; 2) y = (1	− 2x3)4 − cos2 x, y =?;				3) y = lg(2x + 7), y(n) =?;
1) y =	ln2 x	, y =?; 2) y = (1	− 2x3)4 − cos2 x, y =?;				3) y = lg(2x + 7), y(n) =?;
		4) y = t − sin t,		dx2 =?;	5) y = et,−		dy2	=?.
		x = 1 + cos t,		d2y		x = et	1, d2x
15.15. Найти экстремумы функций
								2x
	1) y = x3 + x2 − x + 2; 2) y = x2 − 4x + 5; 3) y =							2x
									.
								1 + x2	.

15.16. Найти наибольшее и наименьшее значения функций в указанных интервалах:

−

+ 5

1) y = x3 3

, [ 2; 2]; 2) y = cos x +

y =

− 2

1)2

; π ;

[2; 8].

15.17. Исследовать функции и построить их графики

1) y = e

−

= ln x + 2 ; 3) y =

(x − 1)2

; 4) y = n→∞ 1 + n

x + 1

2x x

;

2) y

lim

15.18. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции

f(x) = √ x2 . x2 + 4x

15.19.Во сколько раз объ¨ем шара больше объ¨ема наибольшего цилиндра, вписанного

вэтот шар.

15.20.Вычислить указанные пределы, используя правило Лопиталя:

1) lim	etg x − ex	;	2) lim (tg x)2 tg 2x;	3) lim	ln(1 + x)1+x		1	.
					x2
x→0 tg 2x − 2x			x→0	x→0		− x

15.21. Построить эскиз графика по известным результатам аналитического исследования:

1) область определения X =] − ∞; −1[ ] − 1; 1[ ]1; ∞[;

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3330 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.05.20155.26 Mб112Credstv_rasch_MathCAD.doc
#
21.09.201918.53 Mб5dachet element.doc
#
29.05.20153.5 Mб123dejatelnos (1).pdf
#
21.09.201964.51 Кб0Delphi отчёт.doc
#
15.11.2019158.72 Кб3Diagramma_otchet.doc
#
29.05.20153.1 Mб51DIF_calc_2013.pdf
#
29.05.20152.58 Mб46Diplom.docx
#
29.05.20155.95 Mб19Diplom_na_pechat.doc
#
29.05.2015753.61 Кб65DisMathTPU.pdf
#
29.05.2015753.84 Кб64DisMathTPU_new.pdf
#
29.05.20158.69 Mб33dissertatsia.doc