DIF_calc_2013

Следствие 14.1.1. Постоянный множитель можно вынести за знак производной:

Действительно, положив в (14.2) v(x) = C и учитывая, что (C) = 0, приходим к (14.5).

Следствие 14.1.2. Производная линейной комбинации конечного числа дифференцируемых функций равна такой же линейной комбинации их производных:

[C1u1(x) + C2u2(x) + ... + Cnun(x)] = C1u1(x) + C2u2(x) + ... + Cnun(x). (14.6)

Следствие 14.1.3. Произведение конечного числа дифференцируемых функций u1(x), u2(x), ..., uk(x) дифференцируется по правилу

[u1(x)u2(x) · · · uk(x)] = u1(x)u2(x) · · · uk(x) + u1(x)u2(x) · · · uk(x) + ...

+ u1(x)u2(x) · · · uk(x). (14.7)

Действительно, последовательно применяя (14.2) к левой части этого равенства, убеждаемся в справедливости (14.7).

Следствие 14.1.4. Все правила вычисления производных (14.1)–(14.7) с помощью соотношения dy = y dx обобщаются на вычисление дифференциалов:

d[Cu(x)] = Cdu(x);

d[C1u1(x) + C2u2(x) + ... + Cnun(x)] = C1du1(x) + C2du2(x) + ... + Cndun(x); d[u1(x)u2(x) · · · un(x)] = du1(x)u2(x) · · · un(x) + u1(x)du2(x) · · · un(x) + ...+

+ u1(x)u2(x) · · · dun(x).

Пример 14.1. Найти f (x), f (0), f (2) от функции

x

f(x) = 2x − 1.

Решение. Найд¨ем производную:

Вычислим производную в заданных точках:

Пример 14.2. Показать, что

Решение. Применив правило дифференцирования частного (14.3), с уч¨етом того, что (sin x) = cos x, (cos x) = − sin x (см. пример 13.4), получим

♦ Теорема 14.1 определяет правила вычисления производных от функций, полученных из дифференцируемых функций посредством арифметических операций. На следующем этапе найд¨ем формулы, позволяющие вычислить производные от сложных функций, т.е. полученных в результате композиции дифференцируемых функций.

Теорема 14.2 (о дифференцировании сложной функции). Если функции y = f(u), u = ϕ(x) дифференцируемы в точках x0, u0 = ϕ(x0), то сложная функция y = f(ϕ(x)) дифференцируема в точке x0, прич¨ем

Доказательство. Сложная функция y = f(ϕ(x)) как композиция дифференцируемых, а следовательно, и непрерывных в точке x0 функций, согласно теореме 12.6, также является непрерывной в этой точке. Как непрерывная функция она определена в некоторой окрестности точки x0. Из дифференцируемости функции y = f(u) в точке u0, согласно теореме 13.3 о дифференцируемости функции, следует, что существует окрестность этой точки S(u0, ε), в которой она имеет представление

Так как функция u = ϕ(x) непрерывна в точке x0, то существует δ-окрестность точки x0, такая что функция u = ϕ(x) принадлежит ε-окрестности точки u0:

δ = δ(ε) : x S(x0, δ) ϕ(x) S(u0, ε).

Поэтому, подставив в равенство (14.10) ϕ(x) вместо u, получим равенство

Таким образом, из (14.15), (14.16) и теоремы о дифференцируемой функции следует, что существует производная y (x0) и справедлива формула (14.9) для производной сложной функции.

Следствие 14.2.1. Правило дифференцирования сложной функции y = f(u), u = ϕ(x) (14.9) можно записать в виде

Действительно, заменив в формуле

f (ϕ(x)) = f (ϕ(x))ϕ (x),

ϕ(x) на u, получим (14.17).

Следствие 14.2.2. Правило дифференцирования сложной функции распространяется на композицию любого конечного числа функций. Например, для тр¨ех функций y = f(u), u = ϕ(v), v = ψ(x) имеем

Следствие 14.2.3 (свойство инвариантности первого дифференциала).

Дифференциал функции y = f(x) имеет один и тот же вид

как в случае, когда x — независимая переменная, так и в случае, когда x — дифференцируемая функция какой-либо другой переменной.

Действительно, пусть x = ϕ(t) — дифференцируемая функция переменной t, тогда y = f(x(t)) — сложная функция и

dy = f (ϕ(t))ϕ (t)dt,

но так как ϕ (t)dt = dx, то

dy = f (x)dx,

т.е. формула (14.18) оста¨ется справедливой при замене x на функцию ϕ(t).

Пример 14.3. Дана сложная функция y = (x3 +1)4 или y = u4, u = x3 +1. Найти dy/dx.

Решение. Воспользуемся формулой (14.9). Тогда

dudy = (u4)u = 4u3,

а

dudx = (x3 + 1)x = 3x2,

т.е.

yx = yuux = 4u33x2 = 4(x3 + 1)33x2 = 12x2(x3 + 1)3.

