DIF_calc_2013

Доказательство. Не умаляя общности, систему сч¨етных множеств A1, A2... считаем дизъюнктной (множества не пересекаются).

Пусть A1, A2, ..., AN – сч¨етные дизъюнктные множества. Последовательность

∞

присвоения номеров элементам суммарного множества A = Aj , т.е. его пред-

j=1

ставление в виде (5.2), указана стрелками:

. . . . . .

Теорема 5.5. Если элементы множества A определяются мультииндексом ν, ν ZN+ , т.е.

ν = (ν1, ν2, . . . , νn), νk = 0, ∞,

то множество A = {aν1,ν2,ν3,...,νn } сч¨етно.

Доказательство провед¨ем по индукции. При n = 1 (одномерный мультииндекс) теорема очевидна.

Предположим, теорема верна для n = m. Покажем, что она верна при n = m + 1, т.е. для множества

A = {aν1,ν2,ν3,...,νm,νm+1 }.

Зафиксируем произвольное значение индекса νm+1 = νm(i)+1. Тогда множество

Ai = {aν1,ν2,...,νm,νm(i)+1 }

зада¨ется m-мерным мультииндексом ν = (ν1, ν2, ..., νm) и, следовательно, является

сч¨етным.

∞

Множество A = Ai есть сумма сч¨етного множества сч¨етных множеств. По

i=1

теореме 5.4 множество A сч¨етно.

Эквивалентность бесконечных множеств

Теорема 5.6. Если к бесконечному множеству M прибавить конечное или сч¨етное множество A, то

M A M.

Доказательство. Следуя теореме 5.1, выделим из бесконечного множества M сч¨етное подмножество D. Тогда множество M можно представить в виде

а множество M A – в виде

Две дроби равны, когда равны их соответствующие десятичные знаки. Следовательно, β U и не входит в последовательность (5.9), что доказывает несч¨етность

U(невозможность представить все элементы U в виде (5.8)).

♦Некоторые числа можно задать двумя способами, например

1

2

= 0,5000... = 0,4999 . . .

Если потребовать в доказательстве bi = 0,9, то отмеченная двузначность устраняется и доказательство становится строгим.

5.3.Мощность множества

Введ¨ем одно из самых важных понятий теории множеств.

Понятие мощности множества есть обобщение на произвольное множество понятия числа элементов, характеризующего конечные множества. Мощность множества определяется посредством абстракции как то общее, что есть у всех множеств, эквивалентных данному (в том смысле, что отношение ϕ (4.2) есть биекция).

Множества A и B называются равномощными, если они эквивалентны (существует биекция f : A → B).

Равномощность обобщает понятие равночисленности конечных множеств. На некоторой системе A множеств A, B, C, ... равномощность является отно-

шением эквивалентности и разбивает A на непересекающиеся классы {K} равномощных множеств.

Для обозначения класса K равномощных (эквивалентных) множеств удобно ввести специальный термин: мощность или кардинальное число.

Множества A и B имеют одинаковую мощность или кардинальное число, если они эквивалентны (A B).

Множество A называется множеством мощности континуум, если оно эквивалентно сегменту (отрезку) вещественной оси.

Стандартные обозначения

=

Мощность множества A обычно обозначается как m(A) или A. Для обозначения мощности сч¨етных множеств используется символ 0, называемый алефнуль. Так, для мощности множества натуральных чисел N = {1, 2, 3, ..., n, ...} запишем m(N) = 0. Для обозначения мощности континуум используется символ

C: m([0, 1]) = C.

Мощность конечных множеств (натуральные числа) можно сравнивать (установить отношения =, <, > .)

Простейшие свойства мощности

Все предыдущие рассуждения о мощности представляют собой реальный интерес, если мощностей «много» (бесконечно много).

Покажем в частности, что для любого множества всегда можно построить множество большей мощности, т.е. невозможно задать множество наибольшей мощности.

Теорема 5.8. Если задано некоторое множество A, то множество M, элементами которого являются все подмножества множества A, имеет мощность большую, чем A.

