Термодинамика и статфизика часть 1 |
15 |
Фазовый объем Dp q аналогичен DГ. Он характеризует размеры той области фазового пространства, в которой равновесная подсистема может находиться с заметной вероятностью.
Рассмотрим, как связаны число состояний D G в заданном интервале энергий и элемент фазового объема D W . Или другими словами, сколько состояний D G содержится в элементе фазового объема D W . Для этого необходимо вспомнить один из главных принципов
квантовой механики – принцип неопределенности. Принцип неопределенности утверждает, что координата и импульс любой частицы не могут быть определены одновременно со сколь угодно большой точностью. Неопределенности этих величин удовлетворяют неравенству:
D pD q ³ 2π h
где h - постоянная Планка.
Это выражение должно выполняться для всех N степеней свободы рассматриваемой системы.
Соответственно,
D W ³ (2π h) N
Можно сказать, что величина (2π h) N равна минимальному объему ячейки в фазовом пространстве. Тогда число состояний D G в элементе фазового объема D W равно (число
«элементарных» ячеек в объеме D W |
): |
|
D G = |
|
Ω |
( 2π |
h)3N |
|
Это и есть искомая связь между D W и D G . Т.е энтропия системы в классическом случае S = ln (2πph)qN
2.5. Связь энтропии с функцией распределения
Квантовое рассмотрение
Мы получили соотношения
S = ln D G
w(`E) DГ=1 ® DГ=1/ w(`E) т.е.
S = − ln w(E )
Мы получили связь между S и w(`E). А нам необходима связь с w(E).
Согласно теоремы Лиувилля Ln w(E) =a+bE – линейная функция E Тогда <ln w(E)>= Ln w(<E>)
Для того, чтобы рассчитать среднее значение от величины f согласно квантовой механике
f = å wn fn
Термодинамика и статфизика часть 1 |
16 |
S = − å wn ln wn
где wn- вероятность нахождения системы в состоянии Еn, причем под n мы понимаем набор квантовых чисел.
Классический случай
Ранее мы ввели объем фазового пространства, где находится наша подсистема все время наблюдения.
DpDq =1/ r(`E)
S = ln |
p q |
= ln |
1 |
|
|
|
= |
- |
ln((2π h) N ρ (E )) |
|||
|
(2π h) N ρ (E ) |
|||||||||||
|
(2π h) N |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
} = α |
+ |
β |
|
|
|
|||||
С учетом того, что ln ρ { E |
E = < ln ρ { E} > , получаем, |
|||||||||||
|
S = - < ( 2π h)3N ln ρ { |
|
} |
> = - ò ρ { E ( q, p)} ln ëé ( 2π h)3 N ρ { E ( q, p)}ûù dW |
||||||||
|
E |
|||||||||||
В последней формуле мы воспользовались определением средних для любых физических величин:
< A> = ò A{ q, p} ρ { q, p} dW .
Таким образом, зная функцию распределения можно вычислить энтропию системы.
Рассмотрим теперь замкнутую систему в целом. Пусть DГ1, DГ2, ... - статистические веса ее различных подсистем. Поскольку каждая из подсистем может находиться в одном из DГа квантовых состояний, то число квантовых состояний, в которых может находиться вся замкнутая система есть
Эта величина называется статистическим весом замкнутой системы, а величина
называется энтропией замкнутой системы.
Таким образом, энтропия является величиной аддитивной: энтропия системы равна сумме энтропии всех ее частей.
Исходя из микроканонического распределения, можно доказать, что если замкнутая система находится в неравновесном макроскопическом состоянии, то наиболее вероятным следствием в последующие моменты времени будет возрастание ее энтропии. Это - закон возрастания энтропии в статистической механике.
Таким образом, энтропия, введенная в статистике, обладает теми же свойствами, что и энтропия в термодинамике. То обстоятельство, что термодинамическая энтропия S
пропорциональна логарифму статистического веса DГ, было впервые доказано Больцманом.