DIF_calc_2013

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Политехнический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

− 1; 2) f(x) = ln(1 + √x2)

− 1; 2) f(x) = ln(1 + √x2)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.05.2015

Размер:

3.1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 3329 30 31 32 33 > Следующая >>>

280

Индивидуальные задания

√

y =

cos2 4x

y = 3

x − 1

sin2 x

y = ln ln 1 +

x2 + 5 −

;

x ;

8 sin 8x;

y =

arctg

3x − 1

;

y = (ln2 x)x+6

;

y = 2xxx

;

6√x

5 + 3 ch x

y = −

arcsin

;

8) y = (sin x)5e

;

9) y = x2(1−x)/(1+x);

3 + 5 ch x

10) tg(x + y) = sin(x − y);

11) ex+y

= sin

− 8;

12) ln(xy) = 5 − x3;

13) x = et,

x = √

x = e2t − e−2t,

14)

1 − t2

15)

y = arcsin t;

y = t√1 + t;

y = 1 + e−2t.

7.8. Найти значения производной в точке x = x0:

1) y = cos x − 2 sin4 x, x0 =

√

;

2) y = arcsin x

, x0 =

1 − x2

7.9. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке x0:

√

1 +

12x

√

1) y = ln

−

, x

; 2) y =

−

2√x + 2, x

= 1.

−

7.10.Найти точку на кривой y = −3x2 + 4x + 7, касательная в которой перпендикулярна к прямой x − 20y + 5 = 0.

7.11.Найти первый dy и второй d2y дифференциалы функций

	1		x
1) y = ln(2x + x2 + x + 1); 2) y = sin2		−		; 3) y = eln tg(1−x).

	x		x + 1

7.12. Вычислить приближенно y = arcsin x, x = 0,08.

√

7.13. Показать, что функция y = − x4 − x2 удовлетворяет уравнению xyy −y2 = x4. 7.14. Найти производные указанных порядков

1) y =

− 2 ln x + 3, y =?;

2) y =

−

x2, y

=?;

(n)

arcsin

3) y = sin(x + 1) + cos 2x, y

=?;

dy2

y = sin 53t,

dx2

y = 6 + 5t2,

x = tg 53t,

d2y

=?;

x = 1

− t3,

d2x

=?.

7.15. Найти экстремумы функций

	1			1			1
		x4 − 2x2 + 3; 2) y =	2x − x2
1) y =				; 3) y =		+		.
	4				x		1 − x

7.16. Найти наибольшее и наименьшее значения функций в указанных интервалах:

1) y = x3 − 12x + 7, [−3; 0];

2) tg x − x, −

; 3)

+ 16

;

y =

, [1; 4].

7.17. Исследовать функции и построить их графики

1) y = (x + 4)e2x; 2) y =

x3 − 1

;

3) x

−

ln(x + 1);

4) y =

lim (1 + xn)1/n, x > 0.

→∞

7.18. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции

f(x) = x2 − 3x + 2 2−1/(x+3). x + 3

Задания для самоконтроля

281

7.19.Найти отношение радиуса цилиндра к его высоте, при котором цилиндр имеет при данном объ¨еме V наименьшую полную поверхность.

7.20.Вычислить указанные пределы, используя правило Лопиталя:

1) x→π/2		−	x→0 x		− ex − 1	x→∞
lim	[(π		2x) tg x]; 2) lim	1	1	; 3) lim (1 + ex)1/x.

7.21.Построить эскиз графика по известным результатам аналитического исследо-

вания:

1)область определения X =] − ∞; 1[ ]1; ∞[;

2)вертикальные асимптоты: x = 1;

3)горизонтальные асимптоты y = 0);

4)наклонные асимптоты: нет;

5)стационарные точки: x = 0, x = 3;

6)точки, где y = ∞: нет;

7)интервалы монотонности: a) возрастания: ]0;1[, ]1;3[; б) убывания: ] − ∞; 0[, ]3; ∞[;

8)интервалы выпуклости и вогнутости: а) выпуклости: ] − ∞; −1/2[, ]1;4[; б) вогнутости: ] − 1/2; 1[, ]4; ∞[;

9)значения функции в некоторых точках: y(−1/1) = −1/2; y(0) = −1; y(1/2) = 0; y(3/2) = 0; y(3) = 2; y(4) = 1.

