DIF_calc_2013
.pdfЗадания для самоконтроля |
|
|
|
|
|
|
|
271 |
|||||
3.9. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке x0: |
|||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
1 − 4x3 + ln(1 + |
1 |
− 4x2), x0 |
= |
; 2) y = β sin βx + α cos αx, x0 |
= 0. |
||||||||
1) y = |
|
|
|||||||||||
x |
4 |
3.10.Выяснить, в какой точке кривой y = x3/3−x2/2−7x+9 касательная составляет
сосью Ox угол −π/4.
3.11.Найти первый dy и второй d2y дифференциалы функций
y = cos x ln tg x − tg |
1 |
; |
|
|
y = 1 − x sin2 x + |
1 |
; y = esin x−8. |
|
|
|
|
|
|||||
x |
|
|
3x |
|||||
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
3.12. Вычислить приближенно |
x |
2 |
+ x + 3, x = 1,97. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
3.13.Показать, что функция y = 2/ cos x удовлетворяет уравнению y − tg xy = 0.
3.14.Найти производные указанных порядков:
1) y = sin(ln √ |
|
) + cos ln x, y |
=?; |
|
|
2) y = 3cos x−1, y =?; |
|||||||
x |
|
|
|||||||||||
4) |
3) y = sin(3x + 1) + cos 5x, y(n) =?; |
dx2 =?. |
|||||||||||
y = sin 2t, |
|
dy2 =?; |
5) |
y = te−t, |
|||||||||
|
x = cos t + sin t, |
|
d2x |
|
|
|
|
x = t2e−2t, |
d2y |
||||
3.15. Найти экстремумы функций |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
4√ |
|
|
|
|
|
|
|
1) y = (1 + x)ex |
; 2) y = |
x |
; 3) y = 2x3 − 3x2. |
|||||||||
|
x + 2 |
3.16. Найти наибольшее и наименьшее значения функций в указанных интервалах:
|
− |
− |
x2 |
+ 5 |
− |
2 |
|
− |
|
|
2 |
|
|||||
1) y = 3x4 |
|
16x3 + 2, [ 3; 1]; 2) y = |
x |
− 2 |
, [ 2; 3]; |
|
3) y = |
1 |
x |
|
sin x, |
3 |
π; 2π . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3.17. Исследовать функции и построить их графики |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1) y = ln(x2 − 2x + 2); 2) y = x + |
2x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
; |
3) y = x + |
|
; |
|
|
|||||||||
|
x2 − 1 |
x2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
4) y = nlim (1 + x)(1 + x2)(1 + x4) · · · (1 + x2n), |x| < 1. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.18. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
f(x) = (x |
− |
1) ln |
2x − 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2x − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3.19.В окружность радиуса r вписан прямоугольник. Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы площадь его была наибольшей?
3.20.Вычислить указанные пределы, используя правило Лопиталя:
x→1 |
|
− |
x→a xn − an |
x→0 x |
|
|||
1) lim |
[ln x ln(x |
|
1)]; 2) lim |
xm − am |
; |
3) lim |
1 |
tg x. |
|
|
|
3.21. Построить эскиз графика по известным результатам аналитического исследования:
1)область определения X =] − 3, 0[ ]0; 2[;
2)вертикальные асимптоты: x = −3, x = 2;
3)горизонтальные асимптоты: нет;
4)наклонные асимптоты: нет;
272 |
Индивидуальные задания |
5)стационарные точки: x = −2, x = −1, x = 1;
6)точки, где y = ∞: x = 0 (x → ±∞);
7)интервалы монотонности: a) возрастания: ] − 3; −2[, ] − 1; 0[, ]0;2[, ]1;2[; б) убывания:
(−2; −1);
8)интервалы выпуклости и вогнутости: a) выпуклости: ] −3, −1,5[, ]0;1[; б) вогнутости: ] − 1,5; 0[, ]1;2[;
9)значения функции в некоторых точках: y(−2) = 2; y(−1) = 1; y(−0) = 2; y(+0) = 0; y(1) = 1.
