2. Случайные прцессы

2.1Общие понятия

Случайным (вероятностным, стохастическим) называется процесс изменения во времени состояния или характеристик некоторой системы под влиянием случайных факторов.

Случайные процессы (СП) бывают стационарными и нестационарными, непрерывными и дискретными, одномерными и многомерными.

Стационарныминазываются случайные процессы, вероятностные характеристики которых в пространстве не меняются со временем. Они называются стационарными СПв широком смысле. Если, например, среднее значение случайного процесса во времени не меняется, а среднеквадратичное отклонение σ различно на отдельных временных интервалах, то процесс называют стационарным СПв узком смысле.В прикладных задачах для стационарных СП обычно имеют дело с первой группой случайных процессов.

Если вероятностные характеристики процесса меняются во времени, то он называется нестационарным.

Понятие непрерывностислучайного процесса эквивалентно подобному понятию в математическом анализе.

В случае дискретностипроцесса считается, что в отдельные моменты времени меняется его состояние. Если время непрерывно, то дискретный случайный процесс называетсяпроцессом с непрерывным временем. Если переходы процесса из состояния в состояние происходят в заранее фиксированные моменты, то дискретный случайный процесс называетсяпроцессом с дискретным временем.

. Если функция x(t)в момент времениt принимает одно значение, процесс считаетсяодномерным.

Если функция X(t)– вектор, т. е. она включает в себя несколько статистически связанных между собой параметров, то этомногомерный случайный процесс.

Приведем примеры.

Малые изменения напряжения в электросети – случайный дискретный стационарный процесс с непрерывным временем.

Изменение температуры воздуха в атмосфере в течение года – процесс непрерывный нестационарный случайный.

Дискретный случайный процесс – изменение интервалов времени между телефонными звонками.

Скорость ветра в заданной точке приземного пространства - многомерный (трехмерный) случайный процесс. Составляющие здесь – модуль скорости и две координаты направления.

Специфически описываемыми являются процессы, которые называются нестационарный временной ряд; информацию об их поведении можно получить только на основе статистического анализа. Подобный анализ проведен в конце настоящего раздела.

Зная статистические характеристики случайного процесса x(t)во времени, можно прогнозировать его поведение в ближайшем будущем и вычислять вероятностные параметры.

Основными статистическими характеристиками случайного процесса x(t)являются:

- математическое ожидание x(t),равное М[ x(t)] или (t) для каждого значенияt;

- дисперсия x(t),равнаяD[ x(t)];

- корреляционная (автокорреляционная) функция K( t₁, t₂) , которая вычисляется по формуле

K( t₁, t₂) = М [ ( x(t₁) -(t₁))( x(t₂) -(t₂) ] .

Для стационарных случайных процессов

K( t₁, t₂) = М [( x(t₁) -)( x(t₂) -) ] = K( t₂ - t₁).

Достаточно просто описываемым является непрерывный нормальный стационарный случайный процесс. К исследованию таких процессов, как правило, можно свести многие непрерывные, выделив из них, так называемый, тренд – плавно меняющуюся во времени составляющую.

Дисперсия стационарного случайного процесса связана с корреляционной функцией формулой K(0) = σ ².

Зная характеристики случайного процесса x (t)во времени, можно прогнозировать его поведение в ближайшем будущем и вычислять вероятностные параметры.