7.22.Записать формулу для производной n-го порядка функции y = 5x и вычислить е¨ значение в точке x0 = 2. Представить функцию формулой Тейлора до n-го порядка

вточке x0 = 2. Выписать остаточный член формулы Тейлора при n = 2, 3 в форме Лагранжа и в форме Коши.

Вариант № 8

8.1. Исходя из определения предела, доказать, что

3n3

lim

2x2

+ 13x + 21

1) nlim

−

1 = 3;

2x + 7

= −2 .

→−

7/2

→∞

При ε = 0,01 найти N(ε) для предела последовательности и δ(ε) для предела функции.

8.2. Найти пределы

√

(n+ 1)

+ 1

lim

− (n− 1)

lim

−

;

lim

2 − 5 + ... + 2n − (2n + 3)

;

n→∞

; 2) n→∞

√4n6 + 3

−

n→∞

n + 3

x + 1

+ 2x

lim

;

lim

− 1

;

lim

−

+ x − 2

;

x→1 tg(πx/4)

x→∞ x4 − 2x + 3

x→−1

x3 − x

(cos 2x − 1)x

;

√

x2 + 3

− 2

;

lim (√

√

lim

x2 + 1

→

sin

8) x

→

−

→∞

−

;

tg(πx/2a)

1/(2x+1)

→

sin 2x − sin x

→

→∞

10)

lim

;

11)

lim

−

tg x

;

12)

lim

1 +

;

x 0

π/2

cos x

;

13)

x→0

x→a

− a

;

15)

x→0

lim

ln cos x

;

14)

lim

lim (1 + tg2 x)1/ ln(1+3x2)

16)

n→∞

17)

n→∞

2n3

;

(n!)

lim ecos2[π√

lim

+n]

8.3. Вычислить предел функции

1 f(x) = x sh x + 2

282	Индивидуальные задания

вточке x0 = −2 или показать, что он не существует.

8.4.Записать асимптотическую оценку функций

при x → 0 и определить порядок первой бесконечно малой относительно второй.

8.5.Исходя из определения, доказать, что функция f(x)−3x2 −5 непрерывна в точке x0 = 2; найти δ(ε) при ε = 0,1. Показать, что функция непрерывна в произвольной точке.

8.6.Исследовать на непрерывность функции

1) y = 1

x2,

если 0 < x 1;

2) y =

1/(2x+1) ; 3) f(x) = x2

+ 1 .

1/(x2

+ 1),

если x 0;

2 + 3

− 4

1,−

если x > 1;

8.7. Найти производные следующих функций:

√

5 sin2 17x

1) y = (x − 2)

+ 4x

+ 5;

2) y = ln ln

3) y =

;

17 tg 3x

4) y = arccos

x2 − 4

;

5) y = (2x + 3)ctg2 6x;

6) y = (x + 9)x−3;

√x2 + 16

3 + ch x

7) y = 4 ln th

− ln

;

8) y = (sin x)x

−1;

9) y = x ln √1 + tg x;

10) x2 sin y + cos x = cos 2x;

11) arcsin x − 5 = tg

;

12) ln xy − 2 = y3;

13) y = arctg x;

14) y = t√t + 1;

15) y = cos2 t.

x = t(1 + t2),

x = ln(t + √

x = sin2 t,

t + 1),

8.8. Найти значения производной в точке x = x0:

1) y = arctg(ex − e−x), x0 = 1;

2) y = ln(5x +

25x2 + 1), x0 = 0.

8.9. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке x0:

	ctg x + ctg α		π
1) y = 2 1 − x2 arcsin x − 2x, x0 = 0; 2) y =		− ln 5, x0 =
				.
	sin α		2

8.10.Найти точку на кривой y = 3x2 − 4x + 6, касательная в которой параллельна прямой 8x − y − 5 = 0.

8.11.Найти первый dy и второй d2y дифференциалы функций

1) y = arctg tg 2 + 1 ;

2) y = ln(e−x + ex); 3) y = 2tg 4x.

8.12. Вычислить приближенно y = √x2 + 2x + 5, x = 0,97.

y − ny ex(x+

8.13. Показать, что функция

удовлетворяет уравнению

y = (x+1)n(ex

−

x + 1

1)n.