Пример 14.4. Найти производные функций y = ln(x2 − 2x) и y = sin √x.

Решение. В примере 13.5 было показано, что (ln x) = 1/x. Тогда, согласно правилу дифференцирования сложной функции,

√

Пример 14.5. Продифференцировать функции y = (x − x3)100, y = 3 − x4.

Решение. На основании формулы (14.17) имеем

y = [(x − x3)100] = 100(x − x3)100−1(x − x3) = 100(x − x3)99(1 − 3x2).

Решение. Пусть x > 0, тогда |x| = x и loga |x| = loga x. Из примера 13.5 следует, что (loga x) = 1/(x ln a), т.е. формула (14.19) верна при x > 0.

Пусть x < 0, тогда loga |x| = loga(−x). Применив правило дифференцирования сложной функции, найд¨ем

т.е. формула (14.19) верна и при x < 0. Следовательно, формула (14.19) верна для всех x R, кроме x = 0.

В заключение раздела, посвященного правилам дифференцирования явно заданных функций, сформулируем следующую теорему.

Теорема 14.3 (о дифференцировании обратной функции). Если функция y = f(x) обратима в окрестности S(x0, δ) точки x0 и существует конечная производная f (x0) = 0, то функция x = ϕ(y), обратная к функции y = f(x), дифференцируема в точке y0 = f(x0), прич¨ем

Доказательство. Если y = f(x) обратимая в окрестности S(x0, δ) функция, то, согласно определению обратной функции, имеет место равенство

Продифференцировав соотношение (14.21) с уч¨етом того, что правая его часть является сложной функцией, получим

dxdx = 1 = ϕyfx.

Следствие 14.3.1. Для пары взаимно обратимых функций справедлива формула

Действительно, если функции y = f(x) и x = ϕ(y) взаимно обратимы на некотором множестве, содержащем точку x0, то, обозначив, как обычно, аргумент обратной функции буквой x, а е¨ значение буквой y, из (14.20) получим (14.22).

Формула (14.20) имеет простой физический смысл. Если ϕ (y0) рассматривать как скорость изменения переменной x по отношению к переменной y, а f (x0) как скорость изменения переменной y по отношению к переменной x, то формула (14.20) выражает тот факт, что эти скорости являются взаимно обратимыми.

Чтобы дать геометрическую интерпретацию формулы (14.20), предположим, что f (x0) = 0. Рассмотрим график функции y = f(x) в окрестности точки x0 (рис. 60). Пусть M — точка с координатами M(x0, f(x0)), тогда через эту точку проходит касательная к графику y = f(x) с угловым коэффициентом наклона kα = tg α = f (x0), где α — угол между касательной и положительным направлением оси Ox. Если рассматривать y как независимую переменную, а x как функцию от y, то кривая, заданная уравнением y = f(x), будет графиком и обратной функции x = ϕ(y)

с касательной , которая получится при замене x → y, y → x. Если α — угол, образованный касательной и осью Ox, то через β обозначим угол, образованный касательной и осью Oy. Тогда kβ = tg β = ϕ (y0). Так как α + β = π/2, то

tg β = 1/ tg α.

Отсюда следует, что угловые коэффициенты касательных и связаны соотношением

1 kα = kβ .

Это соотношение и является геометрической интерпретацией равенства ϕ (y0) = 1/f (x0).

Решение. 1) Если y = ϕ(x) = arcsin x, |x| < 1, то обратная функция x = f(y) = sin y, где |y| < π/2. Согласно правилу (14.22) дифференцирования взаимно обратных функций, имеем

3) Если y = arctg x, x R, то x = tg y, |y| < π/2. Применив правило диффе-

5) Если y = ln x, x > 0, то обратная функция есть x = ey. Согласно правилу (14.22) дифференцирования взаимно обратных функций, имеем

Заметим, что этот же результат был получен в примере 13.5 исходя из определения производной. В примере 14.7 было получено его обобщение: (ln |x|) = 1/x, с использованием правила дифференцирования сложной функции.

Пример 14.9. Найти производную функции y = arcsin √x.

Решение. С уч¨етом результатов примера 14.8 и согласно правилу дифференцирования сложной функции (14.9), получим

Пример 14.10. Найти производную функции y = arctg(cos x).

Решение. С уч¨етом результатов примера 14.8 и согласно правилу дифференцирования сложной функции

Решение. С уч¨етом результатов примера 14.8 и согласно правилу дифференцирования сложной функции, запишем

14.2.Таблица производных. Техника дифференцирования

Непосредственно из определения производной и с помощью правил дифференцирования в примерах 13.4, 13.5, 14.6–14.8 мы нашли производные основных элементарных функций. Оформим теперь полученные результаты в виде таблицы, которую принято называть таблицей производных. В левом столбце таблицы указаны производные функций независимой переменной x, а в правом — компо-