DIF_calc_2013

70 Глава 3. Теория пределов

неотрицателен (неположителен).

Чтобы убедиться в справедливости утверждения, достаточно в теореме 8.5 положить yn ≡ 0.

Теорема 8.6 (о «сжатой» последовательности). Пусть даны три последо-

вательности: {xn}∞n=1, {yn}∞n=1 и {zn}∞n=1. Если, начиная с некоторого номера N0, справедливо неравенство

прич¨ем последовательности {xn}∞n=1 и {zn}∞n=1 сходятся к общему пределу a (конечному или бесконечному), то последовательность {yn}∞n=1 тоже сходится и имеет своим пределом a, т.е.

ε > 0 существуют N1(ε) и N2(ε) такие, что xn S(a, ε) для всех n > N1(ε) и zn S(a, ε) для всех n > N2(ε). Тогда для всех n > N, где N = max{N0, N1(ε), N2(ε)}, в силу (8.38)

yn [xn, zn] S(a, ε)

(см. рис. 29), т.е. |yn − a| < ε. Следовательно,

lim yn = a,

n→∞

что и требовалось доказать.

♦ Теорему 8.6 о сжатой последовательности называют еще теоремой о «двух миллиционерах», а иногда «теоремой о тр¨ех последовательностях», имея в виду неравенство (8.38).

До сих пор при изучении вопроса о сходимости последовательности мы исследовали поведение элементов последовательности около самого предела, предполагая его известным числом. Другими словами, мы исследовали возможность приближенно выразить с какой угодно точностью некоторые известные числа с

помощью последовательности других известных чисел. Если бы понятие предела не давало нам ничего другого, то оно принесло бы нам не очень много пользы. Плодотворность же понятия предела определяется в значительной степени тем, что пределы последовательностей позволяют нам определить новые классы действительных чисел, ещ¨ непосредственно не известные или не допускающие другого представления. В связи с этим зададимся вопросом: «Как по заданной последовательности {xn}∞n=1 выяснить, что она стремится к пределу, не умея заранее указать его значение?». Ответ на этот вопрос можно получить с помощью понятия фундаментальной последовательности.

Последовательность {xn}∞n=1 называется фундаментальной, если она удовлетворяет условию Коши: для любого ε > 0 существует такой номер N, что для всех n > N(ε) и m > N(ε) выполняется неравенство |xm − xn| < ε.

В символической записи это условие имеет вид

Множество чисел X, в котором любая фундаментальная последовательность сходится, называется полным.

Ответ на вопрос о полноте множества действительных чисел да¨ет следующая теорема.

Теорема 8.7 (о вложенных отрезках). Упорядоченное поле R полно тогда и только тогда, когда для него справедлив принцип вложенных отрезков Кантора.

Доказательство. Переформулируем теорему следующим образом: пространство R полно в том и только том случае, если в нем всякая последовательность вложенных друг в друга отрезков, длины которых стремятся к нулю, имеет непустые пересечения.

1. Необходимость. Пусть множество R полно и [a1, b1] [a2, b2] ... – последовательность вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю, lim rn = 0,

n→∞

rn = bn − an. Обозначим через xn = (bn + an)/2 середину отрезка [an, bn]. Последовательность {xn}∞n=1 фундаментальна, так как |xn − xm| < rn, если

m > n, а lim rn → 0.

n→∞

В силу полноты R существует предел lim xn = x0 R.

n→∞

Для любого n отрезок [an, bn] содержит все точки {xi}∞i=n+1, следовательно, x0

– предельная точка [an, bn]. Поскольку отрезок [an, bn] — замкнутое множество, x0 [an, bn] для всех n и, следовательно, x0 ∩[an, bn].

n

2. Достаточность. Пусть всякая последовательность отрезков [an, bn], длины которых стремятся к нулю (rn → 0), имеет непустое пересечение. Рассмотрим фундаментальную последовательность {xn}∞n=1 R и докажем е¨ сходимость в R. По условию, для любого ε > 0 существует такой номер Nε, что |xn −xm| < ε для всех n, m > Nε. Пусть ε = 1/2, тогда существует такой номер n1, что |xn − xn1 | < 1/2 при всех n > n1. Построим отрезок [a1, b1] с центром в точке xn1 и такой, что

|b1 − a1| = 2, b1 = xn1 + 1, a1 = xn1 − 1.

При этом [xn1 − 1/2, xn1 + 1/2] [a1, b1] для всех xn, когда n > n1.