3.22.Записать формулу для производной n-го порядка функции y = x/(x + 5) и
вычислить е¨ значение в точке x0 = 3. Представить функцию формулой Тейлора до n-го порядка в точке x0 = 3. Выписать остаточный член формулы Тейлора при n = 2, 3
вформе Лагранжа и в форме Коши.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант № 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
4.1. Исходя из определения предела, доказать, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) lim |
5n + 1 |
|
|
= |
1 |
; |
2) |
|
lim |
|
|
6x2 − x − 1 |
= |
− |
|
5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10n |
− |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
→∞ |
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
→− |
1/3 |
|
|
|
3x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
При ε = 0,01 найти N(ε) для предела последовательности и δ(ε) для предела функции. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4.2. Найти пределы |
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3n 1)! + (3n+ 1)! |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
n→∞ |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
2) |
n→∞ |
|
|
|
n + 8( |
|
|
n + 2 |
− |
|
n |
|
− |
; |
3) |
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3n − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3n)!(n − 1) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
lim |
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4) |
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
+ 1 |
; |
|
|
|
5) |
|
|
|
|
3x |
− 2x − 8 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) |
|
|
|
|
4x |
− sin(πx/2) |
; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
2x + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
x2 − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
cos(πx/3) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) |
|
|
√x2 − 8 |
− 1 |
; |
|
8) |
lim (√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9) |
|
|
|
|
tg3 x − 3 tg x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
x2 |
|
|
|
|
3x |
|
|
x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
3 |
|
√x2 |
|
|
5 |
2 |
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
− |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
π/2 cos(x + π/6) ; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
− 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√1 + tg x − √1 − tg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
10) |
|
lim |
|
cos x − cos |
|
; |
|
|
lim |
; |
|
|
|
12) |
lim |
|
|
|
n[ln n |
− |
ln(n + 2)] |
}; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
→ |
0 |
|
|
|
|
|
x sin 2x |
|
|
11) x |
→ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n + 1 (n+1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + 1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
arctg6 √x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13) |
|
lim |
|
|
|
|
2 + x |
|
2x−1; |
14) lim |
|
|
1 + ln |
1/x ; |
|
|
15) |
lim |
|
|
|
|
|
|
1 + tg x |
; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x→∞ 1 + x |
|
|
|
|
2 |
|
|
x→0 |
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ 1 + sin x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17) |
lim cos[π√ |
|
]. |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 + n |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n→∞ n + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
4.3. Вычислить |
|
предел |
функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π
f(x) = ch x + 2
в точке x0 = −2 или показать, что он не существует. 4.4. Записать асимптотическую оценку функций
3 √
1) f(x) = 1 − cos(sin x); 2) f(x) = x + 1 − 1
при x → 0 и определить порядок первой бесконечно малой относительно второй.
4.5.Исходя из определения, доказать, что функция f(x) = −3x2 − 9 непрерывна в точкеточке.x0 = 3; найти δ(ε) при ε = 0,1. Показать, что функция непрерывна в произвольной
4.6.Исследовать на непрерывность функции
1) y = |
x2, |
если 0 < x < 1; |
2) y = |
|
1/(2x |
|
1) |
; 3) y = |
2 . |
||
|
x |
− 1, |
если x < 0; |
|
1 |
+ 41/(2x−1) |
|
1 |
|
||
|
2, |
|
если x 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− 4 |
− |
|
|
x(x − 1) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.7. Найти производные следующих функций:
274 |
Индивидуальные задания |
4.19.Найти высоту конуса наименьшего объ¨ема, описанного около шара радиуса r.
4.20.Вычислить указанные пределы, используя правило Лопиталя:
1) x→1 cos(πx/2) ln(1 − x) |
x→0 |
|
x→π/2 ctg x − |
2 cos x |
|
||
lim |
1 |
; 2) lim |
(ctg x)sin x; |
3) lim |
x |
π |
. |
|
|
|
4.21. Построить эскиз графика по известным результатам аналитического исследования:
1)область определения X =] − ∞, ∞[;
2)вертикальные асимптоты: нет;
3)горизонтальные асимптоты: y = 0 (x → −∞);
4)наклонные асимптоты: y = x − 2 (x → ∞);
5)стационарные точки x = −1, x = 1, x = 3;
6)точки, где y = ∞: x = 0, x = 2;
7)интервалы монотонности: a) возрастания: ]−∞; −1[, ]0;1[; ]3, ∞[; б) убывания: ]−1; 0[, ]1;2[, ]2;3[;
8) интервалы выпуклости и вогнутости: a) выпуклости: ] − 2, 0[, ]0;2[; б) вогнутости:
] − ∞; −2[, ]2; ∞[;
9)значения функции в некоторых точках: y(−2) = 1; y(−1) = 2; y(0) = 0; y(1) = 4; y(2) = 3; y(3) = 2.