Доказательство. Очевидно, что для мощностей множеств A и M справедливо соотношение m(M) m(A), так как в M имеется одноэлементное подмножество множества A.

Допустим, что справедливо равенство m(M) = m(A). Тогда существует взаимно однозначное соответствие между элементами множества A = {a} и элементами множества M = {B}, где B A (f : a → B). Обозначим через B0 объединение элементов множества A, не принадлежащих тем подмножествам, которым они соответствуют при взаимно однозначном отображении f : A → M. Пусть a0 – элемент множества A, соответствующий B0. Этот элемент не может принадлежать множеству B0 и не может ему не принадлежать. Полученное противоречие доказывает утверждение.

♦ В частности, множество всех подмножеств множества мощности континуум имеет мощность большую, чем мощность континуума. Мощность такого множества называется гиперконтинуумом.

6.Множества действительных чисел

Для чисел, изучаемых в школьном курсе математики, установлены определ¨енные операции: известно, что означает сумма двух чисел, что означает их произведение. При этом выполняются законы арифметики.

Натуральные числа 1, 2, 3, . . . , n, . . . появились в результате сч¨ета и измерения длины, площади, объ¨ема, времени, скорости, температуры и т.п. Будем обозначать множество всех натуральных чисел символом N.

Число нуль и отрицательные числа появились в результате потребностей алгебры. Например, без этих чисел невозможно решить уравнения

x + 13 = 13, x + 13 = 10.

Числа, которые можно представить в виде разности натуральных чисел, называются целыми и обозначаются Z.

Частное от деления двух целых чисел p/q, если q = 0, называется рациональным числом. Класс рациональных чисел будем обозначать Q.

Каждое рациональное число можно записать в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, например 1/3 = 0,3333... = 0,(3) (ноль целых три в периоде).

Однако одних рациональных чисел недостаточно, чтобы обслужить потребности науки и техники. Так, в математике, имея дело только с рациональными числами, мы не можем решить такое уравнение, как x2 −13 = 0. Этому уравнению должно удовлетворять такое число, квадрат которого равен 13. Можно показать,

и т.п. Иррациональные числа J записываются бесконечными десятичными непериодическими дробями (√2 = 1,41 . . . , π = 3,14159 . . . ).

Совокупность всех рациональных Q и иррациональных J чисел называется

множеством действительных, или вещественных, чисел R, или классом действительных чисел R. Итак, множество R действительных чисел состоит из двух частей (подмножеств): множества Q рациональных чисел и множества J иррациональных чисел.

Задача о нахождении корней квадратных уравнений вида x√2 +13 = 0 и x2 +2x+ 2 = 0 приводит к понятию комплексного числа: так, x1,2 = ±i 13 и x1,2 = −1 ± i.

Здесь i — мнимая единица, i2 = −1. Множество комплексных чисел обозначается через C.

Значительно меньше внимания в школьном курсе математики уделяется такой характеристике вещественных чисел, как непрерывность множества R. Свойство непрерывности вещественных чисел, как правило, не рассматривается в курсе элементарной математики, хотя без него невозможно строгое построение математического анализа. Под непрерывностью, как правило, понимают, что между любыми двумя действительными числами a и b содержится бесконечное множество промежуточных действительных чисел x (как Q рациональных, так и J иррациональных), удовлетворяющих неравенству

a < x < b.

Действительные числа R изображаются точками числовой оси. Числовой осью называют прямую Ox, на которой выбраны: 1) начало отсч¨ета 0; 2) положительное направление (указывается стрелкой) и 3) масштаб для измерения длин H (рис. 7). Каж-

дому числу соответствует точка на числовой оси и наоборот. Между точками числовой оси и действительными числами R устанавливается взаимно однозначное соответствие: действительному числу a соответствует точка M с координатой x = a, прич¨ем точка M будет находиться справа от начала координат, если x > 0, и слева от него, если x < 0. Наоборот, каждой точке N соответствует действительное число x2 = b – координата этой точки. Поэтому вместо слова «число» говорят «точка» и наоборот. Перейд¨ем от интуитивного представления о вещественном числе к более строгому. Для этого воспользуемся аксиоматическим подходом.

