2.2 Непрерывный нормальный

стационарный случайный процесс

2.2.1 Общие понятия

Вероятностными характеристиками непрерывного нормального стационарного случайного процессаx(t) является:

- среднее значение случайного процесса ,

- среднеквадратичное отклонение значений σ_х,

- вид и параметры нормированной корреляционной функции .

Под «нормальностью» нормального случайного процесса понимается тот факт, что его значения, x(t)для любого значенияtподчиняются нормальному закону распределения (что характерно для большинства стационарных процессов). Иллюстрация процесса – на рисунке 2.1.

Рисунок 2.1 – Непрерывный нормальный стационарный

случайный процесс x(t)

Неизвестной нам характеристикой случайного процесса (по сравнению со случайными величинами) является корреляционная функция. Ее физический смысл состоит в том, что функция(автокорреляционная функция) определяет степень связи значенийx(t) иx(t+τ), отстоящих одна от другой на интервалτ.Аналогом функции является коэффициент корреляции (вспомним математическую статистику): при детерминированной связи (τ = 0) – связь абсолютная, коэффициент корреляции равен 1; при отсутствии связи (τ =∞) он равен 0. Такими же свойствами обладает и корреляционная функция.

Посмотрим на рисунок 2.1: при τ=0 значения функции x(t) = x(t+τ), т. е.значениедолжно быть равно единице. При τ = ∞,например,τ>>4 значения функции практически, не связаны, т. е.равно нулю. Таким образом и организуется структура корреляционной функции.

2.2.2 Нормированная корреляционная функция

Для удобства аналитических исследований поведения случайных процессов во времени ее корреляционную функцию обычно нормируют, т. е. приводят к виду, когда станет равна 1 без потери своих свойств. Это позволяет организовать единый подход к исследованию функций, имеющих подобное поведение.

Нормированной корреляционной функциейнепрерывного случайного процессаx(t)называется функция, описывающая корреляционную связь между нормированными значениямиx(t) иx(t+).Под нормированными здесь понимаются новые значенияx(t), деленные на σ_х и приведенными к нулевому среднему. Значения нормированной корреляционной функции определяются по формуле

, (2.1)

При значениек(0)=1. Прифункцияубывает, стремясь к нулю при τ →∞.Иллюстрации возможных графиков этих функций представлены на рисунках 2.2 и 2.3..

Часто, в реальных случайных процессах, нормированная корреляционная функция описывается одной из зависимостей:

(2.2)

где – коэффициент затухания корреляционной функции;

- коэффициент, характеризующий колебания функции.

Рисунок 2.2 – График безразмерной функции K(at)

Рисунок 2.3 – Графики функции K(at)при различных значениях параметраß / α: сплошная линия ß / α =1; пунктир -ß / α =2.

На практике обычно используется вторая из функций (2.2). Это связано с тем, что почти любой случайный процесс «невольно» имеет некоторую переменную периодическую составляющую. В этом мы убедимся при дальнейших статистических исследованиях.

2.2.3 Выбросы случайных процессов

Под выбросами случайного процесса понимается частота и продолжительность его пребывания за пределами какой – либо «допустимой области», например, за пределами ± 2σ_х.Такие ситуации характеризуют опасность или нестандартность его поведения.

Например, это могут быть чрезмерные морозы или наводнения, дефолты на бирже и т. д. Выбросы и теория крайних значений – наиболее изучаемые части разделов теории стационарных случайных процессов.

Частота λ_а и продолжительностьτ_атаких экстраординарных событий как выбросы случайных процессов прогнозируется с помощью методов, включающих дифференцирование корреляционной функции и использования стационарных параметров процесса.

Для непрерывных дважды дифференцируемых нормальных стационарных случайных процессов с нормированной корреляционной функцией κ(τ),средним значениеми среднеквадратичным отклонениемσ_х, частота λ_а исредняя продолжительность выбросаза уровеньа(а > ) рассчитываются по следующим формулам (приводятся без доказательств):

сут. (2.3)

1/сут, (2.4)

где Ф(у) - интеграл вероятности; он табулирован и значения его приве- дены в таблице 2.1;

(0) - вторая производная корреляционной функции по времени при τ=0.

Таблица 2.1 – Значения функции Ф(y)

Y	-2	-1,75	-1,5	-1,25	-1,0	-0,75	-0,5	-0,25	0
Ф(y)	0,02	0,04	0,07	0,11	0,16	0,23	0,31	0,4	0,5
Y	0,25	0,5	0,75	1,0	1,25	1,5	1,75	2,0	2,25
Ф(y)	0,6	0,69	0,77	0,84	0,89	0,93	0,96	0,98	0,99

Замечание 1.Если значения Ф(y)находятся в интервале между табличными, то их можно рассчитывать приближенно, учитывая что на границах интервала они соответствуют табличным.