4.22.Записать формулу для производной n-го порядка функции y = cos 3x и вычис-
лить е¨ значение в точке x0 = π/4. Представить функцию формулой Тейлора до n-го порядка в точке x0 = π/4. Выписать остаточный член формулы Тейлора при n = 2, 3 в форме Лагранжа и в форме Коши.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант № 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
5.1. Исходя из определения предела, доказать, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) lim |
4n − 3 |
|
= 2; |
|
|
|
2) |
|
lim |
|
|
2x2 + 15x + 7 |
= |
− |
13. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n + 1 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
→− |
|
|
|
|
|
x + 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
При ε = 0,01 найти N(ε) для предела последовательности и δ(ε) для предела функции. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5.2. Найти пределы |
|
|
|
|
lim √ |
|
|
|
(√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ 4+ ... + (3n− 2) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(2n+ 1)!+ (2n+ 2)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
n |
n + 2 |
|
n |
|
|
3) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n+ 2)! ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
→∞ |
(2n+ 3)! |
− |
|
2) n |
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
− |
; |
3) n |
→∞ |
|
|
√ |
4 |
+ n |
+ 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
5n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
4) |
|
lim |
|
x + sin x |
; |
|
|
|
5) |
lim |
3x |
|
− x |
|
− 40 |
; |
|
|
|
|
|
|
6) |
lim |
|
|
|
+ 3x − 1 |
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
→ |
π/6 1 |
|
|
|
tg2 x |
|
|
|
|
|
|
x→2 |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
2x3 + x2 |
− |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3− |
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
sin 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
x − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x + 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
7) |
x→2 1 − |
√x − 1 |
; |
|
|
|
8) |
x→∞ |
3x2 − 4 − |
|
9) x→0 tg x − sin x3x+1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10) lim |
cos 2x − cos 3x |
; |
|
|
11) |
|
lim |
|
|
|
sin x − cos x |
; |
|
|
|
|
12) |
|
lim |
|
|
2x + 3 |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
→ |
0 |
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
→ |
π/3 |
|
|
cos 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
→∞ 2x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + x3 |
x |
|
|
1/ tg2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
13) |
lim |
2 |
− 1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
14) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
15) |
|
lim |
|
|
2 |
arctg x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
tg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + x7x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ π |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
7 · 13 · · · (6n + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
16) |
|
|
n |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17) |
|
|
|
|
|
|
sin[π√ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
n2 |
+ 1] |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n→∞ 1 · 8 · 27 · · · n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
5.3. Вычислить предел функции
6 f(x) = x sin x2
в точке x0 = 0 или показать, что он не существует.
276 |
|
|
|
Индивидуальные задания |
5.15. Найти экстремумы функций |
||||
|
|
|
x3 |
|
1) y = x3 |
− 6x2 |
+ 12x; 2) y = |
|
; 3) y = x3(x + 2)2. |
x2 + 3 |
5.16. Найти наибольшее и наименьшее значения функций в указанных интервалах:
1) y = x3 − 12x + 7, [0; 3]; |
|
|
|
ln x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2) y = |
|
|
|
, ]0; ∞[; |
3) y = x + |
|
, [0,01; 100]. |
|||||||||||||||
|
x |
x |
||||||||||||||||||||
5.17. Исследовать функции и построить их графики |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
− |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
x |
n→∞ |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2n |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
1 − x3 |
|
3) y = |
ex |
; |
|
|
|
|
1 |
. |
||||||
1) y = 3 (x2 |
|
8)2; 2) y |
; |
4) y = lim |
|
1 + |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
5.18. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
f(x) = |
|
|
x(x − 1)2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.19.Найти наибольшей объ¨ем цилиндра, полная поверхность которого равна S.
5.20.Вычислить указанные пределы, используя правило Лопиталя:
1) lim |
ex − 1 − x3 |
; |
2) lim (tg x)2x−π; |
3) lim (arcsin x ctg x). |
|
sin6 2x |
|||||
x→0 |
|
x→π/2 |
x→0 |
5.21.Построить эскиз графика по известным результатам аналитического исследо-
вания:
1)область определения X =] − ∞; ∞[;
2)вертикальные асимптоты: нет;
3)горизонтальные асимптоты: нет;
4)наклонные асимптоты: y = x (x → ±∞);
5)стационарные точки x = −1, x = 1;
6)точки, где y = ∞: x = −2, x = 2, x = 3;
7)интервалы монотонности: a) возрастания: ] −2; 0[, ]2;3[; б) убывания: ] −∞; −2[, ]0;2[,
]3; ∞[;
8)интервалы выпуклости и вогнутости: а) выпуклости: ]2,5; 3,5[; б) вогнутости: ]−∞; 0[, ]0;2,5[, ]3,5; ∞[;
9)значения функции в некоторых точках: y(−2) = 3; y(0) = 5; y(2) = −3; y(3) = −1; y(5) = −4,5.
