DIF_calc_2013

Свойство 2. Если одна последовательность сходится в несобственном смысле, а другая – в собственном и не является бесконечно малой, то их произведение сходится в несобственном смысле, т.е. остается бесконечно большой последовательностью.

♦ Произведение бесконечно большой последовательности на бесконечно малую (символически обозначающееся ∞ · 0) требует особого рассмотрения в каждом конкретном случае (см. примеры в разд. «Техника вычисления пределов»).

Свойство 3. Отношение последовательности, сходящейся в собственном смысле, к последовательности, сходящейся в несобственном смысле, является последовательностью бесконечно малой. Обратное соотношение является последовательностью бесконечно большой.

Для двух последовательностей, сходящейся в несобственном смысле, справедливо ещ¨ одно следствие.

Свойство 4. Сумма и произведение двух бесконечно больших последовательностей одного знака являются бесконечно большими последовательностями того же знака, тогда как их разность (∞ − ∞) и отношение (∞/∞) требуют особого рассмотрения в каждом конкретном случае (см. примеры в разд. «Техника вычисления пределов»).

♦ Особого рассмотрения требуют также правила вычисления пределов последовательностей, полученных в результате алгебраических операций над расходящимися последовательностями (не имеющими конечных или бесконечных пределов).

8.5.Число Непера

Теорема 8.15. Последовательность

имеет своим пределом число e, 2 < e < 3.

Доказательство. В примере 8.7 было показано, что последовательность (8.60) является монотонно возрастающей и ограничена значениями 2 и 4. Уточним эту оценку с помощью бинома Ньютона. По формуле бинома Ньютона

Отсюда следует, что, во-первых, последовательность (8.60) является монотонно возрастающей, поскольку с ростом n растет число положительных слагаемых, а, во-вторых, последовательность (8.60) ограничена.

Действительно,

Учтем, что при n > 2 выполняется неравенство n! > 2n−1, следовательно,

Поскольку выражение в правой части есть геометрическая прогрессия, можно записать е¨ сумму:

Согласно теореме 8.4 (признаку Вейерштрасса), последовательность (8.60) сходится. Обозначим

Иррациональное число e называется числом Непера.

♦Можно показать, что e ≈ 2,718281828459045 . . .

♦Справедливости ради заметим, что иногда это название полагают малообоснованным, но методологически оправданным как именное название числа, играющего очень важную роль в современной математике.

Приняты следующие обозначения:

loge a = ln a.

Такой логарифм называется натуральным логарифмом, а число e ещ¨ называется основанием натурального логарифма. Ниже будет указан способ его вычисления с заданной точностью.

где M = lg e = 0,43429. Число M называется модулем перехода от натуральных логарифмов к десятичным. Переход от десятичных логарифмов к натуральным осуществляется по формуле

Решение. С помощью тождественных преобразований получим произведение по-

где {nk}∞k=1 – произвольная последовательность целых чисел, стремящаяся к +∞,

т.е. lim nk = +∞.

k→∞

Решение. Пусть {nk}∞k=1 – произвольная последовательность целых чисел, стремящаяся к +∞. Тогда из неравенства

что и требовалось доказать.

+∞.

Решение. Если последовательность {pn}∞n=1 стремится к +∞, то в силу принципа Архимеда существует такая последовательность целых чисел {nk}∞k=1, что nk →

+∞ и

nk < pk < nk + 1.

Решение. Все пределы однотипны и различаются только старшими степенями n в числителе и знаменателе. Однако эти различия существенно влияют на значение соответствующего предела. Действительно, в случае 1) тождественные преобразования позволяют записать

84 Глава 3. Теория пределов

Решение. Выражение, стоящее под знаком предела, представляет собой отношение полиномов, которые при n → ∞ являются бесконечно большими. Это не позволяет сразу применить формулу вычисления предела частного. Однако, как и в предыдущем примере, тождественные преобразования позволяют записать а) l < k:

Таким образом, вычисление пределов в (8.71) сводится к сравнению старших степеней числителя и знаменателя и коэффициентов при них. Подобный подход оправдан и в случае нецелых степеней n, что иллюстрируется следующим примером.

Решение. Для A1 в числителе первый корень имеет максимальную степень 3/2, а второй 1/3; в знаменателе, соответственно, степени 0 и 3/2. Поступая, как и в предыдущих примерах, с уч¨етом того, что последовательность {sin n}∞n=1 предела не имеет, но ограничена значением M = 1, имеем

Второй предел отличается от первого тем, что при неизменном знаменателе максимальной степенью числителя является теперь не 3/2 = 9/6, а степень второго корня 5/3 = 10/6. Следовательно,

В третьем пределе максимальная степень числителя, как и в первом, равна 3/2, а максимальная степень знаменателя равна 2. Следовательно,