При аксиоматическом подходе вещественные числа определяются как множество элементов, удовлетворяющее трем группам аксиом. Первая группа — это аксиомы поля (с ними мы встречались в курсе «Линейной алгебры» [10]); вторая группа — это аксиомы порядка; третья группа — аксиомы непрерывности [17]. Аксиомы поля определяют операции сложения и умножения вещественных чисел. Аксиомы порядка устанавливают между числами отношения порядка, т.е. «больше», «меньше» и т.д., прич¨ем отношения порядка согласованы с арифметическими операциями.

Множеством вещественных чисел называется непрерывное упорядоченное числовое поле и обозначается R.

♦ Иными словами, множество элементов называется множеством (совокупностью) действительных (вещественных) чисел и обозначается R, если его элементы (числа) удовлетворяют аксиомам поля, порядка и непрерывности.

♦ Задаче определения действительных чисел посвящена обширная литература (см., например, классические учебники [17, 25, 26]).

Всякую конечную или бесконечную совокупность R действительных чисел на-

зывают числовым множеством.

Числовые множества обозначаются прописными буквами латинского алфавита (X, Y, Z, . . . ), а принадлежащие им числа – строчными буквами (x, y, z, . . . ).

6.1.Аксиомы поля

Аксиома 1. Множество вещественных чисел R является числовым полем.

Множество K называется числовым полем, а его элементы числами, если любой паре чисел a и b из K отвечают число c = a + b, называемое суммой чисел a и b, и число d = a · b (или d = ab), называемое произведением чисел a и b, прич¨ем все a, b, c, d K. Операции сложения и умножения подчинены следующим аксиомам.

A1.1. Операция сложения чисел коммутативна, т.е. для всех a, b K справедливо a + b = b + a.

A1.2. Операция сложения чисел ассоциативна: для всех a, b, c K справедливо

(a + b) + c = a + (b + c).

A1.3. Существует нулевой элемент 0 K, такой что a + 0 = a для всех a K. A1.4. Для всех a K существует такой противоположный элемент b K, что

a + b = 0.

A1.5. Операция умножения чисел коммутативна: для любых a, b K справедливо ab = ba.

A1.6. Для всех a K существует единичный элемент 1 K, такой, что 1·a = a. A1.7. Операция умножения чисел ассоциативна: для любых a, b, c K спра-

ведливо a(bc) = (ab)c.

A1.8. Для любого числа a K (a = 0) существует обратный элемент b K, такой что ab = 1 (обратный элемент b = 1/a = a−1).

Операции сложения и умножения связаны.

A1.9. Операция умножения дистрибутивна по отношению к сложению: для любых действительных чисел a, b, c K справедливо (a + b)c = ac + bc.

Условия А1.1–А1.9 называются аксиомами поля.

♦ Разрешимость уравнения a+b = 0 для всех a K позволяет ввести операцию вычитания. Разность a−b, по определению, есть a+ c, где c — решение уравнения

b + c = 0.

♦ Разрешимость уравнения ab = 1 для всех не равных нулю a K позволяет ввести операцию деления на a = 0. Частное b/a есть произведение bc, где c – решение уравнения ac = 1.

6.2.Аксиомы порядка

Аксиома 2. Множество вещественных чисел R упорядочено.

Числовое поле R называется упорядоченным, если между любыми двумя его элементами a и b имеет место одно и только одно из тр¨ех соотношений:

a < b, a = b, a > b,

при этом, если a < b, b < c, то a < c.

Абсолютные величины

Вматематическом анализе мы встретимся с абсолютными величинами чисел

ис неравенствами, содержащими знак абсолютных величин.

Под абсолютной величиной, или модулем, действительного числа a понимается неотрицательное число |a|, определяемое условиями

Например, | − 13| = −(−13) = 13; |5| = 5; |0| = 0; | − 2,3| = −(−2,3) = 2,3. Геометрически |a| есть расстояние точки a от начала координат, т.е. |a| есть

длина отрезка, соединяющего начало координат с точкой, координата которой

x1 = a.

Из определения абсолютной величины следует, что

1.|a| = | − a|;

2.a |a|;

3.−a |a|.

4.Можно показать, что неравенство |a| < ε, ε > 0, равносильно двум неравенствам: −ε < a < +ε, и запись |a| ε равносильна записи −ε a +ε.

Действительно, неравенство |a| < ε равносильно двум неравенствам: −ε < a < +ε, так как, согласно 2, a |a| < ε и, следовательно, a < ε. Согласно 3, −a |a| < ε, откуда −a < ε или a > −ε. Окончательно имеем −ε < a < +ε.

Обратно, если −ε < a < +ε, то |a| < ε. В самом деле, если a 0, то, учитывая

первое неравенство, получим |a| < ε. Если a < 0, то |a| = −a, и, умножив первое неравенство на −1, получим |a| < ε. В частности, всегда −|a| a |a|.

5.Из неравенства |a| ε, ε > 0, следует или a −ε, или a > ε.

Число x называется неотрицательным (положительным), если x 0 (x > 0). Число x называется неположительным (отрицательным), если x 0 (x < 0). Число 0 одновременно неположительно и неотрицательно.

Сформулируем основные свойства абсолютных величин.

Свойство 1. Модуль суммы двух чисел меньше или равен сумме модулей этих чисел, т.е.

|a + b| |a| + |b|,

что можно проверить на примерах, но можно и доказать.

Действительно, пусть a + b > 0. Известно, что a |a|, b |b|. При сложении этих неравенств получим a + b |a| + |b|. Но |a + b| = a + b и, следовательно, |a + b| |a| + |b|. Пусть a + b < 0. Так как −a < |a|, −b |b|, то при сложении этих неравенств получим −(a + b) |a| + |b|. Но |a + b| = −(a + b). Окончательно имеем

|a + b| |a| + |b|.

Свойство 2. Модуль разности двух величин больше или равен разности модулей этих величин, т.е.

|a − b| |a| − |b|.

Например, |2 − 9| |2| − |9|, но | − 7| > 2 − 9, т.е. 7 > −7;

| − 3 − 2| | − 3| − |2|, но | − 5| |3 − 2|, т.е. 5 > 1.

Свойство 3. Модуль произведения двух величин равен произведению модулей, т.е.

|a · b| = |a| · |b|.

Например, | − 3 · 2| = | − 3| · |2|, но | − 6| = 3 · 2, т.е. 6 = 6.

Свойство 4. Модуль частного двух величин равен частному модулей делимого и делителя, т.е.

|a/b| = |a|/|b|.

Интервалы, отрезки, окрестности

Свойство упорядоченности действительных чисел позволяет определить такие объекты, как интервалы, отрезки и окрестности.

Интервалом (промежутком, открытым промежутком, открытым отрезком) называется множество таких чисел, которые удовлетворяют неравенствам a < x < b, где a и b – данные числа, a < b. Символически интервал обозначается так: ]a, b[, аналитически так: a < x < b, графически (рис. 8).

Например, множество чисел x, удовлетворяющих неравенствам −3 < x < 2, образуют интервал ] − 3, 2[.

Рис. 8. Рис. 9.

Отрезком (сегментом, замкнутым промежутком, замкнутым отрезком,

замкнутым интервалом) называют множество таких чисел x, которые удовлетворяют условиям a x b, где a и b – данные числа, a < b.

Символически отрезок обозначают так: [a, b], аналитически так: a x b, графически так (рис. 9).

Например, отрезок [−3, 2] состоит из всех чисел x, удовлетворяющих условиям −3 x 2; числа −3 и 2 принадлежат отрезку и являются концами отрезка

[−3, 2].

Множество чисел x, удовлетворяющих неравенствам a < x b или a x < b, называется полуинтервалом и символически обозначается соответственно ]a, b] или [a, b[.