Пусть ε = 1/22. Существует такое n2, что |xn − xn2 | < 1/22 при всех n > n2. Построим отрезок [a2, b2]: a2 = xn2 − 1/2, b2 = xn2 + 1/2, с центром в точке xn2 , длина которого |b2 − a2| = 2 · 12 . Тогда [a2, b2] [a1, b1]. Продолжив аналогично процедуру построения отрезков и выбрав ε = 1/23, ε = 1/24 и т.д., мы получим

последовательность отрезков, длины которых стремятся к нулю:

[a1, b1] [a2, b2] ... [an, bn] ...

В силу принципа вложенных отрезков Кантора существует x, принадлежащее

∞

всем отрезкам: x [ak, bk]. Так как |x − xnk | < 1/2k, то xnk стремится к x с

k=1

ростом k: x = lim xnk .

k→∞

Но если последовательность {xn} фундаментальна и xnk → x, то xn → x. Действительно, согласно неравенству треугольника,

|xn − x| |xn − xnk | + |xnk − x|.

Перейдя здесь к пределу при n, nk → ∞, получим

xnk → x xn → x,

что и требовалось доказать.

♦ В силу аксиомы 3 определения вещественных чисел из теоремы 8.7 о вложенных отрезках следует, что пространство R полно.

Лемма 8.1. Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной.

Доказательство. Пусть последовательность {xn}∞n=1 имеет предел, равный a. По определению предела,

Положив в (8.41) сначала p = m, а затем p = n и воспользовавшись неравенством для модуля разности, получим

ε ε

|xm − xn| = |(xm − a) − (xn − a)| |xm − a| + |xn − a| < 2 + 2 = ε.

Следовательно, для всех n > N(ε) и m > N(ε) выполняется неравенство |xm − xn| < ε, т.е. выполняется условие Коши (8.39). Это означает, что сходящаяся последовательность является фундаментальной, что и требовалось доказать.

Лемма 8.2. Фундаментальная последовательность является ограниченной.

Доказательство. Пусть {xn}∞n=1 – фундаментальная последовательность и пусть ε = 1. Тогда, согласно условию Коши (8.39), найд¨ется номер N(1) такой, что для всех n N(1) и всех m N(1) выполняется неравенство |xm − xn| < 1, и, в частности |xm − xN(1)| < 1. Так как

|xm| = |(xm − xN(1)) + xN(1)| 1 + |xN(1)|

для всех m > N(1), то при всех m N справедливо неравенство |xm| < M, где

M = max{|x1|, |x2|, . . . , |xN(1)|, |xN(1)| + 1}, но это и означает, что последовательность ограничена.

Теорема 8.8 (признак Коши). Для того чтобы последовательность {xn}∞n=1 имела предел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Доказательство. Необходимость вытекает непосредственно из леммы 8.1. Достаточность следует из полноты пространства R, установленного теоре-

мой 8.7 о вложенных отрезках.

Пример 8.17. Используя признак Коши, исследовать на сходимость последовательность {xn}∞n=1, где

Решение. Воспользуемся критерием Коши в форме (8.40). Тогда для последовательности 1) имеем

справедлива при любых p. Неравенство 2n > 1/ε равносильно неравенству

то из неравенства n > N(ε) следует справедливость неравенства (8.42). Здесь квадратные скобки обозначают целую часть числа.

Таким образом, формула (8.44) позволяет по заданному значению ε определить число N(ε) такое, что для всех n > N(ε) при любых p выполняется условие Коши (8.40), из которого и следует сходимость последовательности 1).

Для последовательности 2) при произвольном ε > 0 и всех натуральных p

Несложное исследование показывает, что можно указать такие ε и p, при которых это неравенство выполняться не будет. Действительно, для ε = 1/5 и p = n имеем

Наличие хотя бы одного значения p, при котором основное условие критерия Коши не выполняется, говорит о том, что последовательность конечного предела не имеет.

В случае 4) имеем

Как и в предыдущем случае, можно указать такие ε и p, при которых это неравенство выполняться не будет. Действительно, для ε = 1/5 и p = n получим противоречие:

Это означает, что последовательность конечного предела не имеет.

Пример 8.18. Показать, что предел последовательности {xn}∞n=1, заданной рекуррентной формулой

Решение. Воспользуемся принципом вложенных отрезков Кантора, который, как было показано в теореме 8.7, эквивалентен критерию Коши. Положив yn = a/xn, имеем xnyn = a, а вместо (8.45)

1

xn+1 = 2(xn + yn).

Отсюда следует, что x является средним арифметическим чисел x и y , а

√ √ n+1 n n

a = xnyn – их средним геометрическим, для которых справедлива известная оценка (8.23)

вполном соответствии с (8.46).

