- •С.П. Казаков
- •Содержание
- •1. Элементы теории вероятностей
- •1.1. Общие понятия
- •1.2. Сумма и произведение случайных событий,
- •1.3 Формула полной вероятности, формула Байеса
- •1.4 Схема Бернулли
- •1.5 Дискретные случайные величины
- •1.6 Непрерывные случайные величины
- •1.6.2 Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •1.3 – Плотности распределения случайных величин
- •1.7 Нормальное распределение
- •1.8 Основы теории надежности
- •1.8.2. Надежность элементов
- •Контрольные вопросы и задачи
- •2. Случайные прцессы
- •2.1Общие понятия
- •2.2 Непрерывный нормальный
- •2.3 Нестационарный случайный процесс (временной ряд)
- •2. 4 Марковские случайные процессы
- •Самостоятельная работа № 2
- •3. Математическая статистика
- •3.1 Общие понятия и задачи математической статистики
- •3.2 Выборочный метод
- •175, 166, 169, 179, 164, 170, 169, 167, 175, 181.
- •158, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169,169,
- •170, 170, 171, 174, 175, 175, 177, 179, 180, 181.
- •3.3 Точечные оценки параметров распределений
- •3.4 Доверительные интервалы
- •3.5 Отсев грубых ошибок и определение минимально
- •3.6Проверка статистических гипотез
- •6, 4, 5, 7, 6, 4, 8, 6, 8, 9. 3, 2, 0, 4, 4, 3, 4, 1, 5, 7.
- •3, 6, 3, 4, 6, 9, 4, 9, 6, 5. 3, 4, 6, 4, 2, 3, 6, 3, 4, 1.
- •4 Статистические зависимости и связи
- •4.1 Подбор эмпирических формул (парная корреляция)
- •4.2 Практическая задача: проверка легитимности выборов
- •4.3 Множественная корреляция
- •4.4 Задачи классификации
- •Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика
1.4 Схема Бернулли
Рассмотрим последовательность пнезависимых испытаний, результатами которых может быть появление kраз событияA. Пусть вероятность появления этого события равна P(A) = p, тогдаP() = 1–p.Здесь – непоявление событияА. Описанная схема испытаний получила названиесхемы Бернулли– математикаXVIIвека.
В теории вероятностей доказано следующее утверждение. Вероятность появления k положительных результатов при n испытаниях, если вероятность положительного результата равна pрассчитывается по формуле
P(k,n) = .(1.6)
Напомним, что здесь – число сочетаний элементов изnпоk(см. раздел 2, комбинаторика); оно рассчитывается по формуле
. (1.7)
Задача.Пять раз подряд подбрасывают игральную кость. Какова вероятность того, что два раза выпадут шестерки (три раза; один раз)?
Решение.Имеем схему Бернулли из пяти испытаний с двумя положительными исходами. При этомр=. Получаем
P(2, 5) =
P(3, 5) = P(1, 5) = 0,4.
Самостоятельная задача. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что одному из них вероятнее: выиграть двепартиииз четырех или три партии из шести? (Ничьи во внимание не принимаются).
Обычно в задачах, связанных с применением схемы Бернулли, исследователей интересует два вопроса: есть ли простые формулы для вычисления вероятностей P(k, n) иможно ли вычислить вероятность того, что величина k будет меньше (или больше) некоторой величины ?
В теории вероятностей на это дан ответ в виде формул и теорем Пуассона
Формулы и теоремы Пуассона и Муавра-Лапласа
Формула Пуассона.Если число испытанийnпо схеме Бернулли велико (п >30), а вероятность успехар – мала и мало также произведение , то вероятностьP(k, n) рассчитывается поформуле Пуассона
P(k, n) ≈k=0,1,2,…. (1.8)
Локальная теорема Муавра-Лапласа.Если число испытанийnв схеме Бернулли велико, велика также вероятность успехаpи неудачиq=1–p(превышают 0,2), то вероятностьP(k, n) рассчитывается по формуле
где ;. (1.9)
Соотношение (1.9) называется локальной формулой Муавра-Лапласа.Функцияf(x) называется плотностью стандартного нормального распределения.
Интегральная теорема Муавра-Лапласа.Для расчета вероятностиP() справедливо приближенное соотношение
P() (1.10)
где функция Ф0(x) и аргументы определяются по формулам
, ,(1.11)
Функцию Ф0(x) называетсяинтегралом Лапласа. Она табулирована (см. таблицу 1.1). Отметим, что интеграл Лапласа обладает следующим свойством:
поэтому значения интеграла для отрицательных xв таблице не приводятся.
Таблица 1.1 – Значения интеграла Лапласа
x |
0 |
0,25 |
0,5 |
0,75 |
1 |
1,25 |
1,5 |
1,75 |
2 |
3 |
|
0 |
0,1 |
0,19 |
0,27 |
0,34 |
0,39 |
0,43 |
0,46 |
0,48 |
0,499 |
Для удобства использования формул и теорем Пуассона и Муавра-Лапласав таблице 1.2 приведены условия использования схемы Бернулли в зависимости от соотношения между параметрамиn,k,p.
Таблица 1.2 – Условия использования схемы Бернулли
-
Значения n, k, p
Формулы для расчета (k)
Произвольные
Формула Бернулли
N– «велико» (n> 30);
p– «мало» (p< 0,1);
np=илиn(1 –p) – «мало» (np< 3 илиn(1 –p) < 3).
Формула Пуассона
N– «велико» (n> 30);
pили (1 –p) – «велико»
(p> 0,2 или (1 –p) > 0,2).
;
.
Формулы Муавра-Лапласа
Самостоятельная задача. Сравнить результаты расчетов по формулам Бернулли и Пуассона прир=0,1; п= 30; к=2.
Решение практических задач
Задача 1.На факультете обучаются 300 студентов. Найти вероятность того, что 80 студентов будут праздновать день рождения летом.
Решение. Воспользуемся схемой Бернулли и локальной теоремой Муавра-Лапласа. Имеем n = 300; p = 0,25; q = 0,75; k = 80. Вычисляем
= 7,5; x =
По таблице 1.1 находим f(0,67) = 0,32. Значит P(80,300)=0,32/7,5=0,043.
Задача 2. Решить предыдущую задачу в постановке: … найти вероятность того, что не более 80 студентов будут праздновать день рождения летом.
Решение.Воспользуемся интегральной теоремой Муавра-Лапласа. Тогда по формуле (1.10) получаем P() Вычислимх1 и х2. Имеем n = 300; p = 0,25; q = 0,75; k = 80,= 7,5. Тогдах1 = x2 = Далее
= = 0, 23 + 0,5 = 0, 83.
Самостоятельные задачи.Решить предыдущие две задачи в постановке:n=100,k=30.
Задача 3.Учебное пособие издано тиражом 200 экземпляров. Вероятность того, что оно неправильно сброшюровано, равна 0,01. Найти вероятность того, что тираж содержит три бракованных пособия.
Решение.Имеем схему Бернулли ср= 0,01;n= 200;k= 3. При этомПо формуле Пуассона получаем
P(3, 200) =
Самостоятельная задача.Для предыдущей задачи найти вероятность того, что а) в тираже не будет ни одногобракованного пособия; б) будет два бракованных пособия.
Задача 4.Решить задачу 3 в постановке: … в тираже будет не более три бракованных пособий.
Решение.Используем формулу Пуассона. Имеем
P(k≤3)= P(0;200)+P(1;200)+P(2;200)+P(3;200).
Далее получаем P(0;200)=;P(1;200)=;P(2;200)=2;P(3;200)=0,18. Окончательно находимР(k≤3) = 0,72.