DIF_calc_2013

Это означает, что функция ln x при x → +∞ является по сравнению с функцией x бесконечно малой более высокого порядка, чем x в любой степени, т.е. xp (p > 0). В этом случае говорят, что ln x — бесконечно малая сколь угодно большого порядка:

Если заметить, что сами функции ln x и x при x → +∞ являются бесконечно большими, то, вспомнив о связи бесконечно малых и бесконечно больших, в этом случае удобнее говорить, что бесконечно большая функция ln x является бесконечно большой более низкого порядка, чем x в любой степени, т.е. xp (p > 0).

Далее, согласно результатам примера 10.4, имеем

Это означает, что функция x в любой положительной степени, т.е. xp (p > 0), является бесконечно малой при x → +∞ относительно функции ex:

степени, т.е. xp (p > 0).

Таким образом, для функций ln x и ex установить порядок малости не уда¨ется. Другими словами, при x → +∞ бесконечно большая функция ln x является бесконечно большой низшего порядка, чем xp (p > 0 — произвольное), а функция ex является бесконечно большой высшего порядка, чем x в любой степени p (p > 0).

При x → +0 формулы, аналогичные (11.38) и (11.39), получаются заменой

Здесь мы воспользовались соотношениями 2o(x) = o(x), o(x) + o(x) = o(x), o(x) − o(x) = o(x), следующими из свойств асимптотических оценок, к рассмотрению которых мы и переходим.

читаются слева направо, прич¨ем правая часть их указывает на некоторый класс функций, а левая — на одну функцию из этого класса, т.е.

α o(β), α O(β).

Это означает, что действия с оценками o(β) и O(β), вообще говоря, аналогичны действиям с некоторыми множествами, что и определяет специфику их алгебры.

Теорема 11.3. Справедливы следующие соотношения:

Доказательство. Докажем по две первые формулы для каждой оценки, остальные доказываются аналогично. Начнем с соотношения

o(β) + o(β) = o(β), x → a.

В этом случае следует показать, что сумма двух любых функций α1(x) и α2(x), принадлежащих классу o(β), т.е.

a

{α1(x) = β(x)h1(x), lim h1(x) = 0} {α1 = o(β)};

x→a

a

{α2(x) = β(x)h2(x), lim h2(x) = 0} {α2 = o(β)},

x→a

также принадлежит этому классу. Для этого запишем сумму

α(x) = α1(x) + α2(x) = β(x)h1(x) + β(x)h2(x) = β(x)[h1(x) + h2(x)] = β(x)h(x).

Так как

lim h(x) = lim[h1(x) + h2(x)] = 0,

x→a x→a

то

α(x) = β(x)h(x), lim h(x) = 0.

x→a

Согласно определению, это означает, что

a

α = o(β),

т.е.

a

o(β) + o(β) = o(β),

что и требовалось доказать.

Для следующей формулы нужно доказать, что любая функция, принадлежащая классу функций o(Cβ), принадлежит и к классу функций o(β), т.е., если

а это и означает, что

a

α = o(β),

т.е.

o(Cβ) = o(β).

Перейд¨ем к соотношению

O(β) + O(β) = O(β), x → a.

В этом случае следует доказать, что сумма двух любых функций α1(x) и α2(x), принадлежащих классу O(β), также принадлежит этому классу. Пусть, согласно определению,

α1(x) = β(x)h1(x), α2(x) = β(x)h2(x),

где ( ), ( ) — ограниченные функции в проколотой окрестности ˙( ). За- h1 x h2 x S a, δ

пишем сумму

α(x) = α1(x) + α2(x) = β(x)h1(x) + β(x)h2(x) = β(x)h(x),

где h(x) = h1(x) + h2(x). Поскольку сумма двух ограниченных функций является ограниченной, то функция α(x) принадлежит классу O(β), т.е. справедлива оценка

a

O(β) + O(β) = O(β),

что и требовалось доказать.

Следствие 11.3.1. Справедливы соотношения

Ck — постоянные; n, m N, а β — бесконечно малая при x → a функция.

Решение. Имеем неопредел¨енность вида 0/0. Чтобы е¨ раскрыть, выделим главные части всех слагаемых при x → 0:

Решение. 1. Воспользовавшись формулой бинома Ньютона, получим

n n(n − 1) 2 n 0 (1 + x) = 1 + nx + x + . . . + x =

2

n(n − 1)x2 + o(x2) + o(x3) + . . . + o(xn−1) = 2

= 1 + nx + n(n − 1)x2 + o(x2). 2

таблицы (11.37).

4. Использование предыдущей оценки да¨ет

ax − bx =0 1 + x ln a + o(x) − 1 − x ln b − 0(x) = x ln ab + o(x) + (−1)o(x) = = x ln ab + o(x) + o(x) = x ln ab + o(x).

5. Из формулы

0

tg x = x + o(x)

таблицы (11.37) с уч¨етом

0

x = sin x + o(x)

найд¨ем

0 0 0

tg x = x + o(x) = sin x + o(x) + o(x) = sin x + o(x).

11.5.Примеры вычисления пределов функций

Выше для иллюстрации некоторых теорем и теоретических положений мы уже рассматривали примеры вычисления пределов функций. Здесь мы более систематизированно рассмотрим задачи вычисления пределов функций, решая их, по возможности, более простыми методами, включая методы с использованием асимптотических оценок.

Пример 11.14. Пусть

Pn(x) = pnxn + pn−1xn−1 + . . . + p1x + p0, pn = 0,

— полином степени n с действительными коэффициентами pi, i = 1, n. Показать, что