♦Обобщение примера 8.18 да¨ет последовательность {xn}∞n=1, для которой

где m > 1 – натуральное число, а x1 и a – произвольные положительные числа. Рассуждая, как и выше, найд¨ем

√

lim xn = m a.

n→∞

8.4.Операции с последовательностями

Для дальнейшей работы с последовательностями введ¨ем для них следующие алгебраические операции.

Суммой, разностью, произведением и частным двух последовательностей

{xn}∞n=1 и {yn}∞n=1 будем называть последовательность {zn}∞n=1 с общим членом

zn = xn + yn, zn = xn − yn, zn = xnyn, zn = xn/yn, соответственно.

Сходимость соответствующей последовательности {zn}∞n=1, естественно, зависит от сходимости последовательностей, е¨ составляющих.

Теорема 8.9. Пусть

Тогда последовательность {xn ± yn}∞n=1 имеет предел, прич¨ем

Доказательство. Выберем некоторое ε и для него найд¨ем такой номер N1, чтобы для всех n > N1 было справедливо неравенство |xn − a| < ε/2, и такой номер N2, чтобы для всех n > N2 было справедливо неравенство |yn − b| < ε/2. Обозначим

N = max(N1, N2).

Следовательно, по определению,

lim (xn ± yn) = a ± b,

n→∞

что и требовалось доказать.

Следствие 8.9.1. Сумма (разность) двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая.

Следствие 8.9.2. Суммирование сходящейся последовательности с бесконечно малой не меняет е¨ предела.

Доказательство. Пусть N – число, начиная с которого для всех n > N выполняются неравенства

вытекающие из сходимости последовательностей {xn}∞n=1, {yn}∞n=1 и, следовательно, их ограниченности. Рассмотрим разность |xnyn −ab|, для которой посредством цепочки неравенств с уч¨етом (8.49) получим оценку

|xnyn − ab| = |xnyn − xnb + xnb − ab| = |xn(yn − b) + b(xn − a)||xn| |yn − b| + |b||xn − a| Mε + |b|ε = (M + |b|)ε, n > N.

Так как величина (M + |b|)ε становится сколь угодно малой, если только ε само достаточно мало, то при всех n > N числа xnyn и ab мало отличаются друг от друга, в чем и заключается утверждение, содержащееся в равенстве

т.е. постоянный множитель выносится за знак предела.

при каждом фиксированном k = 1, ∞. Тогда, если последовательность {xn}∞n=1

имеет конечный предел lim xn = a, то последовательность {zn}∞n=1, где

n→∞

n

сходится, прич¨ем lim zn = a.

n→∞

Доказательство. 1) Поскольку последовательность {xn}∞n=1 сходится, то для любого ε > 0 существует номер N1(ε) такой, что для всех n > N1(ε) справедливо

ε

|xn − a| < 2.

2) Поскольку последовательность {xn}∞n=1 сходится, то она ограничена, и, следовательно, существует M > 0 такое, что для всех n = 1, ∞ справедливо

|xn| M, |xn − a| 2M.

3) Поскольку последовательность {pnk}∞n=1 — бесконечно малая, то существует номер N2(ε) > N1(ε) такой, что для всех n > N2(ε) справедливо неравенство

2. Аналогично тому, как это сделано в первой части доказательства, положим

1

для которых выполняются все условия теоремы 8.12. Тогда из (8.55) следует, что

и в силу (8.56) утверждение теоремы для средних гармонических также справедливо.

Аналогичное утверждение справедливо и для средних геометрических.

Теорема 8.14. Если последовательность {xn}∞n=1 имеет конечный предел

Поскольку предел последовательности средних арифметических {ξn}∞n=1 и средних гармонических {γn}∞n=1 равен пределу последовательности {xn}∞n=1, то в силу (8.57) и теоремы о сжатой последовательности из (8.59) следует (8.58).

Теоремы 8.9–8.11 показывают, что операции вычисления предела последовательностей перестановочны с алгебраическими операциями над последовательностями, если эти последовательности имеют конечные пределы, т.е. сходятся в собственном смысле.

Рассмотрим теперь случаи, когда одна из последовательностей сходится в несобственном смысле. Исходя из определения несобственной сходимости, можно сформулировать вытекающие из этих теорем свойства таких последовательностей.

Свойство 1. Если одна последовательность сходится в несобственном, а другая – в собственном смысле, то их сумма (разность) сходится в несобственном смысле, т.е. остается бесконечно большой последовательностью.