8.14. Найти производные указанных порядков

1) y = ex + 2e2x, y =?;

2) y = x2 + cos3 x, y =?; 3) y =

2x + 5

, y(n) =?;

13(3x + 1)

y = 1 − t3

dy2

y = 5 cos t,

dx2

4) x = 5t3 −

6t + 8,

d2x

=?;

5) x = sin2 t,

d2y

=?.

Задания для самоконтроля								283
8.15. Найти экстремумы функций
1) y = 3	−	2x2	−	x4	; 2) y =		x		; 3) y = ex + e−x.

						3

						√x2		− 4

8.16. Найти наибольшее и наименьшее значения функций в указанных интервалах:

1) y = 2x3 + 3x2

2x − 1

−

12x + 1, [ 1; 5];

2) y =

, [

−

2; 0,5];

3) y = 3

2x2 + 1, [ 2; 1].

(x − 1)2

−

8.17. Исследовать функции и построить их графики

1) y =

2 − 4x2

;

2) y = e1/(3

x); 3) y = x2ex;

4) y =

lim 1 + xn

x2n

1/n.

1 − 4x2

−

n→∞

8.18. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции

f(x) = x2 + 3x + 2 31/(x−1). x − 2

8.19.Найти соотношение между радиусом R и высотой H цилиндра, имеющего при данном объ¨еме наименьшую полную поверхность.

8.20.Вычислить указанные пределы, используя правило Лопиталя:

1) lim	(sin x		tg x); 2) lim	1 +	1	ln x	;	3) lim	ex + e−x − 2	.
		−			x
x→π/2			x→∞					x→0	1 − cos x

8.21. Построить эскиз графика по известным результатам аналитического исследования:

1)область определения X =] − ∞; −1[ ] − 1; ∞[;

2)вертикальные асимптоты: x = −1;

3)горизонтальные асимптоты: нет;

4)наклонные асимптоты y = x − 1;

5)стационарные точки x = −2, x = 0, x = 2;

6)точки, где y = ∞: x = 1;

7)интервалы выпуклости и вогнутости: а) выпуклости: ] − ∞; −1[, ]0;1[, ]1;2[; б) вогнутости: ] − 1; 0[, ]2; ∞[;

8) интервалы монотонности: а) возрастания: ] − ∞; −2[, ]1; ∞[; б) убывания: ] − 2; −1[, ] − 1; 0[, ]0;1[;

9)значения функции в некоторых точках: y(−2) = −3,5; y(0) = 0; y(1) = −2; y(2) = 2.

8.22.Записать формулу для производной n-го порядка функции y = e4x и вычислить е¨ значение в точке x0 = 2. Представить функцию формулой Тейлора до n-го порядка

вточке x0 = 2. Выписать остаточный член формулы Тейлора при n = 2, 3 в форме Лагранжа и в форме Коши.

Вариант № 9

9.1. Исходя из определения предела, доказать, что

1) lim	3n2	=	−	3;	2) lim	6x2 − 5x + 1	=	−	1.
	− n2					x − 1/3
n→∞ 2					x→1/3

При ε = 0,01 найти N(ε) для предела последовательности и δ(ε) для предела функции.

284

Индивидуальные задания

9.2. Найти пределы

√

− 1

+ 3

−

n − 3

n + 2

lim

;

lim

;

lim

;

22n + 1

1 + 2 + ... + n −

5 + 3

→∞

√

− n − 3

→∞

√

lim

1 + cos(πx/4)

;

lim

x − 4

;

lim

+ 1 − x

;

→

√

→−

− 3x + 10

→∞

√

+ 2 + 1

arctg(

3x)

√

− 2

(√

lim

x2 + 3

;

lim

√

)

x − sin 5x

;

x + 1

lim

→

√

+ 8

− 3

→

∞

−

;

→

x + tg 4x

2 + x

(x3

+1)/x2

10) lim

cos 4x − 1

;

11) lim

sin(x − π/3)

;

12)

lim

;

x→0

tg2 2x

x→π/3

21 − cos x

1/x3

x→∞

4 + x2

13) lim

ln(1 + x)

;

14) lim

1 + tg x cos 2x

;

15)

lim x1/x;

1 + tg x cos 5x

→

− 1

→∞

n+1

→

16)

lim

(n + 1) sin

[π/(n + 1) ]

;

17)

lim esin2[π√

n2+1]

n→∞

n sinn(π/n2)

n→∞

9.3. Вычислить предел функции

f(x) = x sin π(x + 2) x + 1

вточке x0 = −1 или показать, что он не существует.

