1.8.2. Надежность элементов

Опытные данные показывают, что для многих элементов функция опасности отказов l(t) имеет характерный вид кривой, представленной на рисунке 1.6.

l(t)

l(t) =const

0

при-

работка

нормальная

работа

старение

t

Рисунок 1.6 – Функция опасности отказов во времени

Как видно из графика, весь интервал времени работы элемента можно разбить на 3 участка. На первом из них функция l(t) имеет повышенные значения. Это связано с тем, что в большой партии всегда имеются элементы со скрытыми дефектами; они выходят из строя вскоре после начала работы. По этой причине первый период называют периодом приработки. Второй - называется периодом нормальной работы. Он характеризуется приближенно постоянным значением опасности отказа. Последний период – период старения. Здесь опасность отказа возрастает.

Экономическую интерпретацию графика можно представить следующим образом. В 1-м периоде, когда предприятие начинает работать, его действия недостаточно согласованы с обстановкой на рынке сбыта, поэтому отказы, например, в виде убытков, весьма вероятны. В период нормальной работы деятельность предприятия стабилизируется и возможность ошибочных действий некоторое время не меняется (l(t)=l₀=const). Если в дальнейшем предприятие не приспосабливается к изменяющейся экономической обстановке, т.е. «стареет», то опасность убытков начинает возрастать (l>l₀).

Если периодом приработки элементов пренебречь и считать, что эксплуатация элементов заканчивается раньше заметного их старения, то для широкого класса элементов можно принять . Тогда получаем. Такой закон надежности называется экспоненциальным. Среднее время жизни элемента для этого случая равно

.

Таким образом, для экспоненциального закона опасность отказа обратно пропорционально среднему времени безотказной работы. Поэтому можно записать

(1.22)

Экспоненциальный закон распределения популярен в теории надежности, т.к. он физически естественен, прост и удобен для использования. Почти все формулы в теории надежности для экспоненциального закона резко упрощаются. Это связано со следующим важным его свойством: вероятность безотказной работы элемента на интервале (t, t+t) для этого закона зависит только от длины интервала , т.е. не связана с предысторией процесса. Действительно, после элементарных преобразований формулы (1.21) получаем

.

1.8.3 Надежность системы

Под системой понимается любое устройство, техническая или экономическая система, состоящая из частей, надежность которых задана. Эти части будем называть элементами. Структура системы и характер ее работы должны быть известны. Задача заключается в том, чтобы выразить функцию надежности системы Р(t) через функции надежности ее элементов.

Разберем сначала самый простой случай. Будем считать, что nэлементов в системесоединены последовательно в смысле надежности (рисунок 1.7а), если отказ любого элемента вызывает отказ всей системы. Тогда для безотказной работы системы в течение времениtнужно, чтобы каждый элемент проработал безотказно в течение этого времени. Так как элементы независимы в смысле надежности, то

. (1. 23.)

Итак, при последовательном соединении элементов функции их надежности перемножаются.

Достаточно просто показать, что при последовательном соединении опасности отказов элементов складываются. Для этого воспользуемся формулой (1.20). Поставим ее в формулу (1.23). Отсюда следует, что

. (1.24)

Если =const, то получаем, что . Это случай, когда надежности всех элементов подчиняются экспоненциальному закону.

Рассмотрим теперь второй cлучай соединения элементов в системе. Считаем, что элементы соединены параллельно в смысле надежности (рисунок 1.7б). Отказ системы наступает только тогда, когда отказывают все входящие в систему элементы. Так как элементы независимы в смысле надежности, то получаем следующую функцию вероятности отказа системы за промежуток времени (0, t)

, (1.25)

где g_i(t)– вероятность отказаi-го элемента в течение времени t.

Таким образом, при параллельном соединении вероятности отказа элементов перемножаются. В частности, для экспоненциального закона надежности элементов при получаем

. (1.26)

При более сложных соединениях элементов в системе (рисунок 1.7 в,г, д), её надежность рассчитывается путем поэтапной замены подсистем последовательно и параллельно соединенных элементов в один элемент с параметрами, определяемыми по предыдущим формулам.

а)

б)

в)

г)

д)

Рисунок 1.7 – Схемы соединения элементов: а)последовательно;

б) параллельное; в)-д) параллельно-последовательное