5.22.Записать формулу для производной n-го порядка функции y = 102x−1 и вы-
числить е¨ значение в точке x0 = 3. Представить функцию формулой Тейлора до n-го порядка в точке x0 = 3. Выписать остаточный член формулы Тейлора при n = 2, 3 в форме Лагранжа и в форме Коши.
Вариант № 6
6.1. Исходя из определения предела, доказать, что
1) lim |
2n − 1 |
|
= |
− |
2 |
; |
2) lim |
2x2 − 21x − 11 |
= 23. |
|||||||
|
3 |
|
||||||||||||||
n |
→∞ |
2 |
− |
3n |
|
|
x |
→ |
11 |
x |
− |
11 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При ε = 0,01 найти N(ε) для предела последовательности и δ(ε) для предела функции.
Задания для самоконтроля |
279 |
8)интервалы выпуклости и вогнутости: а) выпуклости: ]−∞; −1[, ]−1; 0[; б) вогнутости:
]0; ∞[;
9)значения функции в некоторых точках: y(−3) = −338 ; y(−2) = −4; y(0) = 0; y(2) = 43 .
6.22.Записать формулу для производной n-го порядка функции y = ln(4 + x) и
вычислить е¨ значение в точке x0 = 1. Представить функцию формулой Тейлора до n-го порядка в точке x0 = 1. Выписать остаточный член формулы Тейлора при n = 2, 3
вформе Лагранжа и в форме Коши.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант № 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
7.1. Исходя из определения предела, доказать, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
|
lim |
5n + 15 |
|
= |
− |
5; |
|
|
2) |
|
lim |
6x2 + x − 1 |
= 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
→∞ |
|
6 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
1/3 |
x |
− |
1/3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
При ε = 0,01 найти N(ε) для предела последовательности и δ(ε) для предела функции. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
7.2. Найти пределы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√n4 + 1 + n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n + 1)! + (2n + 2)! |
|
|||||||||||||||||||
1) |
|
|
|
|
|
; |
|
|
2) |
|
|
|
|
|
x + 3x |
|
|
+ 2x |
6 |
|
|
|
3)2]; |
3) |
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
sin x− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
3x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim [ 3 |
(n + 2)2 |
− |
3 |
|
(n |
− |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
(2n + 3)! |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
n→∞ √n5 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
4) |
x→π/2 |
|
cos2 x ; |
|
|
|
|
5) |
x→1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5x2 + 2x − 7 |
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ 5x2 + 1 − 15x + 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
lim |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2 − √ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
7) |
x − 1 |
; |
|
|
|
8) |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
9) |
|
x − sin 4x |
; x+3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
lim |
9x2 + 1 |
− |
3x) |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 − 25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2x − sin 2x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→5 |
|
|
|
|
|
x→±∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10) lim |
cos 3x − 1 |
; |
|
|
|
11) lim |
|
|
|
cos 2x + 1 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
12) |
|
|
lim |
|
1 + x |
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + 2x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
→ |
0 |
|
|
x tg 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
→ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
→±∞ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
13) |
|
|
|
|
|
|
− n |
|
|
|
− |
|
|
; |
14) |
|
|
|
|
ctg(π/6 + x 1/ ln(1+tg2 3x) |
; |
15) |
|
|
|
|
|
1/ sin x |
; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
− |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
2 + √9 + x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x/(1 x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
lim (2 |
|
x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
1 |
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ln (n + 1) |
|
|
|
|
lim esin[π√ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
16) |
lim |
|
|
|
|
; |
17) |
|
n2+1] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
n→∞ lnn+1(n + 2) |
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.3. Вычислить предел функции |
|
|
f(x) = x2 exp |
4 |
|
|
||
(x − 1)3 |
||
|
вточке x0 = 1 или показать, что он не существует.
7.4.Записать асимптотическую оценку функций
1) f(x) = ex − e−x; 2) f(x) = 1 + x sin x − cos 2x
при x → 0 и определить порядок первой бесконечно малой относительно второй.
7.5.Исходя из определения, доказать, что функция f(x) = −2x2 − 4 непрерывна в точкеточке.x0 = 3; найти δ(ε) при ε = 0,1. Показать, что функция непрерывна в произвольной
7.6.Исследовать на непрерывность функции
1) f(x) = |
cos x, |
если 0 x < π/2; |
2) y = 1 + 21/(3x−2); 3) y = 1 − x . |
||
|
1, |
если x < 0; |
|
|
|
|
1 + x, |
если x π/2; |
|
|
|
|
|
1 − |x| |
|||
|
|
|
|
|
|
7.7. Найти производные следующих функций: