DIF_calc_2013

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Политехнический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1) y = 4 ln x + 1 − 4x2, x0 =

; 2) y = 7x ln 7, x0

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.05.2015

Размер:

3.1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3233 / 3333

320	Индивидуальные задания

24.8.Найти значения производной в точке x = x0:

1)y = 12 ln(e2x + 1), x0 = 0; 2) y = 1 + 1 − e4x, x0 = −14 .

24.9.Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке x0:

3
1) y = 3 arcsin x + 1	, x0	= 1; 2) y = arctg cos x, x0 = 0.

24.10.Найти точку на кривой y = 5x2 − 4x + 1, нормаль в которой параллельна к прямой x + 6y + 15 = 0.

24.11.Найти первый dy и второй d2y дифференциалы функций

ln tg2 x		1			− 8; 3) y =	√

1) y = 5	; 2) y = x arctg					1 + 2x − ln(x + 3).
			x
24.12. Вычислить приближенно y =		√			, x = 8,36.
				x
		3

24.13. Показать, что функция y = (sin x)/x удовлетворяет уравнению xy + y = cos x. 24.14. Найти производные указанных порядков

1) y = e

− sin 2x, y =?;

2) y = (7x − 8) + ln x, y

=?;

3) y =

, y

=?;

x/2

√

(n)

2x+1

y = cos2

3t,

dy2

y = t − 1,

dx2

4) x = sin2

3t,

d2x

=?;

5) x

= 2t2

− t + 3,

d2y

=?.

24.15. Найти экстремумы функций

ln2 x

1) y = (x − 2)2/3(2x + 1);

2) y =

;

3) y

= xe−x

/2.

24.16. Найти наибольшее и наименьшее значения функций в указанных интервалах:

√

2) y =

3 − x2

, [

3,5]; 3) y =

x4 x3

7x2

1) y = 2x

x, [0; 4];

+ 24x + 1, [1; 4].

x + 2

−

4 3 −

−

24.17. Исследовать функции и построить их графики

−

x + 1

n→∞

x2n

2) y = ln

x −

;

3) y =

1 − x3

1) y = 3 1

x3;

;

4) y =

lim

1 +

24.18. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции

5x − 5 f(x) = ln 25x − 1 .

24.19. Из тр¨ех досок одинаковой ширины сколачивается ж¨елоб. При каком угле наклона боковых стенок площадь поперечного сечения ж¨елоба будет наибольшей?

24.20. Вычислить указанные пределы, используя правило Лопиталя:

1) x→0	x→2 x2 − 4		− x − 2		x→0 π
lim ctg x ln(x + ex);		4	1			2	1/x
lim ctg x ln(x + ex);	2) lim			;	3) lim		arccos x .

24.21. Построить эскиз графика по известным результатам аналитического исследования:

1) область определения X =] − 1; ∞[;

Задания для самоконтроля

321

2)вертикальные асимптоты: x = −1;

3)горизонтальные асимптоты: y = 0;

4)наклонные асимптоты: нет;

5)стационарные точки x = 0, x = 2, x = 4;

6)точки, где y = ∞: x = 1, x = 3;

7)интервалы монотонности: а) возрастания: ]0; 1[, ]2; 3[, ]4, ∞[; б) убывания: ] − 1; 0[, ]1; 2[, ]3; 4[;

8)интервалы выпуклости и вогнутости: а) выпуклости: ]5; ∞[; б) вогнутости: ] − 1; 1[, ]1; 3[, ]3; 5[;

9)значения функции в некоторых точках: y(0) = 0; y(1) = 3; y(2) = −2; y(3) = 2; y(4) = −1; y(5) = −1/2.

24.22.Записать формулу для производной n-го порядка функции y = ln(3 + x) и

вычислить е¨ значение в точке x0 = 1. Представить функцию формулой Тейлора до n-го порядка в точке x0 = 1. Выписать остаточный член формулы Тейлора при n = 2, 3

вформе Лагранжа и в форме Коши.