9.4.Записать асимптотическую оценку функций

1) f(x) = ex − cos 2x; 2) f(x) = 3 x2 + 1 − 1

при x → 0 и определить порядок первой бесконечно малой относительно второй.

9.5.Исходя из определения, доказать, что функция f(x) = 3x2 − 2 непрерывна в точкеточке.x0 = 5; найти δ(ε) при ε = 0,1. Показать, что функция непрерывна в произвольной

9.6.Исследовать на непрерывность функции

1) f(x) = 2 sin x,					если 0 x π/2;	2) y = 1 41/(x−3);	3) y =		2 x .
	0,				если x < 0;
						−
		π + 4	−			−		x	4
	2		−	x,	если x > π/2;				−
				x,	если x > π/2;				−

9.7. Найти производные следующих функций:

y =

x − 1

√

;

+ 5)

+ 5

y = arcsin

√

− 2

;

√

4 +

√

8 th(x/2)

;

y =

√

4 −

√

8 th(x/2)

10)	cos x + cos y = sin(xy);
13)	y = 2t2;
	x = arctg t,

2) y = ln

ln x

;

3) y =

sin 3 cos2

;

sin 2x

4 sin 4x

5) y = (x + 8)tg ex;

6) y = 3x ln 5x;

8) y = x1919x;

9) y = x(esin x − 1);

11)

(x + y)2 − (x − y)3 = 0;

12)

ex/y − y3 = tg

;

y = ln(1 + t);

y = sin3 2t.

14)

x =

√

1 − t2

15)

x = 2 cos3

2t,

Задания для самоконтроля					285
9.9. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке x0:
1) y =	1 + ln 2	, x0 = 0; 2) y = 5 arcsin			, x0 = 2.
			5
	sin x + ln 2(cos x)			x + 2

9.10.Найти точку на кривой y = 5x2 −4x+1, касательная в которой перпендикулярна

кпрямой x + 6y + 15 = 0.

9.11.Найти первый dy и второй d2y дифференциалы функций

		1			√	√
	2						1+cos 6x

1) y = ln(x		− 1) −		;	2) y = (x + 1) arctg x, 3) y = e			.
			x

9.12.Вычислить приближенно y = x21, x = 0,998.

9.13.Показать, что функция y = x/ cos x удовлетворяет уравнению y −y tg x = sec x.

9.14.Найти производные указанных порядков

1) y = (2x + 3)

+ 1 + x, y =?;

2) y = 4

, y

=?;

3) y = lg(x + 4), y

=?;

√

arcsin √

(n)

d2x

x = et,

−

d2y

y = t + 1,

'x = arcsin t ,

=?;

y = 5t2

=?.

dy2

dx2

9.15. Найти экстремумы функций

1) y =

x3 − x4; 2) y =

√x − 1; 3) y

9.16.Найти наибольшее и наименьшее значения функций в указанных интервалах:

√√

1) y = 2x3+3x2−12x+1, [−3; 0];

2) y =

x − 1

, [−3; 0]; 3) y = arcsin x2, − 22

; 22 .

x + 1

9.17. Исследовать функции и построить их графики

1) y = ln(x2

−

4x + 8); 2) y =

x − 1

; 3) y = (x

−

1)e3x;

4) y = lim

1 +

x2 − 2x

n→∞

9.18. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции

f(x) =

x(x + 1)(x − 2)

x + 2

9.19.Найти стороны прямоугольника наибольшего периметра, вписанного в полуокружность радиуса R.

9.20.Вычислить указанные пределы, используя правило Лопиталя:

	lim	2		1	; 2) lim	xex/2	;	3) lim (tg x)tg 2x.
1)			− x − 1
	x→1 x2 − 1				x→∞ x + ex			x→π/2

9.21. Построить эскиз графика по известным результатам аналитического исследования:

1)область определения X =] − ∞; −2[ ] − 2; 2[ ]2; ∞[;

2)вертикальные асимптоты: x = −2, x = 2;

3)горизонтальные асимптоты: y = 0 (x → +∞), y = −1 (x → −∞);

4)наклонные асимптоты: нет;

5)стационарные точки: x = −4, x = 0, x = 4;

286	Индивидуальные задания
6)	точки, где y = ∞: нет;
7)	интервалы монотонности: а) возрастания: ] − ∞; −4[, ] − 2; 0[; ]4; ∞[; б) убывания:
	] − 4; −2[, ]2;4[;

8)интервалы выпуклости и вогнутости: а) выпуклости: ] − 5; −2[, ] − 2; 0[, ]5; ∞[; б) вогнутости: ] − ∞; −5[, ]0;2[, ]2;5[;

9)значения функции в некоторых точках: y(−5) = 0; y(−4) = 1; y(−3) = 0; y(0) = 0; y(3) = −1; y(4) = −2, y(5) = −1.

