DIF_calc_2013

В привед¨енных выше примерах множества значений последовательностей являются бесконечными. Последовательности, которые мы привед¨ем ниже, имеют конечное множество значений, а, кроме того, не являются монотонными.

4. Элементы последовательности

yn = (−1)n, n N,

принимают два значения

{yn} : −1, 1, −1, 1, . . . , −1, 1, . . .

5. Последовательность

имеет вид

{yn} : 0, 1, 0, 1, 0, . . . , 1, 0, . . .

6. Последовательность

yn = (−1)n(n+1)/2, n N,

имеет вид

y1 = (−1)1·2/2 = −1, y2 = (−1)2·3/2 = −1, y3 = (−1)3·4/2 = 1, y4 = (−1)4·5/2 = 1, y5 = (−1)5·6/2 = −1, . . .

т.е.

{yn} : −1, −1, 1, 1, −1, −1, . . . , 1, 1, −1, 1, . . .

Иногда последовательность зада¨ется рекуррентной формулой, позволяющей находить элементы последовательности по известным предыдущим. При таком способе задания последовательностей обычно указывают:

1)первый или несколько первых элементов последовательности: y1 или y1, y2, y3;

2)формулу, связывающую n-й член последовательности yn с соседними, например с yn−1 и yn+1.

7. Арифметическая прогрессия с разностью d и геометрическая прогрессия со знаменателем q = 0 задаются соответственно рекуррентными формулами

Зная первые элементы этих прогрессий a1 и b1, можно получить значение последующего элемента прогрессии через значение предыдущего. Для арифметической

и геометрической прогрессий из рекуррентных соотношений можно найти выражения для общего члена:

8. Рекуррентной формулой и условием a1 = a2 = 1 зада¨ется последовательность Фибоначчи

an = an−1 + an−2,

т.е.

1, 1, 2, 3, 5, 8, . . .

Пример 8.1. Записать общий элемент последовательности, заданной рекуррентным соотношением

Пример 8.2. Написать формулу общего элемента последовательности, если известны пять е¨ первых элементов: 3 · 2, 5 · 22, 7 · 23, 9 · 24, 11 · 25. Является ли она единственной?

Решение. Числа 3, 5, 7, 9, 11 и т.д. образуют арифметическую прогрессию с первым элементом a1 = 3 и разностью d = 2. Ее общий элемент равен an = 3+2(n−1). Числа 2, 22, 23, 24, 25 и т.д. образуют геометрическую прогрессию bn = 2n. Поэтому в качестве искомой можно выбрать формулу

xn = anbn = [3 + 2(n − 1)]2n = (2n + 1)2n.

Разумеется, эта формула не является единственной. Например, формулы

xn = (2n + 1)2n + (n − 1)(n − 2)(n − 3)(n − 4)(n − 5), xn = (2n + 1)2n + (n − 1)(n − 2)(n − 3)(n − 4)(n − 5)3n

тоже удовлетворяют условию задачи.

Таким образом, зная конечное число элементов последовательности, нельзя однозначно найти формулу е¨ общего элемента.

Пример 8.3. Последовательность {xn}∞n=1 определяется рекуррентным соотношением

Выразить общий элемент этой последовательности через x1 и x2.

Пример 8.4. Найти наибольший элемент последовательности {xn}∞n=1 и интервалы е¨ монотонности:

Решение. а) Рассмотрим разность

Если xn – наибольший элемент данной последовательности, то необходимо xn+1 − xn 0 и xn−1 − xn 0. Для первого неравенства с уч¨етом (8.7) имеем

n2 + n − 9 0,

Так как n — натуральное число, то неравенство xn+1 − xn 0 выполняется при n = 3, 4, 5, . . . . Стало быть, x3 > x4 > x5 > . . .. Значит, наибольшим элементом последовательности может быть x1, x2 или x3. Поскольку

то наибольшим элементом последовательности является x3 = 15. Таким образом, последовательность а) возрастает от x1 = 9 до максимального значения x3 = 15, а далее она монотонно убывает.