Интервал ]a, b[, отрезок [a, b], полуинтервалы ]a, b], [a, b[ называют конечными

промежутками, а их точки: a < x < b — внутренними точками. Наряду с конечными рассматривают и бесконечные промежутки:

1)интервалы [a, +∞[= {x|x R, x > a}, ] − ∞, a[= {x|x R, x < a};

2)полуинтервалы [a, +∞[= {x|x R, x a}; ] − ∞, a] = {x|x R, x a};

3)совокупность всех действительных чисел R представляют так: ] − ∞, +∞[=

{x|x R, −∞ < x < +∞}.

Окрестностью точки c на числовой оси называют любой интервал ]a, b[, середина которого есть точка c, или интервал ]a, b[, содержащий эту точку (здесь имеется в виду любой интервал: как симметричный, так и не симметричный относительно рассматриваемой точки c).

Чисто арифметически окрестность точки c можно за-

дать как интервал ]c − δ, c + δ[ или c − δ < x < c + δ, где δ – любое малое положительное число (рис. 10). Окрестность точки c будем обозначать S(c, δ) =]c − δ, c + δ[.

Каждая точка c имеет бесконечное множество окрестностей, так как она является серединой бесконечного множества интервалов.

Условие c − δ < x < c + δ можно записать так: |x − c| < δ, а последняя запись выражает тот факт, что все точки x, принадлежащие окрестности ]c−δ, c+δ[ точки c, находятся от этой точки на расстоянии, меньшем δ. Например, окрестностью точки 3 будет интервал ]3 − δ, 3 + δ[ или 3 − δ < x < 3 + δ. Придав δ любые малые положительные значения, получим все окрестности точки 3. При выбранном δ точка x принадлежит указанной окрестности, если 3 − δ < x < 3 + δ или, что то же, |x − 3| < δ. Величину δ называют радиусом окрестности, а саму окрестность

– дельта-окрестностью. Коротко δ-окрестность точки c обозначается как

S(c, δ) {x| x X(|x − c| < δ)}.

S(c, δ) {x| x X(0 < |x − c| < δ)}.

Множества E1 = {x R(x < −ε)}, E2 = {x R(x > ε)}, E = {x R(|x| > ε)} называются ε-окрестностями −∞, +∞ и ∞, соответственно (прич¨ем E =

E1 E2), и обозначаются E1 = S(−∞, ε), E2 = S(+∞, ε), E = S(−∞, ε) S(+∞, ε).

Границы и сечения числового множества

Любое число c, не меньшее всякого числа x, принадлежащего множеству X, называется верхней гранью множества X: c x, если x X. Нижней гранью множества X называется любое число c, не большее всякого числа x, принадлежащего множеству: c x, если x X.

Множества, имеющие верхнюю грань, называются ограниченными сверху; множества, имеющие нижнюю грань, — ограниченными снизу; множества, ограниченные и сверху и снизу, — просто ограниченными.

Число c называется точной верхней (нижней) гранью множества X и обозначаются sup X (inf X), если

1)для всех x X x c (x c);

2)для любого ε > 0 существует элемент x˜ X, такой что x˜ c − ε (x˜ c − ε).

Фактически sup X — это наименьшая из точных верхних граней, а inf X — наибольшая из точных нижних граней. Именно поэтому их и называют точной верхней и нижней гранью множества, соответственно (от латинского supremum — наивысший, infimum — наинизший).

Если точные грани множества X существуют, то они определяются однозначно, при этом они могут принадлежать X, а могут и не принадлежать ему.

Интервал не имеет концов: числа a и b являются точными гранями множества ]a, b[: a = inf ]a, b[, b = sup ]a, b[, и интервалу не принадлежат.

Отрезок (замкнутый интервал) имеет концы: числа a и b являются точными гранями множества [a, b] и принадлежат отрезку.

Сечением множества R называют разбиение всех действительных чисел на два класса: нижний класс A и верхний класс B, если оба класса непустые (A = , B = ); каждое действительное число содержится только в одном классе; любое число нижнего класса A меньше любого числа верхнего класса. Сечение множества R обозначают A|B.