DIF_calc_2013

210 Глава 4. Дифференциальное исчисление

Ещ¨е одной формулой из таблицы производных, имеющей широкое применение,

которую зачастую называют ещ¨ логарифмической производной функции u(x). Использование этой формулы при предварительном логарифмировании дифференцируемой функции называется логарифмическим дифференцированием.

С помощью логарифмического дифференцирования можно значительно упростить процедуру вычисления производной от показательно-степенной функции; функций, содержащих большое число сомножителей, и т.п. Следующие примеры иллюстрируют эту возможность.

Пример 14.13. Показать, что производная показательно-степенной функции находится по правилу

т.е. состоит из двух слагаемых, первое из которых равно производной показательной функции в предположении, что u(x) = const, а второе — производной степенной функции в предположении, что v(x) = const.

Решение. Положим

и воспользуемся методом логарифмического дифференцирования. Для этого прологарифмируем равенство (14.27):

ln y(x) = v(x) ln u(x).

Продифференцировав это соотношение с уч¨етом логарифмической производной (14.25), получим

или

y (x) = y(x) v (x) ln u(x) + v(x)u (x) . u(x)

Подставив сюда y(x) из (14.27) и раскрыв скобки, найд¨ем

(u(x)v(x)) = u(x)v(x)v (x) ln u(x) + v(x)uv(x)−1(x)u (x),

что и доказывает справедливость (14.26).

Пример 14.14. Вычислить производную функции

Решение. I способ. Использование правил дифференцирования и таблицы производных да¨ет

Решение. Так как

ln y1 = x ln x, ln y2 = xx ln x = y1 ln x,

то

y1 = y1(ln x + 1) = xx(ln x + 1);

y2 = y2 y1 ln x + y1 x1 = xxx xx(ln x + 1) ln x + xx x1 = xxx+x−1[x ln x(ln x + 1) + 1].

Пример 14.16. Для функции y = xx найти y (1).

Решение. Согласно результатам примера 14.15,

y = (xx) = xxx−1 + xx ln xx = xx + xx ln x = xx(1 + ln x)

и y (1) = 1 + ln 1 = 1.

Пример 14.17. Показать, что если дифференцируемая функция f(x) ч¨етная, то е¨ производная f (x) — неч¨етная, а если f(x) неч¨етная, то f (x) — ч¨етная.

Решение. Если f(x) — ч¨етная функция, то

f(−x) = f(x).

Дифференцирование этого равенства да¨ет

f (−x)(−1) = f (x)

или

f (−x) = −f (x),

но это соотношение является определением неч¨етной функции, что и требовалось показать. Аналогично для неч¨етной функции

f(−x) = −f(x),

f (−x)(−1) = −f (x)

или

f (−x) = f (x),

т.е. f (x) — ч¨етная функция, что и требовалось показать.

14.3.Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически

Если дифференцируемая функция y = f(x) задана неявно уравнением F (x, y) = 0, то, продифференцировав тождество F (x, f(x)) ≡ 0 как сложную функцию, най- д¨ем производную dy/dx = f (x). Следующий пример поясняет эту возможность.

Пример 14.18. Продифференцировать функции

a) y2 − 2px = 0;

б) x3 + y3 − 3xy = 0;

в) sin(x − y) − x − y − 3 = 0.

Решение. а) Продифференцируем обе части по x, считая, что y = y(x). Воспользовавшись таблицей производных и правилами дифференцирования, получим

(y2) − (2px) = 0,

т.е. 2yy − 2p = 0, откуда следует, что y = p/y. б) Аналогично

(x3) − (y3) − (3xy) = 0,

т.е.

3x2 + 3y2y − 3y − 3xy = 0,

откуда

y = y − x2 . y2 − x

в) Аналогично [sin(x − y)] − 1 − y = 0, т.е. cos(x − y)(1 − y ) − 1 − y = 0, откуда y [1 + cos(x − y)] = cos(x − y) − 1 и, следовательно,

y = cos(x − y) − 1. 1 + cos(x − y)

15.Производные и дифференциалы высших порядков

15.1. Производные высших порядков

Пусть функция y = f(x) имеет производную

yx = dxdy = f (x).

Эта производная от заданной функции может оказаться, в свою очередь, непрерывной и дифференцируемой функцией в некотором интервале ]a, b[. Поэтому можно говорить о производной от первой производной.

Производная от первой производной называется второй производной и символически обозначается так

Если вторая производная также дифференцируема, то можно говорить о производной от второй производной.

Производную от второй производной называют производной третьего порядка и обозначают через f (x) = [f (x)] .

Вообще производной n-го порядка функции y = f(x) называют производную от производной (n − 1)-го порядка:

y(n) = [f(n−1)] = f(n).

Итак, чтобы найти, например, производную пятого порядка от заданной функции, нужно найти 1-ю, 2-ю, 3-ю, 4-ю, а пятая производная есть производная от четвертой.

Функцию, имеющую в каждой точке множества X производные до n-го порядка включительно, называют n раз дифференцируемой на множестве X.

Пример 15.1. Найти y(5) от функции y = x4.