Вариант № 25

25.1. Исходя из определения предела, доказать, что

lim

3 − n2

;

lim

2x2 + 3x − 2

= 5.

1 + 2n2

−2

→∞

→

1/2

−

1/2

При ε = 0,01 найти N(ε) для предела последовательности и δ(ε) для предела функции.

25.2. Найти пределы

√

3 2

+ 1 + n

n (n

+ 5)

+ 5

lim

− 8 −

lim

+ ... +

→∞

;

→∞

√n

; 3) n

→∞

;

(n + 1)

lim

1 + tg(πx/4)

;

lim

− 4x + 2x + 7

;

lim

+ 4x

− 2x + 1

;

1 + cos(πx/3)

x→1

x→−1

x2 − 2x − 3

x→∞

x4 + 1

lim

√x3 + 1 − 3

lim

x4 − x2

lim

sin2 2x

−sin x

−x

(2x2

1)/x

→

tg−x

tg−2x

→

∞ 1

−

;

9) x

→

;

−

cos x;

;

10)

x→0

;

11)

x→π/2

cos2 x

;

12)

x→∞ x + 3

lim

−

lim

−

lim

−

13)

x→0

;

14)

x→0

;

15)

x→∞

;

lim

− cos x

lim (cos πx)1/(x sin πx)

lim

cos

+ λ sin

16)

nlim

(2n)!!

−(n + 1) ;

17)

nlim

esin [π

+1].

(2n

1)!!

√

→∞

−

→∞

25.3. Вычислить предел функции

f(x) =

sin[1/(x − 2)]

в точке x0 = 2 или показать, что он не существует. 25.4. Записать асимптотическую оценку функций

1) f(x) = 2√x − 1; 2) f(x) =

− 1

1 + √x2

при

→

и определить порядок первой бесконечно малой

относительно второй.

− 3

непрерывна в

25.5. Исходя из определения, доказать, что функция f(x) = 3x

точкеточке.x0 = 4; найти δ(ε) при ε = 0,1. Показать, что функция непрерывна в произвольной

322

Индивидуальные задания

25.6. Исследовать на непрерывность функции

2x + 2, если 0 x 3;

1) y = 8,

если 3 < x < 6;

2) f(x) = 1

−

2−1/(2x−1);

3) y =

− |x|

x + 2,

если x 6;

25.7. Найти производные следующих функций:

√

27x

1) y =

(1 + x

) 1 + x

;

2) y = ln2(x + cos x);

3) y =

sin

;

12x12

x −

27 cos 54x

4) y = (2x2 + 5) tg

;

5) y = (sin x)cos(x/2);

6) y = 5x tg2 3x;

x +

√

tg x

2 +

7) y =

√

;

8) y = xtg 5x;

9) ex ln

;

x2 + 1

3 tg x

4 y2

= x;

10) arctg

= ln

x2 + y2;

11) x + y = ex−y;

12)

cos

− sin xy

√

x = cos

x = ln(t + 1 + t

x = e

+ e−

13)

y = √

− t;

14)

y = tg2 t;

15)

y = et − e−t.

1 + t2

25.8. Найти значения производной в точке x = x0:

1) y =

arctg(2x − 1), x0

= 0;

2) y =

2x − x2, x0

ln 2

x − 1

25.9. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке x0:

25.10.Найти точку на кривой y = 3x2 − 5x − 11, нормаль в которой параллельна прямой y = −x + 1.

25.11.Найти первый dy и второй d2y дифференциалы функций

√ √

1) y = arccos 1 + 2x2; 2) y = ln x + sin2 x; 3) y = 2arcsin x.

√

25.12. Вычислить приближенно y = 1/ 2x − 1, x = 1,58.

25.13.Показать, что функция y = e/ cos x удовлетворяет уравнению y − (tg x)y = 0.