9.22.Записать формулу для производной n-го порядка функции y = 1/(x − 3) и

вычислить е¨ значение в точке x0 = 1. Представить функцию формулой Тейлора до n-го порядка в точке x0 = 1. Выписать остаточный член формулы Тейлора при n = 2, 3

вформе Лагранжа и в форме Коши.

Вариант № 10

10.1. Исходя из определения предела, доказать, что

lim

2n + 1

;

lim

x2 − 4x + 3

= 2.

3n − 5

n→∞

x→3

x − 3

При ε = 0,01 найти N(ε) для последовательности и δ(ε) для функции.

10.2. Найти пределы

√

√ 4

lim

(n + 1)! + (n + 3)!

;

n + 5 −

+ 2

; 3)

−

n];

lim

lim [ n(n + 5)

+ (2n − 1)

→∞√

−

+ 2)!

→∞ 1 3

→∞

n(n!

+ 3 + 5 + ...

lim

x + 1 + tg(πx/3)

;

lim

− 3x

− 28

;

lim

+ 2x

+ 2

;

5x4 + x3

x→1

cos(πx/4)

x→2

−

5x + 6

x→∞

−

− x

lim (√

√

sin 3x

lim

x2 + x + 1

lim

;

tg 2x ;

→

√

→

−

9) x

→

2 − x

+ 4

10) lim

tg x − sin x

;

11)

lim

1 − sin 2x

;

12) lim

− cos

;

13)

x→0

x2 sin 2x

;

14)

x→π/4

−

π4 − x

;

15)

x→0

2x2

;

x→∞

2x + 3

x→0

−

x→∞ x − a

lim

−

(x +1)/x

lim (2

ex2 )1/(1

cos πx)

lim

+ a

16)

n→∞

17)

n→∞

·16

· · ·(3n

−2)2 ;

(6n

cos[π√

n2+n

]

lim

· · ·

−

lim e

10.3. Вычислить предел функции

f(x) = x1 (x2e1/x2 − 1)

вточке x0 = 0 или показать, что он не существует.

10.4.Записать асимптотическую оценку функций

1) f(x) = ln(1 + √x sin 2x); 2) f(x) = 4 √x + 1 − 1

при x → 0 и определить порядок первой бесконечно малой относительно второй.

10.5.Исходя из определения, доказать, что функция f(x) = 2x2 − 3 непрерывна в точкеточке.x0 = 4; найти δ(ε) при ε = 0,1. Показать, что функция непрерывна в произвольной

10.6.Исследовать на непрерывность функции

1) f(x) =

если 0 x < 1;

2) y = 1

+ 21/(2x−1)

;

3) y = x2

+ 1 .

+ 1,

если x < 0;

1/(2x 1)

0,−

если x > 1;

− 2 −

− 9

10.7. Найти производные следующих функций:

Задания для самоконтроля

287

√

+ 1

sin

y =

(2x − 3)

− 3

;

y = ln

2x +

; 3)

y = sin 3 +

;

√

9x3

√

tg 2x

√

+ 1

− x 2

1 −

√x;

;

y = arctg

− x

y = xtg 5x

y = 21cos ln x

3 + ch x

;

y = (cos 2x)ln sin 2x;

y = e−x(2 sin 5x − 3);

y =

√

arcsin

1 + 3 ch x

10) 2 + y2 − xy = ln x;

11) sin(xy) = cos(x + y);

12)

ey − esin x =

;

√

y = sin 2t.

y = arccos t;

y = ln tg et;

13)

13) x = t

1 − t ,

14) x = arctg e ,

x = cos t

+ sin t,

10.8. Найти значения производной в точке x = x0:

1) y =

1 − x2

, x

= 1;

2) y =

arctg

2x − 1

, x

= 0.

