1.7 Нормальное распределение

Плотность нормального распределения случайных величин химеет вид, представленный на рисунке 1.4.

В общем случае плотность нормального распределения описывается формулой

f (x) =.

Здесь а – среднее значение случайной величины,s –ее среднеквадратичное отклонение. На графике, рисунок 1.4 ,а= 3,s= 2.

При вероятностных расчетах обычно переходят к нормированным функциям нормального распределения

f (z) =;F(y) = ,

где z= – нормированная случайная величина, имеющая среднее значение ноль и единичную дисперсию.

Значения нормированной функции нормального распределения табулированы. Они приведены в таблице 1.5.

Рисунок 1.4 – График плотности нормального распределения

Таблица 1.5 – Значения функции F(y)

Y	-2	-1,75	-1,5	-1,25	-1,0	-0,75	-0,5	-0,25	0
F(y)	0,02	0,04	0,07	0,11	0,16	0,23	0,31	0,4	0,5
Y	0,25	0,5	0,75	1,0	1,25	1,5	1,75	2,0	2,25
F(y)	0,6	0,69	0,77	0,84	0,89	0,93	0,96	0,98	0,99

Замечание.Если значенияF(y) находятся в интервале между табличными, то их можно рассчитывать приближенно, учитывая что на границах интервала они соответствуют табличным. Еслиy меньше, чем –3,0 или больше, чем 3,0, то в первом случае принимаютF(y)=0, во втором –F(y)=1.

Задача.Задана плотность нормального распределения

f (x) =.

Вычислить вероятность того, что значение хнаходится в интервале (0 <x < 3).

Решение. Из вида плотности распределения следует, чтоа = 1;s = 2.Тогда нормированные значения величиныу=на границах интервала равны – 0,5 и 1,0, соответственно. ТогдаF(–0,5) = 0,31;F(1) = 0,84. Поэтому Р (0 <x < 3) = 0,84 – 0,31 =0,53.

Самостоятельная задача.Для нормального распределения со среднима = 2 и среднеквадратичным отклонениемs = 3 вычислитьР (1 <x < 5). Построить график плотности распределения.

1.8 Основы теории надежности

С развитием техники, технологий и организационно-экономических систем значительную актуальность приобрели вопросы оценки и повышения эффективности различных устройств, систем и производств. Научная дисциплина, изучающая методы и приемы, которых следует придерживаться при проектировании, производстве и эксплуатации изделий и систем для обеспечения максимальной их эффективности в процессе использования, а также разрабатывающая методы расчета качества систем по известным показателям качества составляющих их элементов, получила название теории надежности.

Под надежностью понимают свойство объекта, технологии выполнять заданные функции (сохранять установленные эксплуатационные или экономические показатели) в течение заданного периода времени. В техники – это, например, свойство электрической лампочки не перегорать в течение заданного времени. В технологии - способность предприятия стабильно выпускать продукцию заданного качества, в экономике, например, - обеспечивать прибыльность при реализации продукции без использования дополнительных мер в некотором временном интервале.).

Теория надежностиявляется комплексной прикладной наукой и ее результаты могут использоваться математиками, инженерами, экономистами и другими специалистами - прикладниками. Для реализации задач, возникающих в теории надежности, оказываются необходимыми методы экономико-математического моделирования, теории вероятностей и математической статистики, структурный анализ. Основной задачей теории надежностиявляется прогнозирование различных показателей безотказной работы элементов и систем. Порядок ее нарушений следует изучать как дискретный случайный процесс ее функционирования во времени.

Введем основные понятия теории надежности.

Под элементомв теории надежности будем понимать изделие, элемент, систему или ее часть. Подотказом элемента понимается утрата работоспособности, т.е. потеря возможности выполнять возложенную на него функцию.

По своему характеру отказы могут быть разделены на внезапные и постепенные. Постепенные отказы возникают при медленном изменении параметров, определяющих качество изделия или системы, в основном, в результате старения (физического или морального) и износа, когда эти параметры выходят за пределы установленных допусков. Внезапные отказы определяются резким изменением параметров, характеризующих качество элемента или системы.

Наряду с указанными базовыми понятиями в теории надежности вводится дополнительное: среднее время безотказной работыэлемента или системы. Оно определяет средний период нормального функционирования элемента или системы и является важным статистическим показателем их работоспособности.

1.8.1 Функция надежности

Рассмотрим вначале простейший случай – работу отдельного элемента, у которого имеется два состояния: работа и отказ (выход из строя).

Пусть в момент времени t= 0 рассматриваемый элемент начинает работу, а в моментt = tпроисходит его отказ. Величинаt называется сроком службы элемента (временем безотказной работы). Предположим, чтоt– случайная величина с законом распределения Q (t). ТогдаQ(t) есть вероятность отказа элемента до моментаt.Употребляется и другая функция

P(t) = 1 – Q(t) = F (t > t),

т.е. вероятность безотказной работы элемента в течение времени t. Такая функция называетсяфункцией надежности. Примерный вид функций надежностиQ(t)и вероятности отказаP(t) показаны на рисунке 1.5. Функция надёжности монотонно убывает от единицы до нуля, т.е.Р(0) = 1 иР(t)®0 приt®¥.

1

0

Q(t)

Р(t)

0

t

Рисунок 1.5 – Зависимость вероятности отказа элемента

Q(t)и функция надежности Р(t)от времени

Часто надежность характеризуется не функцией Р (t), а средним временем безотказной работы элемента

, (1.18)

где q(t) – плотность распределения функцииQ (t), т.е.q(t) =dQ(t)/ dt.;

Преобразуем этот интеграл к другому виду, взяв его по частям. Такой метод широко используется в интегральном исчислении. Для этого обозначим t=u; Q(t) = 1 - P(t) = v.Из формулыudv = uv - vduпосле интегрирования получаем

откуда следует классическая формула для расчета Т₀

dt. (1.19)

Она имеет полезную геометрическую интерпретацию, а именно, Т₀– площадь под кривойР(t) – рисунок 1.5.

Рассмотрим важнейшую характеристику надежности, которая называется опасностью отказа.Для иллюстрации этой характеристики рассмотрим вначале такуюзадачу. Пусть элемент проработал безотказно до моментаt. Требуется определить, какова вероятностьР (t, t₁)того, что он не откажет на интервале(t, t₁)?

Решение.Обозначим черезА – событие, означающее безотказную работу на интервале (0, t);В– на интервале(t, t₁). ТогдаР(t, t₁)есть условная вероятность событияВпри условии, что произошло событиеА. Она обозначаетсяР(В/А). По формуле расчета условных вероятностей получаем

.

Но событие АВозначает безотказную работу элемента в течение времениt₁. Поэтому. Вероятность отказа на интервале (t, t₁) можно выразить так. Приt₁=t+Dtи приDt®0 получаем. Введем обозначение

. (1.20)

Это вероятность того, что элемент, проработавший безотказно до момента t, не откажет в последующую единицу времени. Величинаназывается опасностью илиинтенсивностью отказа. Величина>0, т.к.Р(t) - убывающая функция и производная от нее отрицательна. Решая уравнение (1.20) относительноР(t), получаем

Р(t) =ехр(). (1.21)

Это основная формула теории надежности(закон надежности).