Замечание 2. Вероятность того, что значения случайного процесса превысят величинуа > рассчитывается по стандартным формулам теории вероятностей с использованием таблицы 2.1, учитывая, чтор(а)=1/2(λ_а).Получаем

р(а) = 0,5(λ_а) = 1/2]. (2.5)

Для корреляционных функций вида (2.2) значения для первой и второй функций равны, соответственно

, (2.6)

Самостоятельная задача.Проверить формулу (2.6).

Задача . Нормированная корреляционная функция случайного процесса имеет вид

(2.7)

где параметры α и β равны, соответственно, α=0,55 1/сут; β=1,2 1/сут. Параметры =3,26 и σ_х=0,4.

Требуется найти интенсивность выбросов процесса за уровень а=+ σ_х и среднюю продолжительность выбросов.

Решение.

По формуле (2.3) и (2.4 ) находим

1/сут, сут.

Таким образом, средний интервал между выходами показаний процесса за величину σ_х от среднего значения будет составлять, примерно две недели, а их продолжительность – около суток.

Самостоятельная задача.Для непрерывного нормального стационарного случайных процесса с нормированной корреляционной функцией (2.7) со средним значением= 1, среднеквадратичным отклонениемσ_х = 0,75 и параметрамиα = 0,5, β =1,0 вычислить частоту и среднюю продолжительность его выбросов за уровеньа=2.

2.2.4 Построение корреляционных функций

случайных процессов

Наиболее распространенная нормированная корреляционная функция нормального стационарного случайного процесса имеет вид (2.7). Параметры корреляционной функции могут быть определены статистически, путем обработки значения случайного процесса на интервале наблюдения (0;Т). Для этого интервал длинойТразбивается на достаточно большое числоnэлементарных интервалов . Интервал выбирается таким образом, чтобы значения и отличались не более, чем не 5-10%. Затем составляется следующая таблица.

Таблица 2.2 – Значения

I	0	1	2	………	n-1	N
				………

Далее вычисляется среднее значение процесса

.

Данные таблицы 2.2 центрируются для перехода к новым значениям . В новом процессе среднее значение уже будет равно нулю.

Таблица 2.3 – Значения

I	0	1	2	…	n-1	N
				………

Далее вычисляется среднеквадратичные отклонения процесса

.

Данные таблицы 2.3 нормируются для перехода к значениям . В новом процессе среднее значение будет равно нулю, а среднеквадратичное отклонение – единице.

Таблица 2.4 – Значения

I	0	1	2	…	n-1	N
				………

Значения вычисляются по следующим формулам. ( Последняя из формул является обобщающей. Здесьe=1,2,…,0.5n).

(2.8)

Построение графика эмпирической корреляционной функции осуществляется по точкам К(1), К(2), …, К(п), где черезi обозначены значенияt_{i .} Построение заканчивается, когда получаемК(i)≤0,05.Соединяя эти точки кривой, получаем характер убывания функцииК(τ).

В таблице 2.5 приведены значения процесса x(t_i), представленного на рисунке 2.1. В последних столбцах таблицы – параметры центрированного и нормированного процессов.

Таблица 2.5. – Значения x(t_i),y(t_i)иz(t_i)во времени (Dt=1 сут.)

i, сут.	x(ti)	y(ti)	z(ti)
0	3,0	-0,2	-0,5
1	3,6	0,4	1,0
2	3,9	0,7	1,75
3	2,9	-0,3	-0,75
4	2,9	-0,3	-0,75
5	3,5	0,3	0,75
6	4,0	0,8	2,0
7	3,3	0,1	0,25
8	2,8	-0,4	-1,0
9	2,4	-0,8	-2,0
10	2,6	-0,6	-1,5
11	3,3	0,1	0,25
12	2,6	-0,6	-1,5
13	3,6	0,4	1,0
14	3,5	0,3	0,75
15	2,9	-0,3	-0,75

Процесс вычисления значений корреляционной функции разделим на шаги.

Шаг 1. Вычислим значение K(1):

Шаг 2. Вычислим K(2):

Аналогичным образом на третьем шаге получаем K(3) = -0,18, далееK(4) = 0,06,K(5) = - 0,02 и расчеты заканчиваются.

График эмпирической корреляционной функции непрерывного нормального стационарного случайного процесса x(t), изображенного на рисунке 2.1, построенный по его отдельным значениям - точкамK(i), представлен на рисунке 2.4.

Рисунок 2.4 – Эмпирическая корреляционная функция процесса

Параметры α и ß корреляционной функции (2.7) можно определить, зная время, через которое она достигнет первого минимума () и значение функции в этой точке (К_min). Тогда, решая систему уравнений

(2.9)

Получаем

(2.10)

В нашем случае (рисунок 2.4) имеем .

По формулам (2.10) находим b=1,2;a=0,55.

Нормированная корреляционная функция случайного процесса x(t)– рисунок 2.4 определяется в виде

(2.11)

С использованием этой функции и других параметров процесса по методике, изложенной в подразделе 2.2.2, определяются параметры выбросов случайного процесса и вероятности превышения его значений заданных уровней.

Самостоятельная задача. Доказать справедливость системы уравнений (2.9) и формулы (2.10).