Решение. По правилу дифференцирования степенной функции

y = (x4) = 4x3; y = (4x3) = 12x2;

y = (12x2) = 23x; y(4) = (24x) = 24; y(5) = 24 = 0.

Пример 15.2. Найти y(n) от функции y = eax.

Решение. Чтобы найти n-ю производную заданной функции, нужно найти первую, вторую, третью производные. Может быть, этого будет достаточно, чтобы подметить закон, определяющий n-ю производную.

Для нашего примера

y = (eax) = aeax, y = a2eax, y = a3eax, y(n) = aneax.

Пример 15.3. Найти n-ю производную функции y = sin x.

Решение. Согласно правилам дифференцирования, последовательно получим y = (sin x) = cos x = sin x + π2 ;

y = (cos x) = − sin x = sin x + 2π2 ;

Иногда нужно указывать ту переменную, по которой производится дифференцирование. Тогда пишут yxx или yxxx.

15.2.Механический смысл второй производной

Пусть движение материальной точки по прямой описывается законом S = f(t). Известно, что производная от пути по времени есть скорость, т.е. если S = f(t), где S – пройденный путь, а t – время, то

dSdt = f (t) = v(t).

Найд¨ем вторую производную, которая представляет собой lim v/ t. Отноше-

t→0

ние v/ t характеризует быстроту изменения скорости за промежуток времени t и да¨ет среднее ускорение за этот промежуток, а предел этого отношения да¨ет

ускорение a рассматриваемого движения в момент времени t:

Скорость St = v и ускорение St = a играют важную роль в физике и механике. Так, по закону Ньютона ускорение пропорционально действующей силе.

Кроме того, первая и вторая производные имеют важные геометрические приложения, с которыми мы познакомимся позднее.

Пример 15.4. Известно, что высота S, которой достигает за t секунд тело, брошенное вертикально вверх со скоростью v м/с, да¨ется формулой

gt2 S = v0t − 2 .

216 Глава 4. Дифференциальное исчисление

а) Найти скорость и ускорение в любой момент; б) сколько времени тело поднимается до наибольшей высоты; в) какова эта наибольшая высота;

г) найти скорость в конце второй секунды и наибольшую высоту при v0 = 100 м/с.

Решение. а) Скорость v есть производная от пути по времени:

а ускорение есть вторая производная по времени:

a = d2S = (v0 − gt) = −g. dt2 t

б) При тех t, для которых v = v0 − gt > 0, тело летит вверх, а при тех, для которых v = v0 − gt < 0, тело падает. Наибольшей высоты тело достигнет в тот момент, когда скорость обращается в нуль: v = v0 − gt = 0, откуда t = v0/g.

в) Если в уравнение движения подставить найденное значение t = v0/g, то мы получим наибольшую высоту, которой достигнет тело: Smax = v2/2g.

г) Если v0 = 100 м/с, то скорость в конце второй секунды будет равна

v|t=2 = v0 − 2g = 100 − 2 · 9,81 ≈ 80,4 м/с

и наибольшая высота

Smax = 10000/2 · 9,8 ≈ 510 м.

15.3.Дифференциалы высших порядков

Выше мы выяснили, что дифференциал непрерывной и дифференцируемой функции определяется соотношением

dy = f (x)dt.

Как мы знаем, дифференциал dx независимой переменной совпадает с е¨ произвольным приращением x. Значит, эта величина есть число, не зависящее от x. Зафиксируем dx, т.е. будем считать, что dx некоторым постоянным числом. Тогда dy будет функцией от x, и можно поставить вопрос о нахождении дифференциала этой функции.

Дифференциал от первого дифференциала есть дифференциал второго порядка и символически обозначается так:

d2y = d(dy).

Итак,

d2y = d(dy) = d[f (x)dx] = [f (x)dx] dx = f (x)dx2,

т.е. дифференциал второго порядка равен второй производной, умноженной на

dx2.

Сам дифференциал dy функции y = f(x) обычно называют дифференциалом первого порядка, или первым дифференциалом, функции.

218 Глава 4. Дифференциальное исчисление

Формулы (15.5), (15.7), (15.10) выведены в примерах 15.1–15.3. Остальные можно получить аналогично методом математической индукции.

Решение. 1) Воспользуемся формулой Лейбница, учитывая при этом, что (x2) = 2x, (x2) = 2, (x2) = . . . = (x2)(n) = 0, и формулу (15.10). Получим

2) Поскольку (1−2x2) = −4x, (1−2x2) = −4, (1−2x2) = . . . = (1−2x2)(n) = 0,

Пример 15.7. Найти d2y/dx2 для первых двух параметрически заданных функций из примера 14.19.

Решение. Как следует из примера 14.19, для случая а): x = ln(1+t2), y = t−arctg t имеем

Для случая б): x = 3 log2 ctg t, y = tg t + ctg t, мы в примере 14.19 нашли

Пример 15.8. Показать, что для параметрически заданной функции x = ϕ(t), y = ψ(t) справедлива формула

и с е¨ помощью найти вторую производную функции в): x = e−t, y = e2t из примера 14.19.