25.14.Найти производные указанных порядков

1) y = (1

5x) + ln x, y =?; 2) y = 3

, y =?;

3) y = x, y

=?;

−

arcsin √

√

(n)

dy2

y = t2

− 1,

dx2

y = sin3 t,

x = cos3 t,

d2x

=?;

x = 2t3 − 6t + 3,

d2y

=?.

25.15. Найти экстремумы функций

1) y = 1 − (x − 2)4/5; 2) y = x2 x2 + 2; 3) y =

25.16. Найти наибольшее и наименьшее значения функций в указанных интервалах:

1) y = x3 − 3x2 − 9x + 35, [−4; 4]; 2) y = 2		+ sin x,	0; 2		;	3) y = 1 + x2 , [−2; 0].
	x			π			4x

Задания для самоконтроля									323
25.17. Исследовать функции и построить их графики
1) y = xe−		2	; 2) y =	x2 + 1	; 3) y =	x		x	n
1) y = xe−	x		; 2) y =	x	; 3) y =	(x − 1)2	; 4) y = n→∞ 1 + n		.
							lim

25.18. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции

8x − 4 f(x) = ln 2x − 1 .

25.19.Около данного цилиндра радиуса R описать конус наименьшего объ¨ема. Плоскости основания цилиндра и конуса должны совпадать.

25.20.Вычислить указанные пределы, используя правило Лопиталя:

1) lim	ex − esin x	;	2) lim (sin 2x)cos x;	3) lim	1		4		.
	x − sin x					− sin2
x→0			x→π/2	x→0 sin2 x				2x

25.21. Построить эскиз графика по известным результатам аналитического исследования:

1)область определения X =] − ∞; −2[ ] − 2; 0[ ]0; ∞[;

2)вертикальные асимптоты: x = −2, x = 0;

3)горизонтальные асимптоты: нет;

4)наклонные асимптоты: y = x/3;

5)стационарные точки: x = −3, x = −1, x = 1;

6)точки, где y = ∞: x = −4;

7) интервалы монотонности: а) возрастания: ] − ∞; −4[, ] − 3; −2[, ]1; ∞[; б) убывания:

] − 3; −4[, ] − 2; 0[, ]0; 1[;

8)интервалы выпуклости и вогнутости: а) вогнутости: ] − ∞; −4[, ] − 4; −2[, ] − 2; −1[, ]0; 2[; б) выпуклости: ] − 1; 0[, ]2; ∞[;

9)значения функции в некоторых точках: y(−4) = 0; y(−3) = −2; y(−1) = 1; y(1) = −1; y(2) = 0.

25.22.Записать формулу для производной n-го порядка функции y = 1/(x + 5) и

вычислить е¨ значение в точке x0 = 3. Представить функцию формулой Тейлора до n-го порядка в точке x0 = 3. Выписать остаточный член формулы Тейлора при n = 2, 3

вформе Лагранжа и в форме Коши.

324	Список литературы

Список литературы

1.Багров В.Г., Белов В.В., Задорожный В.Н., Трифонов А.Ю. Методы математической физики. Т. I: Основы комплексного анализа. Элементы вариационного исчисления и теории обобщенных функций. — Томск: Изд-во НТЛ, 2002. — 672 с.

2.Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: Наука, 1980.

3.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1985.

4.Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа. –

М.: Наука, 1971.

5.Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. – М.: Наука, 1985.

6.Бугров Я.С., Никольский С.М. Задачник. – М.: Наука, 1987.

7.Дедекинд Р. Непрерывность и иррациональные числа. 4 изд. — Одесса: Mathesis, 1923. — 44 с.

8.Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. – М.: Наука, 1967.

9.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа, 1980.

10.Задорожный В.Н., Зальмеж В.Ф., Трифонов А.Ю., Шаповалов А.В. Высшая математика для технических университетов. Ч. I: Линейная алгебра. 2 изд.

— Томск: Изд-во Томского политехн. ун-та, 2009. — 310 с.

