DIF_calc_2013

Теорема 9.3. Всякую функцию, имеющую конечный предел

lim f(x) = A,

x→a

в некоторой окрестности точки a можно представить суммой

если α(x) — произвольная бесконечно малая при x → a функция:

lim α(x) = 0,

x→a

а любую функцию f(x), имеющую в этой точке бесконечный предел:

lim f(x) = ∞,

x→a

т.е. бесконечно большую функцию, можно в некоторой окрестности этой точки представить отношением

где α(x) — бесконечно малая при x → a функция и α(x) = 0 в некоторой окрестности этой точки a.

Справедливо и обратное утверждение.

Доказательство. Если lim f(x) = A, то по определению |f(x) − A| < ε при

x→a

0 < |x − a| < δ. Обозначив f(x) − A = α(x), получим, что |α(x)| < ε при 0 < |x − a| < δ, но это и означает, что α(x) — бесконечно малая функция. Следовательно,

f(x) = A + α(x).

Обратно, если f(x) = A + α(x) и α(x) – бесконечно малая функция при x → a, то |α(x)| < ε при 0 < |x − a| < δ. Поскольку α(x) = f(x) − A, то |f(x) − A| < ε

при 0 < |x − a| < δ, но это и означает, что lim f(x) = A.

x→a

При любом сколь угодно большом числе ε > 0 неравенство 1/|α(x)| > ε будет выполнено, если |α(x)| < 1/ε. Последнее неравенство выполняется для всех значений α(x), начиная с некоторого ε, поскольку α(x) → 0.

♦ Если α(x) – бесконечно малая, а f(x) – бесконечно большая при x → a, то условимся писать

Другими словами: если знаменатель f → ∞, то дробь 1/f – бесконечно малая; если знаменатель α стремится к нулю, то дробь 1/α – бесконечно большая.

Теорема 9.4. Сумма, разность и произведение конечного числа бесконечно малых при x → a функций есть бесконечно малая функция при x → a.

Доказательство. Пусть α1(x) и α2(x) — две бесконечно малые при x → a. Согласно определению бесконечно малой существуют такие положительные числа δ1

соответственно.

Выбрав теперь из чисел δ1 и δ2 наименьшее, для которого ε1 = ε2 = ε/2, получим, что для δ = min(δ1, δ2) и всех x: |x − a| < δ из (9.27) следует

Это, в свою очередь, означает, что функция α1(x)α2(x) является бесконечно малой при x → a.

Обобщение доказательства на любое конечное число слагаемых и сомножителей проводится аналогично. Действительно, функция [α1(x) + α2(x)]α3(x), где αi

— бесконечно малые при x → a, также является бесконечно малой при x → a.

♦ Заметим, что теорема 9.3 не рассматривает отношение двух бесконечно малых. Этот вопрос мы рассмотрим позднее, при раскрытии неопредел¨енностей

α1(x)/α2(x) (или 0/0).

Далее будет полезно ещ¨ одно свойство бесконечно малых функций.

Теорема 9.5. Произведение бесконечно малой при x → a функции α(x) на ограниченную в некоторой окрестности точки a функцию f(x) есть бесконечно малая при x → a функция f(x)α(x).

Доказательство. Поскольку α(x) — бесконечно малая при x → a, а f(x) — функция, ограниченная в окрестности точки a, то для последней существует число M > 0, для которого можно указать окрестность этой точки, в которой |f(x)| < M. Кроме того, для всякого ε > 0 можно указать проколотую окрестность точки a, в которой выполняется неравенство |α(x)| < ε/M.

В наименьшей из этих окрестностей будет выполняться неравенство

|α(x)f(x)| < |α(x)| |f(x)| < Mε M = ε,

которое означает, что α(x)f(x) — бесконечно малая при x → a функция, что и требовалось показать.

♦ Никакая постоянная величина, отличная от нуля, как бы мала она ни была, не может быть бесконечно малой, ибо предел постоянной равен самой постоянной.

9.4.Локальные свойства функций, имеющих предел

Вэтом разделе речь пойд¨ет о конечных пределах функций в заданной точке

x → a.

♦ Отметим, что все сформулированные ниже утверждения останутся справедливыми при замене символа x → a одним из символов x → a ± 0, x → ±∞,

x → ∞.

Как и выше, предполагается, что функция определена в некоторой окрестности или полуокрестности точки a, не содержащей саму точку a.

Теорема 9.6. Если функция f(x) имеет конечный предел в точке a, то существует такая проколотая окрестность этой точки, в которой функция f(x) ограничена.

Согласно определению предела, по заданному ε > 0 можно установить такое δ > 0,

Следствие 9.6.1. Если предел A в (9.29) не равен нулю, то найд¨ется такая проколотая окрестность точки a, в которой значения функции f(x) имеют тот же знак, что и число A.

