( f )2

а отношение ( f )2 / f - относительной флуктуацией величины f.

Какими свойствами обладает функция распределения ρ { pr,qr} и как ее можно использовать для предсказания физических свойств макроскопических систем?

Первое, практически, очевидное свойство функции ρ { pr,qr} состоит в том, что интеграл от этой функции по всему фазовому пространству равен единице:

Это свойство очевидно, потому что этот интеграл определяет вероятность того, что система находится хоть в какой-нибудь точке фазового пространства, что реализуется со стопроцентной вероятностью.

Второе свойство более сложное. Рассмотрим большую систему, которую мысленно разделим на две подсистемы. Вопрос: какова вероятность того, что большая система

находится в таком состоянии, что первая подсистема находится в заданной точке {qi(1) , pi(1) } в

Ω 2 своего. Т.к. движение частиц в обеих подсистемах можно считать независимыми друг от друга, можно написать эту вероятность в виде:

ρ {qi(1) , pi(1) , qi( 2) , pi( 2) } dΩ 1 dΩ 2 = ρ {qi(1) , pi(1) } dΩ 1 ρ {qi( 2) , pi( 2) } dΩ 2

Или иначе

ρ {qi(1) , pi(1) , qi( 2) , pi( 2) } = ρ {qi(1) , pi(1) } ρ {qi( 2) , pi( 2) }

Вероятность той или иной части равновесной системы находится в заданном состоянии, не зависит от того, в каком состоянии находятся другие части этой системы. Это свойство называется статистической независимостью. Как следствие - плотность вероятности обладает свойством мультипликативности. Это второе важнейшее свойство функции

ρ { pr,qr} . Это свойство является приближенным по следующим соображениям. Рассмотрим

две подсистемы. Полная энергия пропорциональна числу частиц E~ N =N x N y N z а энергия взаимодействия двух подсистем будет пропорциональна числу взаимодействующих

взаимодействием подсистем и рассматривать движение частиц в подсистемах независимым.

2.2. Теорема Лиувилля

Рассмотрим, как меняется плотность вероятности ρ { pr,qr} равновесной системы,

когда точка, изображающая эту систему в фазовом пространстве, движется по своей фазовой траектории. Воспользуемся таким, несколько искусственным, приемом. Разобьем все время

наблюдения за системой на малые промежутки времени. Пусть в моменты времени t1, t2 , t3,...

система находилась в точках A1, A2, A3,... своего фазового пространства. Отвлечемся теперь на

минуту от нашей системы и вообразим себе, что в какой-то момент времени мы имеем большое количество подсистем, тождественных с рассматриваемой нами системой. Пусть

ансамбля клонированных описанным способом систем. Т.е. будем следить за тем, что будет происходить с точками A1, A2, A3,... . Плотность распределения этих точек в фазовом

пространстве в исходный момент времени описывается функцией ρ { pr,qr} . Дальнейшее их

движение можно рассматривать, как течение «газа» в пространстве, размерность которого совпадает с размерностью фазового пространства. Причем течение такое, что траектории не пересекаются. Случай пересечения траекторий означает, что частицы в некоторый момент времени t имеют такие-же скорости и импульсы, которые они имели в другой момент времени t0. Это маловероятное событие. В частности, чтобы для газа объемом 1 см3 произошло это событие не хватит времени существования вселенной.

Для такого движения формально имеет место уравнение непрерывности

Подчеркнем, что координатами в данном случае являются переменные { qi , pi } , а скоростью

ρ { pr,qr} не зависит явно от времени. Поэтому первый член в приведенном уравнении равен

нулю. Распишем теперь член с дивиргенцией.

Вспомним определение этой операции (через скалярное произведение)

Легко показать, что член, стоящий в скобках в этом уравнении равен нулю. Из уравнений механики, записанных в гамильтоновой форме, имеем

Здесь H - гамильтониан рассматриваемой системы. Соответственно

Если мы добавим в это уравнение член ∂∂ρt , то получим выражение для полной производной

d ρ { pr,qr} = 0 d t

Плотность вероятности остается постоянной при движении системы по своей фазовой траектории.

Это очень важный результат. Плотность вероятности зависит от своих переменных { pr,qr} не

произвольным образом, а только от таких комбинаций этих переменных, которые сохраняются в процессе движения системы вдоль фазовой траектории. Такие комбинации в

физике называют интегралами движения. Итак, плотность вероятности ρ { pr,qr} зависит

только от интегралов движения.

Но, к сожалению, полное число интегралов движения очень велико. Однако есть очень простое соображение, которое позволяет радикально сократить число интегралов движения,

от которых зависит функция распределения ρ { pr,qr} . Действительно, как мы отмечали выше,

функция ρ { pr,qr} обладает свойством мультипликативности. Функция распределения

системы, состоящей из нескольких подсистем равна произведению функций распределения этих подсистем. Например, для системы, состоящей из двух подсистем, имеем:

Другими словами логарифм функции распределения обладает свойством аддитивности. Это в свою очередь означает, что логарифм функции распределения зависит только от аддитивных интегралов движения. Из механики известно, что таких интегралов всего семь (!): три компоненты импульса, три компоненты момента импульса и энергия. Единственной аддитивной комбинацией этих величин является их линейная комбинация. Тогда для любой части большой системы можно написать (присвоим этой части номер: « n »)