б) В этом случае вместо разностей xn+1 −xn и xn−1 −xn рассмотрим отношения xn/xn+1 и xn/xn−1. Если xn – наибольший элемент данной последовательности, то, поскольку xn > 0, необходимо

соответственно, n 9. Таким образом, наибольшими могут быть x9 или x10. Вычислим

т.е. мы имеем два равных наибольших элемента последовательности. Таким образом, последовательность б) монотонно возрастает до x9, а затем от x10 монотонно убывает.

Последовательность {xn}∞n=1 называется ограниченной сверху, если существует такое число M1, что для всех n N справедливо условие xn M1, т.е.

Последовательность {xn}∞n=1 называется ограниченной снизу, если существует такое число M2, что для всех n N справедливо условие xn M2, т.е.

Последовательность, ограниченная как сверху, так и снизу, называется ограниченной, если

Воспользовавшись для выражения в квадратных скобках неравенством Бернулли (8.13) и положив в нем x = −1/(n + 1)2, получим оценку

Это означает, что последовательность {xn}∞n=1 монотонно возрастает от наименьшего значения x1 = 2. Для последовательности {yn}∞n=1, рассуждая аналогично, получим

и приняв во внимание монотонность этих последовательностей, заключаем, что обе последовательности ограничены значениями x1 = 2, y1 = 4.

Пример 8.8. Доказать, что последовательность {xn}∞n=1 при

Это и означает, что последовательность ограниченна.

из примера 8.4 ограничены сверху.

Решение. Согласно решению примера 8.4, последовательность а) имеет наибольший элемент, равный x3 = 15, следовательно, она ограничена сверху этим значением. В том же примере показано, что последовательность б) имеет два равных наибольших элемента: x9 = x10 = 109/9!. Именно этим значением она и ограничена сверху.

Пример 8.10. Доказать, что последовательность из примера 8.1 монотонно возрастает и ограниченна.

Решение. Исходя из условий примера 8.1, имеем последовательность {xn}∞n=1:

√ √

xn+1 = 2 + xn, x1 = 2

или

√

xn = 2 + 2 + . . . + 2 .

xn+1 = 2 + xn < 2 + 2 < 2 · 2 = 2.

Так как x1 < 2, то в силу принципа математической индукции неравенство xn < 2 справедливо для всех n. Таким образом, действительно,

√

0 < xn = 2 + 2 + . . . + 2 < 2.

Монотонное возрастание последовательности вытекает ещ¨ из одного неравенства:

ограниченна.

Нетрудно заметить, что xn > 0. Пусть z — положительный корень уравнения z2 = z + a. Покажем, что xn < z. Доказательство провед¨ем методом математической индукции. Поскольку

то для x1 = √a неравенство x1 < z выполняется. Предположим, что xn < z для некоторого n. Тогда

√ √ √

xn+1 = a + xn < a + z = z2 = z.

Таким образом, 0 < xn < z и последовательность (8.15) ограниченна.

Пример 8.12. Показать, что последовательность {xn}∞n=1,

ограниченна.

Решение. Оценим отношение

Следовательно, последовательность {xn}∞n=1 убывает и xn < x1 = 1. В силу знакоположительности xn, n = 1, ∞, запишем

0 < xn < 1.

Таким образом, последовательность ограниченна.

Пример 8.13. Показать, что если xk > 0 для всех k = 1, n и

n

прич¨ем равенство в (8.18) эквивалентно равенствам x1 = x1 = ... = xn = 1.

♦ Пусть x1, x2, ..., xn — набор из n положительных вещественных чисел. Обозначим

Величины γn, ηn, ξn называются средним гармоническим, средним геометрическим и средним арифметическим, соответственно.

Пример 8.14. Показать, что справедливо неравенство

где γn, ηn и ξn определены в (8.22), прич¨ем γn = ηn = ξn, если x1 = x2 = ... = xn.

Решение. Из определения среднего геометрического следует, что

что соответствует x1 = x2 = ... = xn. Таким образом, второе неравенство в (8.23) справедливо. Заменив в неравенстве (8.24) xk → 1/xk, получим

т.е. при x1 = x2 = ... = xn.