Действительно, положив в (9.30) ε = |A|/2 > 0, имеем

Отсюда, если

A > 0, то из левого неравенства (9.31) следует, что

Если же

A < 0, то из правого неравенства (9.31) следует, что

♦ Следствие 9.6.1 часто называют свойством сохранения знака предела.

Теорема 9.7. Если функция f(x) в точке a имеет предел, отличный от нуля,

˙( )

то существует проколотая окрестность S a, δ этой точки, в которой функция 1/f(x) является ограниченной.

В силу определения предела по заданному ε = |A|/2 можно найти число δ > 0

такое, что для всех ˙ ( ) выполняется неравенство x S a, δ

|f(x) − A| < |A2 |.

Отсюда и из известного неравенства

|A| − |f(x)| |f(x) − A|

Но это и означает, что функция 1 ( ) ограничена на множестве ˙ ( ).

/f x S a, δ

9.5.Теоремы о пределах

Сформулируем теоремы о вычислении пределов функций, полученных в результате арифметических действий над другими функциями. Обратим внимание на то, что в рамках определения Гейне соответствующие теоремы достаточно лишь сформулировать, поскольку аналогичные утверждения уже доказаны для последовательностей и, стало быть, нет необходимости их заново доказывать. Тем не менее, мы привед¨ем их доказательства, исходя из определения Коши, поскольку методы и приемы, используемые в этих доказательствах, оказываются полезными в технике вычисления пределов функций и в других приложениях.

Теорема 9.8. Функция f(x) при x → a не может иметь более одного предела.

Доказательство. Предположим противное: пусть f(x) при x → a имеет два различных предела

Согласно теореме 9.3, из этих равенств следует, что

f(x) = A1 + α1(x), f(x) = A2 + α2(x),

где α1(x) и α2(x) — бесконечно малые, поэтому

A1 + α1(x) = A2 + α2(x)

или

A1 − A2 = α2(x) − α1(x).

Последнее равенство невозможно, так как в левой части стоит постоянная, отличная от нуля, а в правой — бесконечно малая функция. Таким образом, сделанное предположение неверно, а, значит, A1 = A2.

Действительно, первая формула справедлива как произведение конечного числа сомножителей. С е¨ помощью можно записать

что и доказывает справедливость второго соотношения.

Теорема 9.10. Если при x → a для конечных пределов двух функций выполняется неравенство

˙( )

то существует такая проколотая окрестность S a, δ этой точки, в которой

f1(x) > f2(x).

Доказательство. Согласно предыдущей теореме, имеем

Отсюда, согласно свойству сохранения знака предела (следствие 9.6.1), существует проколотая окрестность S(a, δ), в которой

f1(x) − f2(x) > 0 x S(a, δ),

что и требовалось доказать.

то

Доказательство. Предварительно заметим, что эту теорему нельзя считать обратной к предыдущей, поскольку строгое неравенство между функциями при переходе к пределу, вообще говоря, не сохраняется. Само доказательство провед¨ем от противного. Предположим, что

116 Глава 3. Теория пределов

Но тогда, согласно предыдущей теореме, можно выделить окрестность ˙( ),

S a, δ

целиком расположенную в ˙( ), в которой выполняется неравенство

S a, δ

f1(x) < f2(x),

что полностью противоречит условию теоремы, доказывая е¨ справедливость. ♦ Положив f1(x) = 1 + x2, f2(x) = 1 − x2, имеем 1 + x2 > 1 − x2, x = 0, но

то существует

lim f2(x) = A.

x→a

Доказательство. Запишем неравенство (9.36) в виде

f1(x) − A f2(x) − A f3(x) − A.

Из существования пределов (9.37) следует, что для любого ε > 0 существуют две

или

|ex − ea| < ε.

Это неравенство при выполнении условия |x − a| < 1/N = δ означает существование предела

lim ex = ea.

x→a

Для доказательства второго соотношения воспользуемся оценками (см. при-

Пусть ε > 0 — произвольное число, не превосходящее 0,5. Тогда существует такой номер N, что

Это означает, что | ln x − ln a| < ε, если только |x − a| < aε, т.е.

lim ln x = ln a.

x→a

Теорема 9.13. Если существуют конечные пределы

прич¨ем

lim v(x) ln[u(x)] = B ln A,

x→a

то для показательно-степенной функции справедливо соотношение

Доказательство. Согласно условию теоремы и в силу (9.39) леммы 9.1, имеем

lim v(x) ln[u(x)] = B ln A.

x→a

Тогда, согласно определению показательно-степенной функции и на основании (9.38) леммы 9.1, можем записать

что и требовалось доказать.

♦ Можно также показать, что если существует предел

lim v ln u = C,

x→0

конечный или бесконечный, то lim uv = uC при конечном C, нулю при C = −∞ и

x→0

бесконечности при C = +∞.