√

1 + x

√

10.9. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке x0:

1) y = x2 + 4x − 5 − 4, x0 = 3; 2) y = cos ex − x − 5, x0 = 0.

10.10.Найти точку на кривой y = 3x2 − 5x − 11, касательная в которой параллельна прямой x − y + 10 = 0.

10.11.Найти первый dy и второй d2y дифференциалы функций

	x2	x					−
	x2	x		3x − 1			−
1) y = arctg		− 1	; 2) y = ln		;	3) y = (ln 2)x		8.
1) y = arctg			; 2) y = ln		;	3) y = (ln 2)x		8.

10.12.Вычислить приближенно y = x6, x = 2,01.

10.13.Показать, что функция y = x −x 1 +x3 удовлетворяет уравнению x(x−1)y +y =

x2(2x − 1).

10.14. Найти производные указанных порядков

ln2(1

− x), y =?;

, y =?;

1) y =

sin x

−

'x = t

− t ,

dy2 =?; 5)

'y = 6 ,

x = ln 2t,

y = 5 − 4t,

d x

10.15. Найти экстремумы функций

3) y = a3x, y(n) =?;

d2y dx2 =?.

1) y = x − ln(1 + x2); 2) y =	1 + 3x				1	x2.
	√		;	3) y = x sin x + cos x −
					4
		4 + 5x2

10.16. Найти наибольшее и наименьшее значения функций в указанных интервалах:

1) y =

(0 < x < 1)

;

2) y =

x − 3

, [2; 8];

3) y = arctg

− x

, [0; 1].

(a > 0, b > 0)

1 − x

+ 7

+ x

10.17. Исследовать функции и построить их графики

y = n→∞

1) y = x

ln x; 2) y = x − x

; 3) y = x − 1

, x > 0.

√

+ 2

; 4)

lim

√1 +

288	Индивидуальные задания

10.18. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции

f(x) = x2 + 3x + 2 2−5/(x−2). x − 2

10.19.Боковые стороны и меньшее основание трапеции равны по 10 см. Определить е¨ большее основание так, чтобы площадь трапеции была наибольшей.

10.20.Вычислить указанные пределы, используя правило Лопиталя:

lim

; 2) lim(2

x)tg(π/2); 3) lim

(ex + e−x) cos x

− x2 − 4

−

x→2 x − 2

x→1

x→0

10.21.Построить эскиз графика по известным результатам аналитического исследо-

вания:

1)область определения X =] − ∞, ∞[;

2)вертикальные асимптоты: нет;

3)горизонтальные асимптоты: нет;

4)наклонные асимптоты: y = −x/2;

5)стационарные точки: x = 0, x = 4;

6)точки, где y = ∞: x = −3, x = 3;

7)интервалы монотонности: а) возрастания: ]−3; 0[, ]3; 4[; б) убывания: ]−∞; −3[, ]0; 3[,

[4; ∞[;

8)интервалы выпуклости и вогнутости: а) выпуклости: ] − ∞; −3[, ] − 3; 3[, ]3; 5[; б) вогнутости: ]5; ∞[;

9)значения функции в некоторых точках: y(−4) = 0; y(−3) = −4; y(−2) = 0; y(0) = 4; y(4) = 0; y(5) = −2.

10.22.Записать формулу для производной n-го порядка функции y = √x и вычис-

лить е¨ значение в точке x0 = 2. Представить функцию формулой Тейлора до n-го порядка в точке x0 = 2. Выписать остаточный член формулы Тейлора при n = 2, 3 в форме Лагранжа и в форме Коши.

Вариант № 11

11.1. Исходя из определения предела, доказать, что

1) lim

n→∞

При ε = 0,01 найти N(ε) 11.2. Найти пределы

4n3 − 2n + 1

1) lim √ ;

n→∞√ n n2 − 2

4)	lim			x2 + 5 − 1		;
			2 sin(π/x)
	x→2
		√			− 1
7)	lim			x2 − 3		;
				x3 − 4x
	x→2
10) lim			cos 4x − cos 3x				;
	x→0			x sin x

√

13)lim x cos x;

x→0
16) n→∞		3n	;
lim	n	(2n + 1)!!
lim

−

lim

3x2 − 2x − 1

−

−n + 1

x + 1/3

→−

1/3

для предела последовательности и δ(ε) для предела функции.