11.Задорожный В.Н., Зальмеж В.Ф., Трифонов А.Ю., Шаповалов А.В. Высшая математика для технических университетов. Ч. II: Аналитическая геометрия. 2 изд. — Томск: Изд-во Томского политехн. ун-та, 2010. — 398 с.

12.Зорич В.А. Математический анализ. Ч. I. — М.: «МЦНМО», 2002. — 657 с.

13.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа (в 2-х томах). –

М. Наука, 1971 (т.1), 1973 (т.2).

14.Кальницкий Л.А., Добротин Д.А., Жевержев В.Ф. Специальный курс высшей математики. – М.: Высшая школа, 1976. – 400 с.

15.Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике.(в 3-х томах).

– Харьков: Изд-во ХГУ. – Т. 1. – 1965; Т. 2 – 1971; Т. 3 – 1972.

16.Кудрявцев Л.Д. Математический анализ (в 2-х т.). – М.: Высшая школа, 1973.

17.Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа (в 2-х т.). – М.: Наука, 1981 (т. 1), 1982 (т. 2).

18.Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Курс высшей математики. – М.: Наука, 1971.

19.Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1986.

20.Кузнецов Л.А. Сборник индивидуальных заданий по курсу высшей математики. – М. Наука, 1964.

21.Ляшко И.И., Боярчук А.К., Гай Я.Г., Головач Г.П. Математический анализ в примерах и задачах (в 2-х т.). – Киев: Вища школа, т. 1 – 1975, т. 2 – 1977.

22.Мышкис А.Д. Математика для ВТУЗОВ (в 2-х т.). – М.: Наука, 1971 (т. 1),

Список литературы

325

1973 (т. 2).

23.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 1985.

24.Терехина Л.И., Фикс И.И. Высшая математика. Ч. 2. Предел, непрерыв-

ность, производная, приложения производной, функции нескольких переменных: Учебное пособие. – Томск: Изд-во ТПУ, 2002. – 180 с.

25.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (в 3-х т.). – М.: Наука, 1966.

26.Шилов Г.Е. Математический анализ (функции одного переменного). – М.: Наука, 1969. – 534 с.

Учебное издание

ЗАДОРОЖНЫЙ Валерий Николаевич ЗАЛЬМЕЖ Владимир Феликсович ТРИФОНОВ Андрей Юрьевич ШАПОВАЛОВ Александр Васильевич

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА для технических университетов

Часть III. Дифференциальное и интегральное исчисление 1. Дифференциальное исчисление функций

одной переменной

Учебное пособие

Технический редактор В.Н. Романенко

Компьютерная верстка В.Н. Романенко

Набор и верстка выполнены на компьютерной технике

виздательской системе TEX – LАTEX

сиспользованием семейства шрифтов Computer Modern

Подписано к печати . .2010. Формат 60х84/16. Бумага «Снегурочка».

Печать . Усл.печ.л. . Уч.-изд.л. . Заказ . Тираж 100 экз.

Национальный исследовательский Томский политехнический университет Система менеджмента качества

Томского политехнического университета сертифицирована

NATIONAL QUALITY ASSURANCE по стандарту ISO 9001:2008

. 634050, г. Томск, пр. Ленина, 30

Тел./факс: 8(3822)56-35-35, www.tpu.ru

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3233 / 3333

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.05.20155.26 Mб111Credstv_rasch_MathCAD.doc
#
21.09.201918.53 Mб4dachet element.doc
#
29.05.20153.5 Mб122dejatelnos (1).pdf
#
21.09.201964.51 Кб0Delphi отчёт.doc
#
15.11.2019158.72 Кб3Diagramma_otchet.doc
#
29.05.20153.1 Mб51DIF_calc_2013.pdf
#
29.05.20152.58 Mб46Diplom.docx
#
29.05.20155.95 Mб19Diplom_na_pechat.doc
#
29.05.2015753.61 Кб65DisMathTPU.pdf
#
29.05.2015753.84 Кб64DisMathTPU_new.pdf
#
29.05.20158.69 Mб33dissertatsia.doc