lim

√

− 9n2

;

lim

1 − 2 + ... + (2n − 1) − 2n;

n→∞

√9n4 + 1

√9n8 + 1

−

√

+ 2

lim

− 2x

+ x − 2

;

lim

;

(x + 1)2

x→2

x2 − 3x + 2

x→∞

→ x −

−

→

x − x2/(x+1)

lim

;

lim

sin[(x − π/3)/2]

;

x 1

1 x2

x π/3

− 1

π/3

x→0 sin x + tg xcosec2 x

x→∞ x2

11)

lim

x + arctg x

;

12)

lim

+ 1

;

14)

x→0 3 − cos x

;

15)

x→0

;

lim

lim (1 + sin2 √

)1/3x

17)

lim

1/2

]

n→∞ 1 + sin[π(n

+ 1)

Задания для самоконтроля	289
11.3. Вычислить предел функции

f(x) = exp

π 3

x + 3

в точке x0 = −3 или показать, что он не существует. 11.4. Записать асимптотическую оценку функций

	√		√
1) f(x) =	3	1 + x −	3	3x + 1; 2) f(x) = tg x − sin x
1) f(x) =		1 + x −		3x + 1; 2) f(x) = tg x − sin x

при x → 0 и определить порядок первой бесконечно малой относительно второй.

11.5.Исходя из определения, доказать, что функция f(x) = 5x2 + 1 непрерывна в точкеточке.x0 = 7; найти δ(ε) при ε = 0,1. Показать, что функция непрерывна в произвольной

11.6.Исследовать на непрерывность функции

1) f(x) =	x2,			если 0 x < 1;	2) y = 1 42/(x−3);	3) y = 2			.
	−x,			если x < 0;				1
	2		x,	если x 1;	−
	2	−	x,	если x 1;	−		x − 3x + 2
		−

11.7. Найти производные следующих функций:

1) y = (1 − x2)

;

2) y = ln arcsin √1 + e2x;

3) y = ln 2 + sin 3x;

x3 + x

tg 6x

y = arctg

tg x − ctg x

;

y = xsin 3x

;

y = 4ln cos 5x

;

√2

√

7) y = −

sh x

th 5x;

tg x

;

9) y = (ctg

;

2 ch x

y = (x

+ 1)

x) sin e

10) arccos(xy) = ln(x + y);

11) ey sin y − ex cos x = 0;

12) 5x + 5y = 5x+y;

14)

13)

√−

13)

√

1 + t

y = 1/ t;

'y =

x =

√t

x = ln

1 − t,

x = ctg t,

y =

cos2 t

−

t ;

11.8. Найти значения производной в точке x = x0:

1) y = 2 cos x − 3 ln tg

, x0 =

; 2) y = arctg x2 − 1 + ln x, x0 = √2.

11.9. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке x0:

√

1) y = ln

1 − 3 − 4x

, x

= 0; 2) y =

−

ex(x4

+ 2x2 + 2), x

= 0.

−

11.10.Найти точку на кривой y = −x2 + 7x + 16, касательная в которой параллельна прямой y = 3x + 4.

11.11.Найти первый dy и второй d2y дифференциалы функций

	√				1	; 3) y = earcsin √		.
	x + x + 1
1) y = ln	x + x + 1	; 2) y = sin2 ln					1−x2
1) y = ln	2x	; 2) y = sin2 ln					1−x2
	2x				x
11.12. Вычислить приближенно y =			√x2, x = 1,03.
			3
11.13. Показать, что функция y =			3	x cos x + 3x удовлетворяет уравнению xy
11.13. Показать, что функция y =			−	x cos x + 3x удовлетворяет уравнению xy					=
y + x2 sin x.			−

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 3329 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.05.20155.26 Mб112Credstv_rasch_MathCAD.doc
#
21.09.201918.53 Mб5dachet element.doc
#
29.05.20153.5 Mб123dejatelnos (1).pdf
#
21.09.201964.51 Кб0Delphi отчёт.doc
#
15.11.2019158.72 Кб3Diagramma_otchet.doc
#
29.05.20153.1 Mб51DIF_calc_2013.pdf
#
29.05.20152.58 Mб46Diplom.docx
#
29.05.20155.95 Mб19Diplom_na_pechat.doc
#
29.05.2015753.61 Кб65DisMathTPU.pdf
#
29.05.2015753.84 Кб64DisMathTPU_new.pdf
#
29.05.20158.69 Mб33dissertatsia.doc